Théorie des couches minces magnétiques

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Théorie des couches minces magnétiques

Leszek Wojtczak

To cite this version:

Leszek Wojtczak. Théorie des couches minces magnétiques. Journal de Physique, 1969, 30 (7), pp.578-

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THÉORIE

DES COUCHES MINCES

MAGNÉTIQUES

Par LESZEK

WOJTCZAK,

Laboratoire

d’Électrostatique

^{et de} Physique ^du Métal, Section des Lames Minces, Grenoble, France, Département ^de Physique Théorique de l’Université de 0141ódz, 0141ód017A, Pologne.

(Reçu

^{le 28}

juin

^1968, révisé le 24 février

1969.)

Résumé. 2014 Nous

présentons

ci-dessous une

approche thermodynamique

^{d’une théorie}

des couches minces

magnétiques.

^{Celle-ci est}

équivalente

^{à la méthode de}

couplage

^constant

pour les matériaux massifs. ^{Dans le cas} d’une constante de

couplage égale

^{à zéro, les résultats}

obtenus se réduisent à ceux connus par

l’approche

^du

champ

moléculaire. La théorie

développée apporte

^une contribution

importante

^{à la} connaissance des

propriétés

^au

^voisinage

^{de la}

tempé-

rature de Curie. Nous avons discuté de la variation de l’aimantation dans la direction de

l’épais-

seur de la couche en fonction de

l’épaisseur.

^{Nous avons} calculé les valeurs du

point

^{de Curie et}

du saut de la chaleur

spécifique magnétique.

Les résultats obtenus

peuvent

^être

appliqués

^aux

problèmes

^{liés aux} fluctuations du moment

magnétique.

Abstract. ²⁰¹⁴ A

theory

^of

magnetic

^{thin films is}

given.

^{It is}

equivalent

^{to the constant}

coupling

^{method for} bulk materials. In the case of the

coupling

^constant

equal

^{zero the results}

obtained reduce to those known from the molecular field

approach.

^The

theory

^discussed

represents

^an

important

contribution at temperatures ^{near the Curie}

point.

^{The variation}

of the

magnetization

^{across a thin film as a function of the} film thickness is discussed. The Curie

temperature

^{and the}

jump

^{of the}

magnetic, specific

^{heat is} calculated. The results obtained can be

applied

^to

problems

connected with

magnetic

^moment fluctuations.

LE JOURNAL ^DE PHYSIQUE ^TOME 30, JUILLET 1969,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003007057801

1. Introduction. ^- Nous

pr6sentons

^ci-dessous

une theorie des couches minces

magn6tiques.

^Nous

supposons que les couches sont

monocristallines,

^sans

defauts;

^{leur structure}

cristallographique

^est arbitraire.

La valeur de

spin

^{et l’ordre}

magn6tique

peuvent ^etre

arbitraires;

la theorie est valable _pour les couches minces

ferromagnétiques, antiferromagnétiques

^{et ferri-}

magn6tiques.

^En

particulier,

^nous consid6rons les couches

ferromagnétiques

^et

antiferromagnétiques

^avec

spin 6gal

^a

1/2.

La theorie ^est

6quivalente

^a la m6thode du

couplage

constant donnee _par

Kasteleijn

^{et Van Kranen-}

donk

[1]

pour les cristaux massifs.

R6cemment,

^cette

m6thode a 6t6 reconnue comme

1’approche

^la

plus physique

pour considerer les

propri6t6s

d’un cris- tal

[2];

^{elle est utile}

specialement

^au

voisinage

^{de la}

temperature

^{de Curie.}

La theorie

presentee permet

d’etudier les

propri6t6s

de l’aimantation

spontan6e,

^{de la}

temperature

^{de tran-}

sition de

phase,

de la chaleur

spécifique.

^Elle peut ^etre

appliqu6e

facilement aux

problemes

^{de la structure}

en

domaines,

de la resonance d’ondes de

spin

^{et des}

fluctuations du moment

magn6tique.

Elle contient certaines autres theories comme des cas

particuliers.

II. Modèle de la couche mince. ^- Une couche mince

magn6tique

^est consideree comme un

systeme

de n

plans monoatomiques, parall6les

^aux faces de la

couche,

orient6s dans une direction

cristallographique quelconque.

^Les

plans

^sont

désignés

par v ^E

(1, n)

oii n

d6signe

le nombre des

plans monoatomiques,

c’est-a-dire

I’ épaisseur

de la couche. La

position

^de

l’atome dans ^un

plan

^{est donnee} par le vecteur

j.

L’axe de facile aimantation est

dirig6

^selon

l’axe z, qui

^{est aussi la} direction du

champ magn6tique applique.

^{Les atomes situ6s sur} les faces de la couche n’ont _pas de voisins d’un cote du

plan monoatomique qui

les contient.

Supposant l’approximation

^des

proches voisins,

^nous pouvons remarquer que :

1) Chaque

^{atome se trouve dans le}

voisinage

^de

z(v) voisins;

2) Chaque

^atome situ6 dans le

plan v poss6de z(v, [1.)

voisins dans le

plan

[1.. Le nombre d’atomes

z(v, v),

c’est-a-dire dans le

plan v,

^est

designe

par zo, ^et

z(v, v + 1)

par zl; zo +

2z1 ==

^z;

3) Chaque

^atome

participe

^aux interactions des

2z(v) paires;

4)

Le nombre de tous les atomes dans un

plan

^est

N2;

le nombre total des atomes ^- N2 n.

