Théorème "edge of the wedge"

Théorème "edge of the wedge"

Mathis MARTIN 14 mai 2021

Table des matières

1 Introduction 2

2 Le cas à une variable 3

3 Les cas des tubes 4

4 Preuve de la version continue 8

5 Théorème de Banach-Steinhaus sur les groupes 10

6 Fonctions tests 12

7 Lemme sur le rayon de convergence 14

8 Preuve de la version des distributions 18

9 Preuve du théorème de reflexion 20

10 Application dans les polydisques 22

11 Généralisation d’Epstein 25

Chapitre 1

Introduction

Nous allons aborder dans la suite différentes versions du théorème “the edge of the wedge”.

Ce théorème est beaucoup utilisé en physique notamment en théorie des quantique champs pour construire des extensions de fonctions de Wightman.

Nous allons tout d’abord introduire un certain nombre de notations. Un élément deCⁿ sera écrit

z= (z₁, ..., z_n) avec zi ∈C, ou

z=x+iy, avecx∈Rⁿ ety∈Rⁿ.

Nous allons maintenant définir la notion de cône ouvert avant de passer à l’énoncé des théo- rèmes : un cône ouvert deRⁿ S est un ouvert tel que, quelque soity∈S, on aty∈S pour tout t >0.

SoitV l’intersection deS avec une boule ouverte bornée deRⁿ centrée en0. Soit maintenant E un ouvert non vide de R. On définit

W⁺=E+iV etW⁻ =E−iV.

Nous allons maintenant voir la première version du théorème qui est la version continue.

Théorème 1.1. Pour E,W⁺ et W⁻ comme ci-dessus alors il existe Ω un ouvert de R qui contientW⁺∪E∪W⁻ et qui possède les propriétés suivantes : toute fonction complexe f continue sur W⁺∪E∪W⁻ et holomorphe surW⁺∪W⁻ possède une extension holomorphe F sur Ω(on a f(z) =F(z) pour tout z dans W⁺∪E∪W⁻) .

Les deux autres versions du théorème que nous allons énoncer utilisent la théorie des distri- butions.

Théorème 1.2. Soient E,W⁺,W⁻,Ωcomme dans le Théorème 1.1. Supposons f holomorphe sur W⁺∪W⁻, et

y→0lim Z

E

f(x+iy)φ(x)dx

existe pour toute fonction φ infiniment différentiable à support compact sur E. Alors f possède une extension holomorphe F sur Ω

Théorème 1.3. Soient E,W⁺,Ωcomme pour le Théorème 1.1. Supposonsf =u+ivholomorphe sur W⁺ avec u et v des fonctions réelles et

y→0lim Z

E

v(x+iy)φ(x)dx= 0

pour toute fonction φ infiniment différentiable à support compact sur E. Alors f possède une extension holomorphe F surΩ. Sur W⁻, F satisfait F(z) =f(¯z).

Le but dans la suite sera de donner une preuve de ces trois théorèmes principaux.

Chapitre 2

Le cas à une variable

Nous allons nous placer ici dans les cas où n=1. On peut donc prendre E comme un segment de R sans perte de généralités.W⁻etW⁺sont donc ici des rectangles ouverts avec E comme coté en commun. On va fait démontrer un théorème encore plus large qui va impliquer les théorèmes A,B,C. En effet on va remplacer E par n’importe quel arc paramétré.

Théorème 2.1. Soit Ω un ouvert borné du plan et notons ∂Ω son bord (un lacet). Supposons que Ω soit divisé en deux régions Ω₁ et Ω₂ séparées par un arc paramétré inclus dans sauf en ses deux extrémités. Supposons maintenant f continue sur la fermeture de Ω et holomorphe sur Ω₁∪Ω₂. Alors f est holomorphe sur Ω.

Preuve. Pour z dans Ωon définit

F(z) = 1 2πi

Z

∂Ω

f(w) w−zdw.

F est évidemment holomorphe sur Ω. On sait par Cauchy que pour z∈Ω₁ f(z) = 1

2πi Z

∂Ω1

f(w) w−zdw et

0 = 1 2πi

Z

∂Ω1

f(w) w−zdw

On a donc F(z) =f(z), pour tout z∈Ω1, de même on obtient F(z) =f(z) pour toutz ∈Ω2.

Or Z

∂Ω

= Z

∂Ω1

+ Z

∂Ω2

.

Donc on a bien F(z) =f(z) pour tout z∈Ω, donc f holomorphe surΩOn a donc démontré le théorème dans le cas ou E est un arc paramétré ce qui implique le Théorème 1.1.

Chapitre 3

Les cas des tubes

On va se placer dans un cas où E =Rⁿ on sera donc dans des espaces de la forme Rⁿ+iV avec V un ouvert de Rⁿon appelle un tel espace un tube ouvert de Cⁿ. On va à présent énoncé un théorème analogue au Théorème 1.1 et que nous allons démontrer dans la suite.

Théorème 3.1. Soient V₁ et V₂ deux ouverts bornés connectés de R contenant l’origine. On pose V =V1S

V2 et on suppose que (i) f holomorphe sur R+iV (ii) f est continue sur R+iV¯ (iii) il existe A <∞ tel que :

f(x+iy)

≤exp

A(x₁²+...+x_n²) dans Rⁿ+iV¯.

Alors f s’étend en une fonction holomorphe sur Rⁿ+iW où W est l’enveloppe convexe de V, de plus cette extension est continue surRⁿ+iW¯

Pour démontrer ce théorème nous allons d’abord énoncer un lemme :

Lemme 3.2. Soitu∈L¹ ety7→uey continue sur un certain compact K de Rⁿ alors (i) et (ii) sont vraies :

(a) y7→uey est continue de K⁰ dans L¹ où K⁰ est l’enveloppe convexe de K.

(b) Si

Z

Rⁿ

u(t)e^iz.tdt

≤b pour tout z∈K avec bfixé alors

| Z

Rⁿ

u(t)e^iz.tdt| ≤b pour tout z∈K⁰.

Preuve. SoitE>0, soitµune mesure surRtelle quedµ=|µ|dx. Donc on ay →e_y est continue de K dansL¹(µ). Le fait que K soit compact implique qu’il y a un nombre fini de pointsy₁, ...., y_m de K tels que∀y∈K il y ait au moins unyi tel que||ey−eyi ||<E. Comme eyi est dansL¹(µ) alors il y a une boule compacte telle que

Z

B^c

eyidµ<E

∀i≤metB^cle complémentaire deB. Comme ||e_y−e_yi ||<E on a Z

B^c

e_ydµ<2E. (3.1)

On pose Y l’ensemble des y dans R tels que (3.1) est vérifiée. Y est donc convexe, en effet si on prendy⁰,y⁰⁰ dans Y et 0< σ <1 tels quey= (1−σ)y⁰+σy⁰⁰. On a alors

ey =ey⁰1−σ

ey⁰⁰σ.