5)

^La structure et l’orientation de la couche sont

donn6es _par la fonction

z(v, p.)

^d6finie par la distri- bution des

proches

voisins dans les

plans atomiques

voisins. Prenant en consideration cette

fonction,

^nous

introduisons des conditions aux limites de

façon

^natu-

relle ;

les conditions aux limites sont une

consequence

de

géométrie

de la couche.

L’anisotropie joue

^un role essentiel dans les conside- rations des

propri6t6s

^{des couches}

minces;

^elle

explique

beaucoup

d’effets dans ces couches. Les causes

phy- siques

^de

1’anisotropie

^sont les suivantes :

1)

^Les interactions

dipolaires magn6tiques

^{et les}

interactions ^entre le

spin

^{et le moment} orbital dans les couches

id6ales;

2)

^Les

inhomogénéités

^et les d6fauts du r6seau intro- duits

pendant

^les processus

technologiques

^{dans les}

couches

r6elles;

3)

^La

sym6trie

locale d’un

spin

de surface est

plus

faible _que la

sym6trie

^d’un

spin

de la couche interieure.

Ce fait conduit a

l’anisotropie

de surface d6crite _par Neel

[3].

^Son

origine

n’est li6e

qu’a

^la

géométrie

^de

la

couche;

les conditions aux limites

g6om6triques

conduisent au

changement

du nombre de

paires qui interagissent

^{entre elles.}

4)

^Le

potentiel electronique

^{varie en} fonction de

l’épaisseur;

la distribution des electrons de conduction

est differente a l’int6rieur ^et en

surface;

^un

spin

^de

surface se trouve dans le

champ magn6tique

^effectif

produit

par les electrons de

conduction;

^ce

champ

varie 6videmment dans la direction de

1’epaisseur

^de

la couche. Cette variation conduit a

1’anisotropie

^de

surface.

5)

^{La couche}

superficielle

^{est une couche}

d’oxyde antiferromagnétique [4].

^{Ce fait}

physique peut

^etre

interprete

par ^un

parametre d’anisotropie

^de

faqon analogue

^a

1’anisotropie

de surface.

Toutes les causes d6crites introduisent une anisotro-

pie

de deuxi6me

ordre,

c’est-a-dire

changent

^la

sym6trie d’6nergie

^des interactions ^entre les

spins

^{localises ou les}

spins

des electrons de conduction. Les couches ont des

propri6t6s

^de

sym6trie

axiale. L’existence de ^cette

sym6trie peut

^etre

expliqu6e

par l’ordre local des

spins qui

^{se trouvent dans le}

champ magn6tique

^{des moments}

des

spins

^{des atomes voisins}

[5].

^Le mod6le d’ordre

dirig6

^{est le}

point

^de

depart

pour considerer theori- quement

1’anisotropie.

^Dans la theorie des ondes de

spin,

^les

propri6t6s d’anisotropie

^{sont d6crites a 1’aide}

d’un

champ

^effectif

d’anisotropie [6].

Introduisant le

parametre d’anisotropie

^en fonction de la

position

^du

plan monoatomique,

^on peut 6tudier l’influence de

1’anisotropie

de surface dans les

ph6nom6nes

^{de reso-}

nance d’ondes de

spin.

Dans ce

travail,

^nous supposons le mod6le d’ordre

dirig6

^au

voisinage

^du

point

considere du r6seau. Une

anisotropie

^infinie

correspond

^{a l’ ordre}

complet

^des

spins.

^Une

anisotropie

^{tres faible} permet ^d’ordonner les

spins

^{dans une direction}

quelconque.

^Les

propri6t6s d’anisotropie

peuvent ^{etre d6crites a} 1’aide d’un _para-

mètre Y) ("’) qui

d6termine la

symétrie

^de l’hamiltonien.

L’hamiltonien decrit les interactions entre les

spins

situ6s aux

points

^{du r6seau a} 1’aide d’un

parametre

d’echange Jw’).

^Ce

parametre correspond

^a

l’int6grale

d’échange

^{dans le cas des}

spins

localises.

Mais,

^en

general,

^ce

parametre peut

^{etre determine} par les interactions indirectes

qui

^tiennent

compte

^{des inter-} actions entre les

spins

^{localises et les moments}

magn6-

tiques

^des electrons de conduction

[7].

^Le para-

m6tre

J("") peut

^aussi

repr6senter l’int6grale d’6change

effective

6quivalente

^aux interactions

intra-atomiques responsables

^de 1’existence d’etat

magn6tique

^{dans la}

theorie des bandes

[7] :

^{il est une} fonction de

l’ épaisseur

de la couche

[8].

L’hamiltonien est donne _{par :}

H est le

champ magn6tique appliqu6, g

le facteur de Lande

multipli6

par le

magn6ton

^{de Bohr.}

Sllj d6signe

la composante ^{a E}

(x, y, z)

^du

spin

^au

point

^{du r6-}

seau

(vj).

^Le

parametre d’6change J(’v)

^{et le}

parametre d’anisotropie -(v’)

^{sont les}

param6tres

de la th6orie.

Ils peuvent ^etre determines _par les _processus

physiques

decrits ci-dessus _pour les couches minces id6ales.

Cepen- dant,

^{en raison de}

l’importance

^des processus techno-

logiques,

^ils peuvent ^etre trait6s aussi comme des

param6tres phénoménologiques.

III. Ndthode du

couplage

^{constant. - La m6thode}

du

couplage

constant est une des m6thodes les

plus d6velopp6es,

^utilis6es pour d6crire les

propri6t6s magn6- tiques

des mat6riaux massifs. Elle est donnee par

Kasteleijn

^et Van Kranendonk

[1]

^{et est}

appliqu6e

sous des formes differentes par

plusieurs

^auteurs

[9].

Elle est relativement

simple

^{et conduit a} des resultats

corrects dans le cas des mat6riaux massifs. La m6thode du

couplage

constant, ^selon

l’opinion

^{de Martin}

[2],

est

l’approximation

^la

plus physique

^{de ces}

probl6mes.

La theorie des couches minces

magn6tiques 6quiva-

lente a la m6thode du

couplage

^constant peut ^etre formul6e de la

façon

^suivante.

Une couche mince

ferromagnétique peut

^{etre consi-} d6r6e comme un

syst6me

^de

spins, qui agissent

^entre

eux. Les interactions sont d6crites par 1’hamilto- nien

[1].

^En

supposant

le mod6le de Valenta

[10]

^base

sur l’id6e des sous-r6seaux de Neel

[11],

^{nous conside-}

rons les

plans atomiques parall6les

^{aux surfaces comme}

des sous-r6seaux

magn6tiques independants.

^Cette

hypothese

^sur les sous-r6seaux

magn6tiques indique

que la fonction d’onde de la couche mince ne diffère pas

beaucoup

de la fonction d’onde de 1’etat _pour

lequel les

composantes z ^{des moments}

magn6tiques

^des

plans

^{distincts ont} des valeurs d6finies

[10].

^L’6tat

d’6quilibre

^du

systeme

^est determine par le minimum de son

energie

^libre par

rapport

^a

chaque

sous-r£seau de la couche.

L’6nergie

^{libre F = kT ln Z est d6ter-}

minee _par les valeurs _propres de l’hamiltonien

[1]

^à

1’aide de la somme d’6tats Z ⁼ Tr

[exp (- -V’IkT)].

Cette somme calcul6e dans la

representation

^{des 6tats}

propres de

chaque

sous-r6seau

prend

^{la forme Z = 7tv}

Z,.

Les 6tats propres dans

chaque

sous-r6seau

peuvent

^etre

groupes

par rapport ^aux valeurs de la

composante z

de tout le

plan.

Les valeurs _propres de la

composante z

de

spin

^{total sont li6es au}

parametre

^d’ordre

Xv

^d6ter-

min6 dans ce

plan.

^En prenant ^{ensuite en} consideration le fait _que le nombre d’atomes dans le

plan

^{est suffi-}

samment

grand,

^nous pouvons

appliquer

la m6thode du

couplage

^constant pour calculer

Z,

^dans

chaque plan separement.

^En

r6sultat,

^{nous obtenons}

1’expres-

sion suivante :

pour

1’6nergie

libre de la couche. La formule

[2]

^est

d6crite a 1’aide du nombre

g(X,), qui

determine le nombre d’6tats

correspondant

^{a une valeur du} para- metre d’ordre

Xv

^{et a une valeur} moyenne de

1’energie de chaque plan : p

⁼

1 Ik T.

^,

La valeur _moyenne de

1’energie

^du

syst6me

^de

spins

dans le

plan v

peut ^etre

exprim6e

^a 1’aide de la matrice

densité : P

^{= Z-1} exp

(- p3Q)

^{dans la}

representation

de

produit

^des fonctions de

spin

^par

[1] :

ou

:YPvtJ. ^d6signe

l’interaction de type

(1)

^{entre deux}

spins

situ6s dans les

plans v

^et y. La matrice de densité

p vtJ.

est la matrice

reduite p

^et peut ^etre

exprim6e

^{a l’aide}

de l’hamiltonien

effectif _,Vle,

^{pour une}

^paire

^de

^{spins :}

Dans les mat6riaux

massifs,

^{tous les}

spins

^sont

6qui- valents,

alors que les

spins

dans les couches minces se trouvent dans des conditions différentes a cause de I’absence de

plus proches

voisins dans les

plans

super- ficiels. Ce fait

physique

rend diff6rents 1’hamiltonien effectif des mat6riaux massifs ^et 1’hamiltonien effectif des couches minces.

L’hamiltonien d’une

paire representative

des couches minces est une fonction de la

position

^{de la}

paire

^dans

1’epaisseur

de la couche. Du

point

^{de vue} de la theorie

formelle,

^le

probleme

^{est alors}

analogue

^a la situation rencontr6e dans la theorie de fluctuations du moment

magn6tique

^des corps massifs

[12]. D’apr6s

^{cette ana-}

logie,

1’hamiltonien effectif determine _pour

chaque paire

^de

spins

situes dans les

plans v

^et y peut ^{etre mis}

sous la forme :

A

^{est la constante de}

couplage

^{entre les}

spins

^situ6s

dans les

plans v

^et {i.