On peut ensuite appliquer l’inégalité de Holder avec les exposants conjugués (1−σ)−1 etσ⁻¹ on obtient donc

Z

B^c

eydµ= Z

B^c

e^1−σ_y0 e^σ_y⁰⁰dµ≤( Z

B^c

e_y⁰dµ)^1−σ( Z

B^c

e_y⁰⁰dµ)^σ <2E^1−σ2E^σ = 2E

donc y est dans Y. On a donc Y convexe et K’ l’enveloppe convexe de K est dans Y ce qui implique que (3.1) est verfiée pour tout y dans K’. Soient maintenant y et y’ dans K, (3.1) implique que

||e_y−e⁰_y||<4E+ Z

B

|e_y−e_y⁰|dµ<4E+µ(B)sup

t∈B

(|e_y(t)−e_y⁰(t)|).

Commeµ(B)<∞et queey⁰ tend uniformément versey quand y’ tend vers y et donc||e_y⁰−ey||

tend vers 0 quand y’ tend vers y. Ce qui prouve la continuité de K’ dansL¹ et donc prouve (i) Pour prouver (ii) on remarque d’abord que (i) implique que la fonction U definie surRⁿ+iK⁰ par

U(z) = Z

Rⁿ

u(t)e^iz.tdt (3.2)

est continue et bornée. Soit Y l’ensemble des y dans K’ tel que sup

x∈Rⁿ

|U(x+iy)| ≤b

Comme K est dans Y ar definition il suffit de montrer que Y est convexe. Soienty⁰ety⁰⁰ dans Y et0< σ0 <1tel quey= (1−σ0)y⁰+σ0y⁰⁰. Soit x dansRⁿ, on posez⁰ =x+iy⁰,z⁰⁰=x+iy⁰⁰ et on definit

γ(s) =U((1−s)z⁰+sz⁰⁰), s=σ+iτ,0≤σ≤1

On a Im[(1−s)z⁰+sz⁰⁰] = (1−σ)y⁰+σy⁰⁰∈K⁰, γ est bien définie sur la bande [0,1]×iRⁿ et est bornée et continue ; (3.2) montre que elle est aussi holomorphe à l’interieur de la bande.

D’après (3.2) et commey⁰, y⁰⁰ sont dans Y on a

|γ(iτ)| ≤b et|γ(1 +iτ)| ≤b

pour tout τ. Commeγ holomorphe sur la bande d’après le principe du maximum on a

|γ(s)| ≤ sup

σ∈0,1

|γ(s)| ≤bpour tout s dans]0,1[×iRⁿ

En particulier |γ(σ₀)| ≤b or γ(σ₀) =U(x+iy), ayant choisi x arbitrairement on a bien y dans Y ce qui termine la preuve du lemme.

Preuve du théorème. Pour z dansRⁿ+iV¯ on definit g(z) =f(z) exp

−(A+ 1)(z12+...+zn2)

Il est clair que si on démontre le resultat pour g il en va de même pour f. Par definition les hypothèses (ii) et (ii) sont vérifiées pour g et on a une meilleure estimation à la place de (iii)

|g(x+iy)| ≤cexp

(x₁²+...+x_n²)

(3.3) dans Rⁿ+iV¯. Ici c est fini et dépend de A et V. On voit bien que g tend vers 0 quand x tend vers l’infini et donc d’après (ii) on a l’uniforme continuité de g sur Rⁿ+iV¯. On note gy(x) = g(x+iy) On voit aussi que (3.3) implique que gy est dans L¹ ∩L² On note Gy la transformée de Fourier de gy par

G_y(t) = ( 1 2Π)ⁿ

Z

Rⁿ

g(x+iy)e^−ix.tdt (3.4) Notre prochain but est de démontrer la formule suivante

Gy(t) =e^−y.tG0(t) (3.5)

Pour montrer (3.5) on multilpie (3.4) pare^y.t et on réecrie la partie de doite comme Z

...

Z

g(z1, ..., zn) exp(−iX

tkzk)dz1...dzn

avec z_k =x_k+y_k (les y_k sont fixés). Si y est dans V alors par le théorème de Cauchy et le fait que g tende vers 0 en module nous dit que on eut remplacer les y_k par desy_k⁰ suffisamment proches. En effet, si on prend z dansC, et γ le lacet parcourant le rectangle de longueur2R et de largeur y⁰−y.On voit que g(z) exp(−itz) est holomorphe surCdonc d’après Cauchy on a

Z

γ

g(z) exp(−itz)dz= 0 Donc

Z

[−R;R]

g(x+iy) exp(−it(x+iy)dx+ Z

[y;y⁰]

g(R+ik) exp(−it(R+ik)dk

− Z

[−R;R]

g(x+iy⁰) exp(−it(x+iy⁰)dx− Z

[y;y⁰]

g(−R+ik) exp(−it(−R+ik)dk = 0.

En faisant tendre R vers l’infini les termes où l’on intègre sur[y;y⁰]tendent vers 0 par hyothèse sur g, on obtient donc

Z

R

g(x+iy) exp(−it(x+iy)dx= Z

R

g(x+iy⁰) exp(−it(x+iy⁰)dx

Et donc en faisant la meme chose dansCⁿon obtient qu’on peut remplacer lesy_kpar desy⁰_kassez proches . On peut donc conclure que pour chaque t dansRⁿ Gy(t)e^yt est constante sur chaque composante connexe de V c’est-à-dire sur V1 et V2 Par (3.3) et le fait que g est uniformément continue on déduit quey7→ g_y est continue de V¯ dansL¹ donc G_y(t) est une fonction continue de y sur V¯.Gy(t) étant constante sur chaqueV1 etV2 on en déduit que Gy(t)e^yt ne dépend pas de y est donc

Gy(t) =e^−y.tG0(t)

On a donc prouvé (3.5). La transformation de Fourier-Plancherel définit un automorhisme sur L² ainsiGy est dans L², cependant on ne sait pas encore siGy est dans L¹. Pour montrer cela on pose Ψ = Ψ_r une fonction positive qui s’annule en dehors de la boule de rayon r et dont l’integrale vaut sur celle-ci. On definit

h(z) = Z

Rⁿ

ψ(ξ)g(z−ξ)dξ (3.6)

On a donc h= Ψ∗g et on pose h_y = Ψ∗g_y. On pose H_y et Ψles tranformées de Fourrier respectives de h_y etψ alorsH_y =ΨG_y. En effetT_f(g_y∗ψ) =G_yΨ. (3.5) devient donc

H_y(t) =e^−y.tH₀(t) (t∈Rⁿ, y ∈V¯)

De plus,y7→gyest continue deV¯ dansL²donc par (3.3), l’uniforme continuité et le théorème de plancherel y 7→G_y est continue de V¯ dansL². Comme Ψest dans L² l’inégalité de Schwarz implique que y 7→ H_y est continue de V¯ dans L¹. On peut appliquer la formule d’inversion de Fourrier àhy, on obtient

h(z) = Z

Rⁿ

H0(t)e^iz.tdt(z∈Rⁿ+iV¯) (3.7) On peut maintenant appliquer notre lemme à H₀ à la place de u, V¯ à la place de K, et on peut conclure de (i) quey7→H_y est continue deW¯ dansL¹ oùW est l’enveloppe convexe deV, ce qui montre que (3.7) définit h comme une fonction continue sur Rⁿ+iW¯ qui est holomorphe surRⁿ+iW. De (ii) de notre lemme on conclut que la borne superieure de|h|surRⁿ+iW¯ est la même que sur Rⁿ+iV¯. On note h_r à la place de h pour montrer la dépendance de h à ψ, en faisant tendre r vers 0 on voit de (3.6) et de la continuité uniforme de g que hr tend vers g uniformément surRⁿ+iV¯. Il suit que|h_r1−hr2|à la même borne superieure surRⁿ+iW¯ que surRⁿ+iV¯ donc h_r est une suite de Cauchy uniforme sur Rⁿ+iW¯. Et donc la limite de cette suite de Cauchy nous fournit l’exetnsion de g sur Rⁿ+iW¯ désirée ce qui termine la preuve du théorème.

Chapitre 4

Preuve de la version continue

Nous allons dans ce chapitre démontrer le Théorème 1.1 mais qui offre cependant une conclu- sion moins satisfaisante que le théorème vu dans le cas des tubes car il montre seulement l’exis- tence d’un domaine et non quel est le domaine maximal d’extension. Pour montrer l’existence de Ω décrit dans le théorème 1.1 il est suffisant de montrer que tout point de E possède un voisinnage Ω1 dans Cⁿ tel que : pour tout f continue sur W⁺∪E ∪W⁻ et holomorphe sur W⁺∪W⁻ il correspond une fonction holomorphe dans Ω₁ telle que f(z) = F(z) pour tout z dansΩ₁∩(W⁺∪E∪W⁻)On va considérer dans lasuite que le point en question est l’origine de Cⁿ. On observe que tout le problème est invariant par transformation lineaire inversible de Cⁿ (ces transformations corresondent à des matrices de taillen×ninversibles) et donc il existe des transformations lineaires qui envoient le cône ouvert S (qui determine V) dans un cone ouvert qui contientRⁿ+. Et il vient que le théorème 1.1 est une conséquence de la proposition suivante Proposition 4.1. Soit E et V des cubes ouverts de Rⁿ definient comme ce qui suit :

E =x:−6< x_j <6 etV =x: 0< y_j <6

avec1≤j ≤nOn pose W⁺=E+iV, W⁻=E−iV. Si f est continue sur (W⁺∪E∪W⁻) et holomorphe surW⁺∪W⁻ alors il existe une fonction F holomorphe sur Uⁿ telle que

F(z) =f(z) pour tout z dans Uⁿ∩(W⁺∪E∪W⁻) avec Uⁿ=z:|z_j|<1 pour 1≤j≤n

Preuve. On pose c=√

2−1,et on définit φsur la fermeture de U² par φ(w, λ) = w+^λ_c

1 +cλw On calcule que la partie imaginaire deφvaut

Imφ(w, λ) = (1− |λ|²)Im(cw) + (1− |cw|²)Imλ c|1 +cλw|²

Alorsφà les propriétés sur U¯² :

1. Imφà le même signe que Imλ quand|λ|= 1 2. Imφà le même signe que Imλ quandwest réel 3. φ(w,0) =w

4. |φ(w, λ)| ≤ ⁽¹⁺

1 c)

(1−c) = 3 + 2√

2<6(cminimise cette fraction)

Maintenant on définit :

Φ(z, λ) = (φ(z₁, λ), ..., φ(z_n, λ)) (z∈Uⁿ, λ∈U¯).

Les propriétés 1 et 4 Φ(z, e^iθ)est à valeur dans W⁺ si0< θ < π, dans W⁻ siπ < θ <2π et dans E siθ= 0 ou π, finalement on a queΦ(z, e^iθ) vit dans le domaine de définition de f, pour tout z dansUⁿ et pour toutθ réel. On définit

F(z) = 1 2π

Z π

−π

f(Φ(z, e^iθ))dθ (z∈Uⁿ)

On voit que si on fixe z l’intégrande est continue en θ. Il est facile de voir que F est continue surUⁿ. L’integrande est aussi une fonction holomorphe de z pour tout θ donc en appliquant le théorème de Morera pour tous les z_j séparemment on voit que F est holomorphe sur Uⁿ. Nous fixons x= (x1, ....xn) dansE∩Uⁿ et donc|x_j|<1pour tout j. Les propriétés 2 et 4 montrent quef(Φ(z, λ))vit dans le domaine de f pour toutλdansU¯, alors on peut définir

gx(λ) =f(Φ(x, λ))

On voit que gx est continue sur U¯ car c’est une composée de fonctions continues sur U¯. LorsqueIm(λ)>0alorsΦ(x, λ)∈W⁺donc par définition de f, g_x est holomorphe sur la moitié supérieure de U. Lorsque Im(λ) <0,Φ(x, λ)∈W⁻, g_x est holomorphe sur la moitié inférieure de U. Donc si on applique le théorème 1.1 dans le cas à une variable on obtient que gx est holomorphe sur U. Une fois cela dit on peut donc établir l’égalité suivante :

F(x) = 1 2π

Z π

−π

f(Φ(x, e^iθ))dθ = 1 2π

Z π

−π

gx(e^iθ)dθ=gx(0)

En effet commeg_x est holomorphe sur U on peut appliquer le théorème de Cauchy qui dit g_x(0) = 1

2iπ Z

∂U

g_x(a)

a da= 1 2iπ

Z π

−π

ie^iθg_x(e^iθ)

e^iθ dθ = 1 2π

Z π

−π

g_x(e^iθ)dθ Or

g_x(0) =f(Φ(x,0)) =f(x) Donc on obtient finalement

F(x) =f(x) sur E∩ Uⁿ. (4.1)

Maintenant on fixez=x+iy, avec |x_j|< ¹₂ et0< y_j < ¹₂ pour1≤j≤n. On definit h(λ) =f(x+λy), H(λ) =F(x+λy) (λ∈U¯)

Pour chaqueλdansU¯ chaque composante de la partie imaginaire dex+λyest de module inferieur à ¹₂ et elles ont toutes le même signe. Donc h et H sont bien définies. Elles sont holomorphes sur U¯ et coincident sur E∩U d’après (4.1). Et donc h =H sur U¯ , en particulier h(i) =H(i) et donc

F(z) =F(x+iy) =H(i) =h(i) = (f(x+iy) =f(z)

Donc F et f coincident sur un ouvert connexe non vide de W⁺∩Uⁿ et donc comme elles sont holomorphiques surW⁺∩Uⁿelles coincident sur W⁺∩Uⁿ, de même sur W⁻∩Uⁿ en prenant

−¹₂ < y_j <0. On obtient finalement queF(z) =f(z)pour tout z dansUⁿ∩(W⁺∪E∪W⁻).

Ce qui termine la preuve de la proposition ainsi que la version continue.