Hv d6signe

^le

champ

mol6culaire dans le

plan

^{v ;}

Hv

^ne

depend

^{que de v car ce}

champ

est lie au

plan atomique

^considere comme un sous-

r6seau

magnetique;

^la

paire

^est d6termin6e par deux

champs :

^le

spin Svj

situ6 dans le

plan v

^{se trouve dans}

le

champ Hv

^{et le}

spin S,,j.

^{situ6 dans le}

^plan

^{[1. se trouve}

dans le

champ Hv.

^Le

probleme

^{est alors}

analogue

^à

la situation

pr6sente

dans la theorie des _corps massifs

antiferromagnétiques [13].

L’hamiltonien

(1)

pour deux

spins prend

^la

forme

[1] :

rrU

En

supposant

que

1’approximation

^{est celle de}

l’interaction limit6e aux

plus proches voisins, 1’indice j’

d6signe

^la

position

^du

plus proche

^voisin par

rapport

au

spin,

^{dans la}

position j; l’indice

[.L

d6signe

^les

plans

dans

lesquels

^{se trouvent les}

plus proches

^voisins par

rapport

^a l’atome consid6r6.

Les fonctions propres

’Yi[J.

de l’hamiltonien

(5 a)

et les fonctions propres

Pi[J.

^de l’hamiltonien

(6)

peuvent etre

exprimees

^{dans la}

representation

^du

produit

^des

fonctions de

spin I k > qui prennent

^{la forme :}

ou _ni, m’ peuvent

prendre

l’une des

(2Sv + 1)

^et

(2S(1.

^-p

¹⁾

^{valeurs de la} composante z ^de

spin.

^La

relation entre les fonctions dans ces deux

repr6senta-

tions ^est donnee _par les matrices de transformation 6 et a :

Les matrices de densite p,,, dans la

representation

des 6tats propres de 1’hamiltonien

(5)

^sont

diagonales;

les elements

diagonaux

^sont donn6s par :

ou

Z,,, ^d6signe

la fonction de

partition

^{des 6tats}

WQ’

et

EttJ.

^sont les valeurs _propres appartenant ^{aux 6tats} propres

’YitJ..

Si les valeurs _propres de l’hamiltonien

(6)

^sont

égales

^a

E,,,,

^{la valeur moyenne de}

^1’energie

^du

^systeme

de

spins

^{dans le}

plan v est

d6termin6e _{par :}

E,; (p, [X,,])

1 _-

Le

parametre

^d’ordre

Xv

^dans

chaque plan, qui

est determine _par les valeurs _propres de la _compo- sante z de

spin

^{dans tout le}

plan,

peut ^{etre maintenant}

exprime,

^{de la meme}

faqon

que

1’6nergie

moyenne, à 1’aide de la matrice réduite :

11 est lie a la valeur du

champ

mol6culaire dans le

plan

consid6r6. La valeur _moyenne

d’6nergie E,

^don-

n6e par

(3 b)

^{est une} fonction des

parametres

^d’ordre

pour les

plans

consid6r6s dont les

champs

mol6culaires influencent l’ ordre des

spins

^du

plan

^v.

Pour

qu’un système

^{soit en}

équilibre,

^{il faut} que

1’6nergie

libre soit minimale. Les

equations d’6quilibre :

d6crivent la distribution du

champ

mol6culaire dans la direction de

I’ épaisseur

de la couche ^et

permettent

de trouver la

temperature

^{de Curie.}

La theorie

presentee possede

^les

propri6t6s

^limites

suivantes :

1)

^{Le cas} des materiaux massifs : toutes les

6qua-

tions

(9)

^{sont les}

memes,

les solutions sont alors mises sous la forme

X,

^{= X.}

L’equation

pour X ^est la même que celle

d’Oguchi

^{et Ono}

[9]

pour

quelconque

^et

que celle de

Kasteleijn

^{et Van} Kranendonk

[1]

pour

~ = 1.

2)

^{Le cas d’un}

plan monoatomique :

^{nous obtenons}

une

equation correspondant

^a

1’equation

de la theorie d’un _corps

ferromagnétique bidimensionnel;

3)

^{Le cas de}

1’approximation

^du

champ

moleculaire : de

façon analogue

^a la m6thode du

couplage

^constant,

nous pouvons introduire 1’hamiltonien effectif :

correspondant

^a

F approximation

^du

champ

^mole-

culaire. Nous _pouvons ensuite calculer les fonctions propres ^et les valeurs propres ^de 1’hamiltonien

(5 a),

la minimalisation de

1’energie

^libre

(3 a)

conduit main-

tenant aux memes resultats _que ceux obtenus _par Valenta

[10]

^{dans la} theorie du

champ

mol6culaire elle-meme

(les

resultats d6taill6s sont discut6s dans des

cas

particuliers

^aux

chapitres suivants).

11 nous semble _que les

propri6t6s

d6crites ci-dessus

sont un argument

temoignant

que :

1)

^La theorie donne des resultats

qui

^{ne sont} pas contradictoires avec les

suppositions initiales;

2) L’approximation propos6e

^est

6quivalente

^a

1’ap- proximation

^du

couplage

^{constant dans le cas de}

mat6riaux massifs.

Pour les sous-r6seaux d’ordre

antiferromagnétique,

la theorie peut ^etre

g6n6ralis6e

facilement de la

façon

donnee _pour les _corps massifs

[13].