Chapitre 5

Théorème de Banach-Steinhaus sur les groupes

Dans ce chapitre nous allons énoncer et démontrer un théorème très important qui va nous servir dans la suite : le théorème de Banach-Steinhaus Nous allons nous placer dans le cas des groupes commutatifs muni d’une metrique complète et invariante. Soit G un tel groupe etρ une telle métrique, on dit qu’elle est complète si elle fait de G un espace complet (toutes les suites de Cauchy convergent),ρ est invariante signifie que

ρ(f, g) =ρ(f+h, g+h) (5.1)

pour tout f,g,h dans G. L’opération de groupe est écrite comme l’addition et donc l’élément neutre est 0. Si on a f dans G et n et un entier positif, nf signifie la somme des n termes f+...+f et0f = 0. On obtient

nf =

n

X

k=1

(kf −(k−1)f)

l’inégalité triangulaire donne ρ(nf,0)≤

n

X

k=1

ρ((kf −(k−1)f),0) =

n

X

k=1

ρ((kf),(k−1)f)

Par (5.1)ρ((kf),(k−1)f) =ρ(f,0)on obtient donc

ρ(nf,0)≤nρ(f,0) (5.2)

On appelle homomorphisme complexe de G (on l’appelle aussi fonctions additives) est une fonc- tion à valeur complexe Λ sur G qui satisfait Λ(f +g) = Λ(f) + Λ(g) pour toutes f,g dans G.

Une famille Φde fonctions additives de G est équicontinue si pour tout >0 il existe unδ >0 tel que |Λf| < pour toute Λ ∈ Φ et pour tout f dans G avec ρ(f,0) < δ. On va maintenant énoncer le théorème de Banach-Steinhaus

Théorème 5.1. Soit Φ une famille de fonctions additives continues de G et si Ψ(f) = sup|Λf|: Λ∈Φ<∞

pour tout f dans G, alors Φ est équicontinue

Preuve du Théorème. La continuité de la fonction f 7→ |Λf| montre que pour tout entier n l’ensemble

E_n={f : Ψ(f)≤n}= ∩

Λ∈Φ{f :|Λf| ≤n}

est fermé. AussiG= ^∞∪

n=1EncommeΨ(f)<∞pour tout f dans G. De plus comme G est complet on peut appliquer le Théorème de Baire, en effet ce théorème dit que tout espace métrique complet est de Baire et que donc si G est une union dénombrable de fermés d’interieur vide alors G est d’interieur vide ce qui n’est pas supposé être vrai et donc il existe au moins un E_n d’interieur non vide. En d’autres termes il existe g dans G,R >0 et un entier positif m tels que

|Λ(g+h)| ≤m lorsque ρ(h,0)< r etΛ dansΦ. Sous ces conditions

|Λh|=|Λ(h+g)−Λg| ≤2m (5.3)

Soit N un entier etδ tel que δ =r/2N m. Siρ(f,0)< δ (5.2) implique que ρ(2N mf,0)≤2N mρ(f,0)< r

Et donc (5.3) donne

|Λ(2N mf)| ≤2m (5.4)

CommeΛest additive et que2N mest un entier positif,Λ(2N mf) = 2N mΛ(f). On conclut donc de (5.4) que Λ≤1/N pourΛ∈Φetρ(f,0)< δ. Ceci conclut donc la preuve du théorème.

On va maintenant énoncer un corollaire de ce théorème :

Corollaire 5.2. Si {Λ_i} est une suite de fonctions additive continues de G telle que Λ_if

i→∞

= Λf

existe pour toute f dans G, et si K est un compact de G, alors maxf∈K|Λ_if−Λf|^i→∞→ 0

preuve. Soit >0. Par le Théorème de Banach-Steinhaus, il existeδ >0 tel que|Λ_i(f−g)|<

pour tout i lorsqueρ(f, g)< δComme K est un compact il existe g₁, ..., g_ndans K tels que pour tout f dans K ρ(f, gm) < δ pour au moins un m. Il existe N tel que |Λ_igm−Λjgm|< quand i > N etj > N. Alors

|Λ_if −Λjf| ≤ |Λ_i(f −gm)|+|Λ_igm−Λjgm|+|Λ_j(gm−f)|<3

sii > N,j > N et f dans K. En faisant tendre j vers l’infini on obtient que|Λ_if−Λf| ≤3pour tout f dans K,pour tout i > N.

Chapitre 6

Fonctions tests

Dans cette partie nous allons discuter de la fonction φ qui apparait dans le théorème 1.2.

Soit K un compact deRⁿet soitC_K^∞l’espace des fonctions complexes infiniement différentiables à support compact K. Il est facile de voir que C_K^∞ est un groupe sous l’addition. On définit la métriqueρ surC_K^∞ par la formule

ρ(φ, ψ) =X

α

2^−|α| ||D^α(φ−ψ)||_K 1 +||D^α(φ−ψ)||_K Avecα parcourant tous les multi-indices de la forme α= (α₁, ..., α_n), Ici

|α|=α₁+....+α_n, D^α = ( ∂

∂x₁)^α1...( ∂

∂x_n)^αn Et ||.||_K désigne la borne supérieure sur K. Comme P

2^−|α|<∞,ρ est bien définie.ρ est bien une distance surC_K^∞, en effet elle est symétrique car||D^α(ψ−φ)||_K =||(−1)^|α|D^α(φ−ψ)||_K =

||D^α(φ−ψ)||_K, la séparation est respectée car si ρ(φ, ψ) = 0 alors comme on a une somme de termes positifs chacuns d’eux est nul, donc ||D^α(φ−ψ)||_K = 0 et donc φ = ψ. L’inégalité triangulaire est aussi respectée par propriété de la somme et de||.||_K qui est une norme. Doncρ définit bien une distance sur C_K^∞. Il est facile de voir qu’elle est invariante, de plus ρ(φi,0)→0 si et seulement si ||D^α(φ_i)||_K → 0 pour tout α. Ceci montre que {φ_i} est une suite de Cauchy dans C_K^∞ (relativement à ρ) si et seulement si {D^αφ_i} en est une pour tout α relativement à

||.||_K. Si on suppose que{φ_i}est de Cauchy (relativement à ρ) alors chaqueD^αφi converge uni- formément. Il suit qu’il existe φ∈C_K^∞ telle que ||D^α(φ_i−φ)||_K →0 pour toutα, cela implique queρ(φ_i, φ)→0. Et donc (C_K^∞, ρ) est bien un espace complet.

La continuité des fonctions additives sur C_K^∞peut être exprimée d’une manière simple. Nous allons nous placer dans le casn= 1, à la place de K nous allons prendre l’intervalle réelI = [−δ, δ].