¹¹ faut seulement introduire deux

champs

mol6culaires _pour

chaque plan monoatomique.

^Les

probl6mes

des couches antiferro-

magn6tiques

^{sont discut6s en} detail dans les cas

parti-

culiers aux

chapitres

^suivants.

Comme

Kasteleijn

^{et Van} Kranendonk

[1],

^{on a}

suppose

^{que la constante de}

couplage

^{A est}

6gale

^à

l’int6grale d’6change J.

^Cette

égalité

^{est valable}

pr6s

du

point

^{de Curie. En}

general

^{la constante de}

couplage

varie

[1]

^{et tend vers zero au zero}

absolu,

^donc

1’ap- proximation

^du

champ

mol6culaire ^est valable _pour T = 0.

L’approximation

^du

couplage

^constant ap- porte ^une correction

importante

^{pour des}

temperatures proches

^{de la}

temperature

^{de Curie ou} de N6el. Les resultats _pour les

temperatures

interm6diaires sont

situ6s ^entre les resultats obtenus a 1’aide de 1’hamil- tonien

(5 a)

^et les resultats de

(5 b).

^{Ils sont obtenus}

pour 1’hamiltonien

(5)

^{avec le}

parametre

^de

couplage qui

^{varie en} fonction de la

temperature ;

^{ils ne} peuvent etre trouv6s

qu’a

1’aide du calcul

num6rique.

^{Pour ces}

raisons,

^nous discutons le comportement des couches minces au

voisinage

^{de la}

temperature

^{de Curie ou de}

Neel et au zero absolu. Pour les

temperatures

^interme-

diaires,

^nous donnons les calculs

approximatifs.

IV. Couches minces

ferromagndtiques

^avec

spin 1/2 (A = J).

^{- Nous} consid6rons en detail des

propri6t6s

de couches minces

ferromagnétiques homog6nes

^avec

une structure id6ale et avec

spin 1/2

^dans

chaque point

du r6seau. Le type ^de structure et son orientation

(de surfaces)

^sont arbitraires : elles sont caract6ris6es par la fonction

z(v, y) .

Les valeurs propres de

1’energie

^{calcul6es a 1’aide de}

1’hamiltonien

(5 a) correspondant

^a

l’approximation

du

couplage

^{constant sont donn6es} par :

of 8£, == HtJ. :f:: H,.

^Elles

correspondent

^{aux fonc-}

tions propres

tY’2

⁼

crik I k >.

^Les fonctions de

spins

dans la

representation

^du

produit

de fonctions de

spins

sont

suppos6es

dans l’ordre

suivant : I + + >, - - )>, --- I - + ).

Les matrices de transformation _cTi, prennent ^la forme :

et la matrice I

repr6sente

la matrice unite. Les valeurs propres de

1’energie

^{calcul6es a} 1’aide de 1’hamilto- nien

(5 b) correspondant

^a

1’approximation

^du

champ

mol6culaire peuvent ^{s’ecrire :}

Elles

correspondent

^{aux fonctions} propres

Ti

^d6ter-

min6es par la matrice de transformation

(11)

pour sin m ⁼ 1.

Les valeurs propres de 1’hamiltonien

(6)

^{sont don-}

n6es par :

I rr T

et la matrice de transformation

prend

^{la forme}

(11)

pour ^{sin (ù =} 0.

D’apres (3 b), l’énergie

^de

paire

^de

spins

^est

6gale

^{a :}

et

d’apr6s (3 a) 1’energie

^{libre du}

syst6me prend

^{la forme :}

et

XI, = f 1, -fl,. g(X)

^est le nombre d’6tats corres-

pondant

^a la valeur X du

parametre

^et peut ^{etre cal-} cul6 _pour les couches minces de

façon analogue

^au

calcul du

parametre correspondant

^a la theorie de Valenta

[10].

^Le

parametre

^{d’ordre est} lié à la valeur du

parametre

^du

champ

mol6culaire dans le

plan

considere _par la relation suivante :

L’énergie

libre donnee _par la formule

(15 a)

^{et le} para- m6tre d’ordre donne _par

1’expression (16)

pour ^{n -+} N sont

identiques

^avec les formules

correspondantes

^dans

la theorie de mat6riaux massifs

[1];

^leur

dependance

de la

position

^du

plan

dans la couche

disparait.

^La

meme

correspondance

^{a lieu} pour ^{n =}

1,

c’est-a-dire

une couche bidimensionnelle.

V. Couches minces

antiferromagnétiques

^avec

spin 1/2 (A

⁼

J).

^{- La theorie des} couches minces

antiferromagnétiques

^{est peu} discut6e dans la litt6ra- ture, contrairement a la theorie des

propri6t6s

^des

couches

ferromagnétiques.

La

plupart

^{des mat6riaux}

antiferromagnétiques

pos- s6dent une structure

cristallographique

^sc,

bcc,

^et

hexagonale,

^{et un ordre}

magn6tique

^de

premiere

^es-

pece [14].

Nous consid6rons donc les

propri6t6s

^{de ces}

couches

antiferromagnétiques

^avec

spin 1/2.

Une couche mince

antiferromagnétique

^{est consi-}

d6r6e comme la

superposition

^{de n}

plans

^monoato-

miques parall6les

^{a ses surfaces. En}

plus,

il existe deux sous-r6seaux dans

chaque plan

individuel a cause de l’ordre

antiferromagnétique.