Pour simplifier les formules à venir on va supposer que2δ ≤1. SoitΓune collection équicontinue de fonctions additives sur C_I^∞. Par définition on a donc l’existence d’un r >0 tel que|Λφ|<1 pour toute φ∈Γsi ρ(φ,0)< rc’est à dire si

∞

X

m=0

2^−m ||D^m(φ)||_I

1 +||D^m(φ)||_I < r (6.1)

Soit p≥1tel que2^−p < r/4. Comme toute φdansC_I^∞ sont nulles en dehors de I, toutes ses dérivées sont nulle en−δ etδ alors

||D^p−1(φ)||_I ≤ Z

I

|D^pφ(s)|ds

aussi

||D^p−2(φ)||_I ≤ Z

I

|D^p−1φ(s)|ds≤2δ||D^p−1(φ)|| ≤ Z

I

|D^pφ(s)|ds On voit donc que

||D^m(φ)||_I ≤ Z

I

|D^pφ(s)|ds

pour tout m tel que0≤m≤p−1On va maintenant chercher une majoration pour les p premiers termes de la serie dans (6.1)

p−1

X

m=0

2^−m ||D^m(φ)||_I 1 +||D^m(φ)||_I ≤

p−1

X

m=0

2^−m Z

I

|D^pφ(s)|ds ≤2(1−(1/2)^p) Z

I

|D^pφ(s)|ds ≤2 Z

I

|D^pφ(s)|

On peut ensuite majorer le reste de la serie parP∞

m=02^−m = 2^1−p < r/2. On peut donc conclure que si R

I|D^pφ(s)|ds < r/4 alors on a bien (6.1). On a donc que|Λφ|<1si R

I|D^pφ(s)|ds < r/4 Si on prend B= 4/ron obtient le résultat suivant

Proposition 6.1. Si Γ est une collection équicontinue de fonctions additives sur C_I^∞ alors il existe un entier p et une constante B finie tels que

|Λφ| ≤B Z

I

|D^pφ(s)|ds pour tout φ∈C_I^∞ et pour toutΛ∈Γ.

Chapitre 7

Lemme sur le rayon de convergence

Dans ce chapitre g désigne une fonction complexe infiniment différentiable définie sur un voisinnage de l’origine deRⁿ. On pose

Mr(g) = sup

α

|D^αg(0)|

α! r^|α|

On definit

R(g) = sup{r ≥0 :M_r(g)<∞}

Iciα! =α1!...αn!.

On voit facilement que R(g) est le plus grand nombre r tel que P

(D^αg)(0)z^α/α! converge absolument sur rUⁿ. En effet le rayon de convergence de la serie étant

R= sup{r ≥0 tq ((D^αg)(0)r^α

α! )_α bornee}

et on voit que(^(Dαg)(0)r_α! ^α)α bornée si et seulement si Mr(g)<∞ donc R(g) =R

Lemme 7.1. Supposons que Eest un ouvert deRⁿ, Q et K des cubes compacts centrés en 0 tels queQ+K ⊂E, g est une fonction complexe infiniment différentiable définie sur E et

R(g∗φ)≥R₀ pour tout φ∈C_K^∞ (7.1) AlorsR(g)≥R₀. Avec

(g∗φ)(x) = Z

K

g(x−ξ)φ(ξ)dξ

On poseK =Iⁿ, oI = [−δ, δ]et on suppose sans perte de généralité que2δ≤1. L’hypothèse (7.1) sera utilisée pour les fonctions φde la forme

φ(x) =φ₁(x₁)....φ_n(x_n)

où chaqueφiest dansC_I^∞. Pour une telleφon introduit "convolution partielle"Pi par la formule Pi(g, φ)(x) =

Z

I

g(x1, ....xi−1, xi−t, ...xn)φi(t)dt Alors

(g∗φ) =P1...Pn(g, φ) (7.1) dit que

Mr(g∗φ) =Mr(P1...Pn(g, φ))<∞ si r < R0

Le démontre le lemme en appliquant n fois successivement la proposition suivante :

Lemme 7.2. Avec g comme ci-dessus et φ dans C_I^∞ on definit g_φ(x) =

Z

I

g(x₁, ...., x_n−t)φ(t)dt (7.2) Si Mr(gφ)<∞ pour tout φ dans C_I^∞ et pour toutr < R0. Alors Mr(g)<∞ pour toutr < R0

Cette proposition implique le lemme car si on prendh₁ =P₂. . . P_n(g, φ)on a(g∗φ) = (h₁)_φ1, par la proposition on obtient queMr(h1)<∞, on pose ensuiteh2 =P3. . . Pn(g, φ), la proposition montre que Mr(h2)<∞. En itérant on obtient queMr(hn−1) =Mr(Pn(g, φ))<∞et donc par la proposition M_r(g)<∞.

Preuve. On fixe r et s tels que0< r < s < R0. On définit

Λαφ= (D^αg_φ)(0)s^|α|/α! (φ∈C_I^∞)

D’après (7.2) comme on intègre une fonction continue sur un compact on aD^α(g_φ) = (D^αg)_φ On obtient donc que

|Λ_αφ|=|(D^αg)φ(0)s^|α|/α!| ≤ | Z

I

(D^αg)(0, ....,−t)φ(t)dt| ≤ksup

t∈I

(φ(t))

avec k une constante qui dépend de g et α. Il vient donc que Λα est continue sur C_I^∞. Par hypothèse comme M_r(g_φ) < ∞ alors sup

α

|Λ_αφ| < ∞ pour tout φ dans C_I^∞. Le théorème de Banach-Steinhaus démontré précédemment dit que {Λ_α}est une collection équicontinue. Et on a vu à la fin du chapitre 6 que cela impliquait l’existence d’un entier p positif et d’une constante B⁰ <∞ tels que

sup

α

|Λ_αφ|=M_s(g_φ)≤B⁰ Z

I

|D^pφ(t)|dt (7.3)

On va maintenant essayer de se débarrasser deD^p ans l’inégalité au dessus, On réecrit (7.2) avec un simple changement de variable

g_φ(x) = Z

I

g(x1, ...., t)φ(xn−t)dt (7.4) Soitν le multi-indice ν = (0, ...,1). Siφ∈C_I^∞etψ∈D^pφ, alorsψ∈C_I^∞, et (7.4) montre que

D^αgψ =D^α+pνgφ En effet

D^α+pνgφ=D^α+pν Z

I

g(x1, ...., t)φ(xn−t)dt=D^α Z

I

g(x1, ...., t)D^pνφ(xn−t)dt=D^αgψ

On pose β=α+pν alors|β|=|α|+pet D^αg_ψ(0)r^|α|

α! =D^βg_φ(0)r^|α|

α! =D^βg_φ(0)s^|β|

β!

β!

α!(r s)^|α|s^−p alors

Mr(g_ψ)≤Ms(g_φ)s^−psup

α

{(α+pν)!

α! (r

s)^|α|} (7.5)

Siα= (α₁, ..., α_n) alors (α+pν)!

= (α₁!...(α_n+p)!

= (α_n+p)!

≤(α_n+p)^p ≤(|α|+p)^p

Comme on a supposé que r < s on obtient que le sup dans (7.5) est fini. Et donc d’après (7.3) et (7.5)

Mr(gψ)≤B⁰ Z

I

|D^pφ(t)|dt.s^−p.sup

α

{(α+pν)!