^La structure est d6ter- minee _par la fonction

z(v, t).

^Les

plus proches

^voisins

sont maintenant

dirig6s

^{en sens}

oppose

^au

spin

^considere.

Chaque

sous-r6seau de l’ordre

antiferromagnétique

peut ^{etre examine comme un}

plan ferromagnetique;

les sous-r6seaux

antiferromagnétiques

peuvent ^etre

pris

en consideration a 1’aide de la m6thode

appliqu6e

^dans

le cas de materiaux massifs

[13].

^Les

champs

moleculaires dans les sous-r6seaux

antiferromagnétiques

^dans

chaque plan monoatomique

^{sont de meme}

grandeur, dirig6s

^en

sens

opposes

^{et ont la meme} distribution dans

1’espace.

L’hamiltonien du

systeme

des sous-r6seaux

prend

^la

forme

(1)

pour le

parametre d’6change n6gatif.

^L’ha-

miltonien effectifde

paire

^de

spins peut

^etre

exprime

par:

a

F approximation

^du

couplage

constant et :

a

F approximation

^du

champ

mol6culaire.

Les valeurs _propres de

1’energie

^{calcul6es a 1’aide}

de 1’hamiltonien

(5 c)

^{sont donn6es par :}

Elles

correspondent

^aux fonctions propres

’Yi

⁼

Cyik I k >.

Les matrices de transformation _62k

prennent

^la forme

(11)

pour :

-

Les valeurs propres de

1’energie

^calcul6es a l’aide de 1’hamiltonien

(5 d) peuvent

^{s’6crire :}

Elles

appartiennent

^aux fonctions propres

Ti

^d6ter-

minees _par la matrice

(11)

pour sin 6) === 1. Les valeurs _propres de I’hamiltonien effectif

correspondant

a l’hamiltonien

[6]

^{sont donn6es} par :

et la matrice de transformation

(11) prend

^{sa forme}

pour sin w ⁼ 0.

A 1’aide des formules

(17)

^et

(19), compte

^{tenu de}

1’6quation (36),

^{nous obtenons}

1’expression

^suivante

pour

l’ énergie

^de

paire

^de

spins :

ou f d6signe

les elements

diagonaux

de la matrice

(8)

dans la

representation

des fonctions propres pour les couches

antiferromagnetiques. L’énergie

^{libre du} sys- t6me est alors de la forme :

ou

XVIl- == ( f v -f4,)

^{sin to et} la fonction

g(x)

^{a la}

valeur donnee

precedemment (15 b).

Prenant en consideration

1’equivalence

^{entre les}

valeurs absolues des

champs

mol6culaires de deux sous-r6seaux

antiferromagnétiques,

^le

parametre

^d’or-

dre peut ^etre introduit seulement _pour les

spins

^de

sous-r6seaux

differents;

^{il est} determine pour

chaque plan monoatomique.

^{11 est lie a} la valeur du

parametre

du

champ

mol6culaire dans le

plan

^considere par la relation suivante :

11 est facile de ^montrer _que les

equations (21)

^et

(22)

pour ^{n =} 1 et n ⁼ N se r6duisent ^aux resultats

correspondants

dans la theorie des _corps bidimension- nels ou des matériaux massifs

[13].

VI. Cas ou la constante de

couplage

est

egale

^à

zero

(A = 0) .

^{- Dans ce cas, a} 1’aide des valeurs propres

(12),

^le

parametre

d’ordre s’6crit :

L’6nergie

^libre

(15)

^{se r6duit a :}

Les

equations d’equilibre (9)

^{peuvent etre 6crites}

sous la forme :

ou

l’expression E z(v, fl.) S, > jg-I correspond phy-

03BC

siquement

^au

champ

moleculaire

agissant

^sur

chaque spin particulier.

De la meme

façon,

^nous pouvons obtenir la valeur du

parametre

d’ordre des couches

antiferromagné- tiques :

En minimalisant

1’energie

^libre par

rapport

^aux

parametres d’ordre,

^nous obtenons les

equations d’équi-

libre sous la forme suivante :

si le

parametre

^{d’ordre est determine pour le sous-}

réseau

(-p)

par rapport ^au sous-r6seau

(-).

^De

plus :

si le

parametre

^{d’ordre est determine} pour le sous-

r6seau

(-)

par rapport ^au sous-r6seau

(+).

Le para- m6tre

Hv(+) = E z(v, y) ( S(l) > Jg-1 correspond phy-

03BC

siquement

^au

champ

mol6culaire

agissant

^sur

chaque

spin particulier

^dans le sous-r6seau

(+).

Les

equations (26), (28

^a,

b) g6n6ralis6es

pour ^une valeur de

spin

arbitraire peuvent etre 6crites sous la forme :

oii s

repr6sente

^un indice relatif _pour

chaque

type

d’6quation (0, +) .

Au

voisinage

^{de la}

temperature

^{de Curie ou de}

N6el,

les

equations (29)

^{se r6duisent au}

syst6me d’équations :

qui peut

^{etre resolu}

analytiquement

^sous deux formes :

valable _pour des couches

ferromagnétiques ayant

^une

structure

cristallographique

^dans

laquelle

^les

plus proches

^{voisins ne sont}

placis

que dans les

plans

^les

plus proches

^du

plan

^considere

(par exemple,

^Fe

(100),

Ni

(111),

^Co

(0001),

^Sc

(100)).

valable _pour des couches

antiferromagnétiques

^et

ferromagnétiques

^{avec une structure bcc}

(100).

La

constante ( S >

^{est li6e a la valeur} moyenne de 1’aimantation de la couche _par la relation :

Du

point

^{de vue}

physique,

les solutions

(31

^a,

b) repr6sentent

^{la variation de} 1’aimantation

spontan6e

dans la direction de

1’epaisseur

^{de la couche au voisi-}

nage de la

temperature

^{de Curie ou de Neel. Le}

systeme d’6quations (30) poss6de

des solutions différentes de zero au-dessous d’une

temperature qui repr6sente phy- siquement

^la

temperature

de transition de

phase.

^La

temperature

^{de Curie est donnee par :}

avec les memes

hypotheses

que pour les solutions

(31 a).

La

temperature

^{de Neel} peut ^{etre 6crite sous la forme :}

valable _pour des couches

antiferromagnétiques

^{et ferri-}

magn6tiques

^{avec une structure}

cristallographique

bcc

(100).

11 est bon de remarquer que les resultats

(29)

^obtenus

a 1’aide de

l’approximation

^{ou la constante de}

couplage

est

6gale

^a

zero,

^{sont les} m6mes que les resultats obtenus par Valenta

[11]

^dans

l’approximation

^du

champ

mol6culaire _pour les couches

ferromagnétiques.

^Ce

fait nous permet de conclure _{que :}

1)

^Nos

suppositions physiques

^{ne sont} pas ^contra- dictoires avec les

suppositions

faites dans la theorie du

champ moleculaire;

2)

^{Les resultats}

num6riques

^donn6s par Valenta pour la

temperature

^{de Curie}

peuvent

^etre

exprim6s

sous la forme

analytique (32 a),

^tres

simple.

VII. Variation de 1’aimantation

spontan6e.

^-

L’aimantation

spontan6e

^{est d6finie} par :

d’apres [3],

la definition de la valeur _moyenne de 1’aimantation de la couche

prend

^{la forme :}

qui

^{est en accord avec} les definitions utilis6es habituel- lement

[15].

^{Les valeurs}

X,,,

^{sont donn6es par les}

equations d’6quilibre (9).

^{Dans le cas ou la constante}

de

couplage

^est

6gale

^a

l’int6grale d’échange,

^les

valeurs de

X,,, ^peuvent

etre trouv6es facilement au

voisinage

^{de la}

temperature

de transition de

phase.

Compte

^{tenu de}

(15), ^le systeme d’équations d’équi-

libre

(9)

^{est alors}

equivalent

^aux

equations :

Z ⁼ 1 -p e-fjJ ^ch

(/) d6signe

^{la somme d’6tats}

pour

Hv

^{= 0 et P =} 2e -fjJ sh

(TJJ) / (TJJ).

^{Les solu-}

tions sont de la forme :

ou la constante oc est d6termin6e par la condition d’existence de solutions differentes de zero :

X

d6signe

^{une constante} de normalisation. Les

6qua-

tions

(37)

determinent en meme

temps

^la

temperature

de Curie.

Pour un nombre de couches n suffisamment

grand,

nous pouvons ^{mettre ce z}

TU/yz.

^{Dans le cas}

de 11

⁼

^1,

nous pouvons écrire la solution de

(37)

^{sous la forme}

approximative

^{suivante :}

La formule

(38)

pour ^{n =} 1 et n ⁼ N se r6duit aux

resultats connus de la theorie de _corps bidimensionnels

et de mat6riaux massifs

[1].

^{De la meme}

façon,

^nous

pouvons discuter des

propri6t6s

des couches antiferro-

magn6tiques

compte ^{tenu de nos resultats}

(17), (19), (21). (22).

^°

Au zero

absolu,

la solution exacte de

(33)

^{est donnee}

par

M - _{N2 n.}

^La valeur moyenne

(33)

^{au voisi-}

p

2

^Y

^{( )}

nage de la

temperature

^{de Curie} peut ^etre

exprim6e

par :

Dans le cas de

temperatures intermédiaires,

^une

solution de

(33)

^ne

peut

^{etre obtenue} que

num6rique-

ment. Nous _proposons ici la formule

approximative

suivante :

Fie. 1. ^- Aimantation

spontan6e

^{en fonction de la tem-}

p6rature :

^{1, valeur} moyenne de 1’aimantation dans

l’approximation

^du

champ

moleculaire ; 2, ^valeur moyenne de l’aimantation dans

l’approximation

^du

couplage

^constant [1] ; ^{3, valeur} moyenne de l’aiman- tation basee sur la formule

(41) ;

4, ^valeur moyenne de 1’aimantation basee sur la formule

(42) ;

5, ^valeur moyenne de 1’ aimantation basee sur la formule

(41)

pour ^le nombre des

plans n

⁼ 3 ; 6, valeur moyenne de 1’aimantation basee sur la formule

(42)

pour ^le nombre des

plans n

⁼ 3; o,

points expérimentaux

n N 3

[17].

qui

satisfait le

comportement asymptotique

d’une fonc- tion M inconnue. Etant donne _que l’on connait à l’aide de considerations

num6riques

que la fonction M est une fonction monotone et

d6croissante,

^{il semble}

que ^cette fonction soit bien

approchee

par

1’expres-

sion

(41).