α! (r

s)^|α|} ≤B”

Z

I

|ψ(t)|dt (7.6) Où B" dépend de g,r,s,p mais pas de ψ et donc l’inégalité est valable pour toutes ψ∈C_I^∞ (qui est la pième dérivée d’une fonction φ ∈ C_I^∞). Soit X l’espace de telles ψ, X contient donc les fonctions ψ ∈C_I^∞ dont la p-ième integrale a son support dans I. On peut aussi le voir comme l’intersection des espaces où les applications linéaires S₁, ...., S_p s’annulent où

S1φ= Z δ

−δ

φ, S2φ= Z δ

−δ

dt Z t

−δ

φ plus explicitement

(k−1)!S_kφ= Z δ

−δ

(δ−t)^k−1φ(t)dt

Cela montre queS1, ...., Sp sont linéairement indépendantes et que comme δ ≤1/2

|S_kφ|= 1 (k−1)!|

Z δ

−δ

(δ−t)^k−1φ(t)dt| ≤ | Z

I

φ(t)dt| ≤ Z

I

|φ(t)|dt (7.7) L’indépendance desSi montre qu’il y a des fonctions φ1, ..., φp dans C_I^∞ telles que S_kφj =δ_kj. Toute φ∈C_I^∞ à une unique représentation de la forme

φ= (S1φ)φ1+...+ (Spφ)φp+ψ (7.8) où ψ∈X

En effet en définissant ψ comme φ−Pp

i=1S_i(φ)φ_i, i.e. de sorte que (7.8) soit vrai. Il faut vérifier que ψ appartient à X. D’après la description de X , X est l’intersection ∩^p_i=1Ker(S_i), donc il suffit de prouver que Sj(ψ) = 0, pour tout j= 1, . . . , p. Or,

Sj(ψ) =Sj(φ)−

p

X

i=1

Si(φ)Sj(φi) = 0

carS_j(φ_i) =δ_ij , d’après la définition deφ_i. Si C= 1 +

Z

I

(|φ₁|+...+|φ_p|), D’après (7.7) et (7.8) on obtient que R

|ψ| ≤CR

|φ|. En effet

|ψ| ≤ |φ|+

p

X

i=1

|S_iφ|.|φ_i| ≤ |φ|+ Z

I

|φ|.

p

X

i=1

|φ_i|

Et donc

Z

I

|ψ| ≤ Z

I

|φ|+ Z

I

|φ|.

p

X

i=1

| Z

I

φ_i|=C Z

I

|φ|

par linéarité on a

gφ=

p

X

i=1

|S_iφ|.g_φk + gψ

Il suit de (7.6) et (7.7) que

Mr(gφ)≤ {

p

X

i=1

Mr(gφ_k) +CB”}

Z

I

|φ|

On peut réecrire cette inégalité sous la forme M_r(g_φ)≤B⁰⁰⁰

Z

I

|φ(t)|dt (7.9)

pour toutes φ∈C_I^∞. Finalement on considère une suite de fonctions positives(φn)n de C_I^∞ telles que leurs intégrales valent 1 et que les supports rétrecissent vers l’origine (de la forme I_n= [−δ/n, δ/n]. Alors pour tout α on a par continuité de (D^αg)

D^α(g_φ)(0) = (D^αg)_φ(0)→(D^αg)(0) Comme (7.9) est valable pour touteφ∈C_I^∞ on obtient

M_r(g)≤B⁰⁰⁰

Or nous avons choisit r < R₀ arbitrairement donc c’est valable pour tout r < R₀ ce qui termine la preuve de la proposition et donc du lemme.

Chapitre 8

Preuve de la version des distributions

Nous allons enfin démontrer le theorème 1.2 de l’introduction. On se donne f une fonction holomorphe sur E+iV ∪E−iV (E,V comme dans l’énoncé du théorème) et que

y→0lim Z

E

f(x+iy)φ(x)dx (8.1)

existe pour tout φ∈C_E^∞. On doit prouver que f s’étend en une fonction holomorphe surΩ (qui apparait dans le théorème 1.1).

Soient Q et K des cubes compacts de Rⁿ avec Q dans E, K centré en 0 et K assez petit tel queQ+K ⊂E. Pour tout φ∈C_E^∞ on définit

(f ∗φ)(z) = Z

K

f(z−ξ)φ(ξ)dξ (8.2)

avec x dans Q et y dans (V ∪ −V)etz=x+iy. On noteQ⁰ l’interieur de Q. Il est clair que (f∗φ)est holomorphe surQ⁰+iV et surQ⁰−iV car f l’est sur E etQ+K ⊂E. On prétend dans un premier temps que(f∗φ) s’etend en une fonction continue sur (Q⁰+iV)∪Q⁰∪(Q⁰−iV).

Une fois ceci supposé on peut appliquer le théorème 1.1 (avecQ⁰ à la place de E) qui nous dit qu’il existeΩQ dansCⁿ qui contientQ⁰ oùf∗φs’étend en une fonction holomorphe. On fixex⁰ dansQ⁰, il existe y dans V si proche de 0 que si on posez⁰=x⁰+yil y a un polydisquez⁰+rUⁿ qui est dansΩ_Q et qui contient doncx⁰. On peut maintenant appliquer le lemme du chapitre 7, commef∗gest développable en serie entiere surz⁰+rUⁿelle a un rayon de convergence fini pour toutφet donc on a la même affirmation pour f. En particulier on peut étendre l’holomorphie et donc la continuité de f en x⁰.

En effet il existef⁺dansQ⁰ telle que pour y dansV on àf(x⁰+iy)→f⁺(x⁰)quand y tend vers 0. Comme on à choisitx⁰ arbitrairement on à la convergence uniforme surQ⁰. On obtient de même la convergence versf⁻(x⁰) lorsque y est dans−V. Cependant d’après (8.1) on à la même limite pour y dans V ou -V, doncf⁺=f⁻. On obtient donc bien une extension continue de f sur un ensembleΩ qui contient(Q⁰+iV)∪Q⁰∪(Q⁰−iV). Comme on à choisit arbitrairement Q un cube inclus dans E, on à maintenant les hypothèses du théorème 1.1 sur f et donc on obtient bien l’extension holomorphique de f surω.

On va maintenant prouver ce que nous avons supposé plus haut c’est-à-dire quef∗φs’étend en une fonction continue sur (Q⁰ +iV)∪Q⁰∪(Q⁰−iV). On fixe φ ∈ C_K^∞. Pour chaque y dans V ∪ −V la fonction

Λ_y(ψ) = Z

E

f(ξ+iy)ψ(ξ)dξ

est une fonction linéaire et continue surC_K+Q^∞ . En effet

|Λ_y(ψ)|=| Z

E

f(ξ+iy)ψ(ξ)dξ| ≤ Z

supp(ψ)

f(ξ+iy)dξ.sup(ψ)≤C.sup(ψ) D’après (8.1)

Λψ=lim

y→0Λ_y(ψ) existe pour toutφ∈C_K+Q^∞ . On définit τ_xφpar

(τxφ)(ξ) =φ(x−ξ)

Comme φest dansC_K^∞ six∈Qon a(τxφ)∈C_K+Q^∞ et (8.2) peut être mise sous la forme

(f∗φ)(z) = Λ_y(τ_xφ) (8.3)

avec x ∈ Q et y ∈ V ∪(−V). En effet on fait un simple changement de variable (On pose u = z−ξ −iy dans l’expression de f ∗φ). Comme x 7→ τxφ est continue de Q dans C_K+Q^∞ , pour une suite (xn)n telle que xn → x, chaque dérivée D^α(τxjφ) converge uniformément vers D^α(τ_xφ)Donc les fonctionsτ_xφforment un espaces compacts deC_K+Q^∞ . On peut donc appliquer le corollaire du théorème de Banach-Steinhaus qui implique que

Λ_y(τ_xφ)→Λ(τ_xφ)

uniformément pour∈Qquandy →0. Et donc par (8.3) on a convergence uniforme def∗φsur Q lorsquey →0 et donc cela montre que l’on peut prolonger par continuitéf ∗φsur Q, ce qui termine la preuve du théorème.