^La

figure

^{1 montre le}

comportement

^de la fonction

(41)

^en

comparaison

^avec les courbes de 1’aimantation

spontan6e

de la theorie du

champ

^mole-

culaire et du

couplage

^{constant. En tenant} compte ensuite de la m6thode

d’itération,

la solution de

(33) prend

^{la forme :}

Cette courbe

(42)

^est

compar6e

^avec les resultats

num6riques

^{sur la}

figure

^{1. En meme}

temps,

^{elle nous} informe sur la

precision

^de

F approximation propos6e.

On peut

voir,

^{a l’aide de}

(42),

que la m6thode d’itéra- tion est convergente.

Les

plus grands effets,

^les

plus

^{lies aux couches}

minces, apparaissent

^au

voisinage

^{de la}

temperature

de Curie. Dans cette

region,

la theorie

[16] pr6dit

^la

variation de 1’aimantation

spontan6e

^dans la direction de

1’epaisseur

^de la couche. Dans la theorie

presentee,

cette distribution ^est d6crite _par la formule

(36).

^Elle

est

compar6e

^avec les resultats de la m6thode du

champ

mol6culaire ^et de

l’approximation

de Bethe-Peierls- Weiss

[16] ( fig. ^2).

L’aimantation

spontan6e

des couches

superficielles

diminue

plus

^vite que celle calcul6e a 1’aide des m6thodes de Pearson ^et de Valenta. Les courbes de

FIG. 2. ^- Variation de l’aimantation dans la direction de

l’épaisseur

^{de la} couche. Reseau sc

(100) :

1, ^methode du

couplage

^constant

(T ,;-,

Tc ⁼

1,79) ;

2, ^methode de B.P.W.

(T N

Tc ⁼ 1,76,

[16]) ;

3, ^{methode de} Valenta

(T To

= 2,9,

To =1= To) ;

4, ^{methode de} Valenta

(T Te)

Tc ^{est la}

temperature

^{de Curie}

calcul6e dans

1’approximation

^du

couplage

constant;

Tm,

^la

temperature

^de Curie calculee dans

1’approxi-

mation du

champ

mol6culaire ; ^T

d6signe

^une

temp6ra-

ture au

voisinage

^{de la}

temperature

^{de Curie.}

variation de l’aimantation obtenues dans les modeles de Pearson et du

couplage

constant sont

plus proches

l’une de 1’autre _que la courbe

pr6dite

par la m6thode du

champ

mol6culaire.

VIII. Point de Curie. ^- La

comparaison

^{des r6sul-}

tats de la theorie

presentee

^{ici avec} des resultats

experi-

mentaux peut ^{se faire a la}

temperature

^de

Curie, l’une

des

propri6t6s

fondamentales des couches minces. Ce choix

est justifie

par le fait _que la m6thode du

couplage

constant est

sp6cialement

^{valable au}

voisinage

^{de la}

temperature

de Curie. Nous _prenons ^en consideration les resultats

experimentaux

^obtenus par Gradmann

et Muller

[17]

pour des couches monocristallines cor-

respondant

^{mieux au mod6le de}

plans

^idealises que des couches

polycristallines.

^{En meme}

temps,

^nous

comparons ^nos resultats avec les resultats des autres

theories.

FIG. 3. ^-

Dependance

^{de la}

temperature

^{de Curie en}

fonction de

l’épaisseur

^{de la} couche. Reseau sc

(100) :

1, ^{methode de} Valenta ; 2, methode

presentee (q

⁼

1).

FIG. 4 ^-

Dependance

^{de la}

temperature

^{de Curie en}

fonction de

l’épaisseur

^{de la} couche. R6seau f cc

(111 ) :

1, ^{methode de} Valenta; 2, ^m6thode

presentee (7j

⁼

1).

Le tableau I montre que la methode du

couplage

constant, relativement tres

simple,

permet ^d’obtenir presque les memes resultats _que des

approximations

d’ordres

plus

^{6lev6s. La}

temperature

^{de Curie en}

fonction de

1’epaisseur

^de la couche est

repr6sent6e

par les courbes des

figures

^{3 et 4} pour des structures

cristallographiques

^{diverses. La} courbe de la

figure

⁵

repr6sente

^la

temperature

^{de Curie en} fonction du

parametre d’anisotropie. Enfin,

^nous discutons de la

temperature

^{de Curie} pour la structure

bcc,

^avec

orientation

(100),

^en fonction de

1’epaisseur

^{de la}

couche

( fig. 6).

^La discussion de resultats

experimen-

taux faite _par Gradmann et Muller

[17]

^{conduit à}

la conclusion _que les

points experimentaux

^{se trouvent}

au-dessous de la courbe 4

( fig. 6). Donc,

^nous pouvons voir _que

1’approximation

^du

couplage

^constant

pr6dit

bien les valeurs mesurees.

TABLEAU I

COMPARAISON ENTRE TEMPERATURES DE CURIE CALCULEES A L’AIDE DE MÉTHODES DIVERSES

(1)

Pearson, ¹⁹⁶⁵

[16] (nombres

^obtenus a 1’aide de la

courbe).

(2) D’a,pres

Gradmann et Muller [17].