Corollaire 8.1. Supposons W⁺=E+iV comme dans 1.1, f holomorphe surW⁺ et

y→0lim Z

E

f(x+iy)φ(x)dx= 0 pour tout φ∈C_E^∞ alors f=0.

Démonstration. On prend f(x+iy) = 0 surW⁻ et on applique le 1.2 et on obtient le résultat attendu.

Chapitre 9

Preuve du théorème de reflexion

Le but de cette partie est de donner une preuve du théorème 1.3. Nous allons d’abord énoncer un lemme qui va nous servir dans la suite.

Lemme 9.1. Si f =u+iv est holomorphe sur W⁺ =E+iV et si

y→0lim Z

E

v(x+iy)φ(x)dx (9.1)

existe pour toute fonctionφà support compact dans E alors(9.1) est aussi vraie pour u à la place de v.

preuve. Choisissons K et Q comme dans le chapitre précédent. Siφ∈C_K^∞ etφest réelle alors f ∗φ= (f∗φ)(z) =

Z

K

f(z−ξ)φ(ξ)dξ=u∗φ+i(v∗φ)

dansQ+iV. Si on utilise ce que nous avons fait dans la deuxième partie du chapitre précédent qui était une application du théorème de Banach-Steinhaus alors v∗φ est continue et bornée sur Q (on remplace la fonction f par v). Deplus cela reste vraie pour des dérivées ∂φ/∂xj qui restent des fonctions à support compacts et à qui on peut appliquer Banach-Steinhaus. De plus, par propriété de la convolution on a

v∗(∂φ

∂x_j) = ∂

∂x_j(v∗phi)

Il suit que commef∗φest holomorphe, par les équations de Cauchy-Riemann

∂

∂xj

(v∗phi)− ∂

∂yj

(u∗phi)

. Et donc les dérivées par rapport à y de u∗φ sont aussi continues et bornées sur Q, ce qui implique la même chose pouru∗φainsi

limy→0

Z

E

u(x+iy)φ(x)dx existe aussi et donc cela termine la preuve du lemme.

Preuve du théorème 1.3. Par hypothèse on se place maintenant dans le cas où la limite dans (9.1) existe et vaut 0. Si on définie f surW⁻ par

f(z) =u(¯z)−iv(¯z)

alors en appliquant le lemme on obtient la conclusion du théorème 1.3. En effet par hypothèse u et v sont holomorphes surW⁺ et donc z7→u(¯z)−iv(¯z) est holomorphe surW⁻ (car z¯∈W⁺).

Et donc on à bien d’après le lemme limy→0

Z

E

f(x+iy)φ(x)dx

existe avecy→0dansV ∪(−V). On obtient donc F une extension de f telle quef =F sur tout le domaine de f.

De plus avec f definie comme ce-dessus sur W⁻ on a

f(z) =F(z) =u(¯z)−iv(¯z)⇒F¯(z) =u(¯z) +iv(¯z) =f(¯z) (pour z ∈W⁻) On a donc bien la condition vérifiée par F sur W⁻.

Chapitre 10

Application dans les polydisques

La notation Uⁿ désigne comme précédemment le polydisque unitaire avec |z_n| < 1. Pour toute fonction f surUⁿ on lui associe

∼

f surRⁿ+iRⁿ+ par

∼

f(z1, .., zn) =f(e^iz1, ..., e^izn) On peut aussi l’écrire sous la forme

∼

f_y(x) =f_r(w) ou

∼

f(x+iy) =f(rw) où

x= (x1, .., xn), −∞< xj <∞ y= (y1, .., yn), yj >0 r= (r1, .., rn), 0< rj <1

w= (w1, .., wn), |w_j|= 1 rw= (r1w1, .., rnwn)

Dans ce chapitre r va donc toujours être un point d’un cube ouvert de Rⁿ et w un point du tore unitaireTⁿ=S¹×...×S¹. Doncf_r est définie surTⁿ. Le changement de variablez7→e^iz va de Cⁿ dans Cⁿ et est localement une bijection. Donc toute extension holomorphe de

∼

f va correspondre une extension pour f.

SoitE ⊂Tⁿ et0< δ <1, on va noter [E, δ]l’ensemble des rw avec w∈E etδ, r_j <1. Si E est un ouvert et si f est défini dans un[E, δ], on dit que f possède une limite au sens des distributions si

lim Z

E

fr(w)φ(w)dmn(w)

existe pour tout φ∈C^∞(Tⁿ) lorsque rj → 1. Ici mn est la mesure de Lebesgue normalisée sur Tⁿ. Supposons que f est holomorphe surUⁿ telle que

f(z) =X

α

c(α)z^α (10.1)

On dit que f à des coefficients "polynomialement bornés" si il existe M < ∞ tel que

|c(α)|.|α|−M est borné lorsque |α| → ∞.

Théorème 10.1. Les propositions suivantes pour une fonction f holomorphe sur Uⁿ sont équi- valentes :

(i) f a des coefficients "polynomialement bornés".

(ii) f a une limite au sens des distributions sur Tⁿ.

(iii) Il existe une suite de r tendant vers(1, ...1)telle que(10.1)converge pour toutφ∈C^∞(Tⁿ).

preuve. Sif(z) =P

α

c(α)z^α etφ∈C^∞(Tⁿ) a des coefficients de Fourier notés

∧

φalors Z

Tⁿ

fr(w)φ( ¯w)dmn(w) =X

α

c(α)

∧

φ(α)r^α

en effet Z

Tⁿ

fr(w)φ( ¯w)dmn(w) = Z

Tⁿ

X

α

c(α)r^αw^αφ( ¯w)dmn(w) =X

α

c(α)r^α Z

Tⁿ

w^αφ( ¯w)dmn(w)

on peut écrire w sous la forme w= (e^−iθ1, ..., e^−iθn) ce qui donne Z

Tⁿ

w^αφ( ¯w)dmn(w) = Z π

−π

×....× Z π

−π

((e^−iθ1α1, ..., e^−iθnαn)φ( ¯w1, ...,w¯n)dm(θ1)...dm(θn)

Ici on adm(θi) = 1/√

2πdθi et donc on a bien la définition des coefficients de Fourier et Z

Tⁿ

w^αφ( ¯w)dmn(w) =

∧

φ(α)

Comme φ ∈ C^∞(Tⁿ) on sait par propriété des coefficients de Fourier que |

∧

φ(α)| → 0 plus rapidement que n’importe quelle puissance de|α|⁻¹ Si on suppose que (i) est vraie alors il existe M et k finis tels que |c(α)| ≤k|α|^M et donc|c(α)φ(α)| ≤ |k||α|^{∧ M}|φ(α)| →^∧ 0 quand α tend vers l’infini et doncP

|c(α)φ(α)|^∧ <∞ ce qui clairement implique (ii) et (ii) implique (iii). Si (i) est fausse alors il existe des multi-indicesα(s), pour s= 1,2, ...,tels que|c(α(s))|>|α(s)|^sOn pose

φ(w) =

α

X

s=1

θ_s|α(s)|^−sw¯^α(s)

où θsc(α(s)) =|c(α(s))|On a bienφ∈C^∞(Tⁿ) et Z

Tⁿ

fr.φdmn=

∞

X

s=1

|c(α(s))||α(s)|^−sr^α(s)>

∞

X

s=1

r^α(s) (car |c(α(s))|>|α(s)|^s)

qui tend vers l’infini lorsque r → (1, ...,1) et donc on a pas (iii), par négation on a bien (iii) implique (i)

Nous allons maintenant voir un théorème d’extension holomorphique un peu différents où cette fois ci on travaille avec Uⁿ et Vⁿ avec V contient les z tels que|z_j|pour tout j et E dans Tⁿ.

Théorème 10.2. Pour tout ouvert E⊂Tⁿ il existe un Ωdans Cⁿ avec les propriétés suivantes (i) Ωcontient Uⁿ∪E∪Vⁿ

(ii) si f =u+iv est holomorphe surUⁿ et v à une limite au sens des distributions qui vaut 0 sur E alors f s’étend en une fonction holomorphe sur Ω.

Preuve. Il est clair que c’est un simple corollaire du théorème 1.3 en effet si f verifie de telles conditions alors on peut appliquer le 1.3 à

∼

f et donc on peut étendre

∼

f holomorphiquement et comme il n’y qu’un changement de variable entre f et

∼

f on peut aussi trouver un extension holomorphe de f.

Le théorème 10.1 implique que si f dans (ii) a ses coefficients "polynomialement bornés"

alors l’hypothèse sur v peut être affaiblie et il est suffisant de supposer quevr → 0 au sens des distributions pour une certaine suite de r qui tend vers (1,...,1).

Chapitre 11

Généralisation d’Epstein

Dans ce chapitre nous allons nous placer dans cas plus général que ce que nous avons vu précédemment, en effet nous allons maintenant consiérer deux cônes ouverts de Rⁿ S1 et S2 et nous appelons respectivement V₁ et V₂ leurs intersections avec des boules quelconques centrées à l’origine. Notons queV₁ n’a pas besoin d’intersecter −V₂.

Théorème 11.1. Avec E,V₁ et V₂ comme ci-dessus il existe Ω⊂Cⁿ qui possède les propriétés suivantes

(i) toute fonction f holomorphe sur

W = (E+iV₁)∪(E+iV₂)

et continue sur W ∪E s’étend en une fonction holomorphe surΩ continue sur Ω∪E.

(ii) Tout point de E est le centre d’une boule B de Cⁿ telle queΩcontienne l’intersection de B et de l’enveloppe convexe de W.

On à aussi une version de ce théorème au sens des distributions mais nous allons seulement considérer le cas continue. On peut se placer dans un cas special comme dans la démonstration du théorème 1.1, en effet le problème est invariant par transformation linéaire deCⁿ. Nous allons nous placer dans le cas special suivant :

Théorème 11.2. Soit t>1 et K est l’ensemble des pointsx+iy deCⁿ tels que leurs coordonnée satisfont

(i) |x_j| ≤1 pour 1≤j≤n, (ii) |y_j| ≤y₁ ≤1 pour2≤j≤n, (iii) y1 ≤t|y₂|.

De même on définit H l’ensemble des points qui vérifient (iv) |x_j| ≤1/5 pour 1≤j≤n,

(v) |y_j| ≤y₁ ≤1/5 pour 2≤j≤n.

Supposons que f est continue sur K et holomorphe sur un ensemble qui contient K sauf peut être les points où y vaut 0. Alors il existe une fonction F continue sur H et holomorphe sur son interieur telle queF(z) =f(z) sur H∩K etmax

z∈H|F(z)| ≤max

z∈K|f(z)|.

Le théorème précédent est une donc une conséquence de celui-ci. Il y a assez peu de différences entre H et K sauf dans le plan(y₁, y₂)à cause de la condition (iv) ce qui rend l’inerieur de K non connexe. H ne possédant pas une telle condition est donc convexe. Pour démontrer le théorème nous allons utiliser une certaine fonction biholomorpheΦdansCⁿqui transforme f en une fonction

g=f◦Φ⁻¹, définie surΦ(K). Les propriétés deΦsont telles que la formule intégrale de Cauchy pourra être utilisée pour construire une extension continue G de g sur Φ(H) et et F = G◦Φ sera l’extension voulue.

Nous allons maintenant construireΦ La transformationw= Φ(z)est donnée par w1 = z₂²−iz1

w_j = z_j (11.1)

pour2≤j ≤nOn obtient donc le système suivant pour z z1 = i(w1−w₂²)

z_j = w_j (11.2)

pour2≤j≤nOn voit donc que ΦetΦ⁻¹ amèneCⁿ dansCⁿ. Sizj =xj+iyj etwj =uj+ivj

alors (11.1) et (11.2) nous donnent

u1=x²₂−y₂²+y1 , v1= 2x2y2−x1

et

y1 =v₂²−u²₂+u1 , x1 = 2u2v2−v1 (11.3) On va maintenant introduire une famille de courbes planes Γ(s, u)avec 1≤s≤tet0≤u≤ 1/4. EtΓ(s, u) paramétrisée par

Γ(s, u)(θ) =√

ucosθ+ 2iu|sinθ|sinθ/(s+p

s²−4usin²θ),

avec −π ≤θ≤π. On voit que quand u = 0 on a juste l’origine et quandu > 0 on a de simple courbes fermées. On remarque cependant que siw2 =u2+iv2 est dansΓ(s, u1)alors il existeθ0

tel que

w2 = Γ(s, u)(θ0) =√

u1cosθ0+ 2iu1|sinθ0|sinθ0/(s+p

s²−4u1sin²θ0) On obtient donc le système suivant

u2 = √

u1cosθ0

v2 = 2u1|sinθ0|sinθ0/(s+p

s²−4u1sin²θ0) On obtient finalement

v²₂−u²₂+u1 =s|v₂|. (11.4)

Si w = Φ(z) alors (11.3) et (11.4) montrent que y1 = s|y₂| De plus on voit que que si r < s alorsΓ(s, u)vit dans l’interieur de Γ(r, u) sauf pourθ= 0, π,−π On va maintenant définir trois ensembles A₁,A₂ etA₃. Le pointw= (w₁, .., w_n) appartient àA₁ si et seulement si

(i) 0≤u₁ ≤1/4,|v₁| ≤1/2,

(ii) |u_j| ≤1,|v_j| ≤u₁−u²₂+v²₂ pour3≤j≤n,

(iii) w₂ vit dans l’union des courbes Γ(s, u₁),1≤s≤t.

Il appartient àA₂ si il verifie (i), (ii) et

(iv) w₂ vit dans l’interieur deΓ(1, u₁)ou sur Γ(1, u₁) , Il appartient àA₃ si il verifie (i), (ii) et (v) w₂ vit en dehors de Γ(1, u₁).