CH II. STATIQUE DES FLUIDES (HYDROSTATIQUE)

(1)

1/15

Figure II.1. Force pressante d’un liquide sur une surface S entourant un point M

M’ M dF = p.dS

dF’ = p’.dS’

α

Figure II.2

CH – II. STATIQUE DES FLUIDES (HYDROSTATIQUE)

II.1. Définition

La statique des fluides a pour objet l’étude des fluides au repos (vitesse nulle : ⃗ = 0).

Il n'y a pas de mouvement relatif entre les particules fluides. Donc, il n'existe pas de force de frottement. Les forces qui agissent sur les surfaces délimitant les particules fluides sont uniquement des forces de pression et s'exercent perpendiculairement à ces surfaces, ce qui constitue globalement le cadre de ce chapitre.

II.2. Pression des fluides au repos – Pression hydrostatique

II.2.1. Notion de pression en un point

Considérons un point M à l’intérieur d’une masse liquide (sans viscosité) et découpons une surface S, de normale

⃗,

entourant ce point (figure II.1). En tout point de cette surface les conditions physiques sont identiques. De plus, le liquide étant supposé parfait, les molécules liquides n’exercent aucun frottement ; donc, il n’existe aucune composante tangentielle dans le plan de S. Toutes les forces sont normales à S et admettent une résultante F également normale à S. Cette résultante F est appelée « Force pressante » ou

« force de pression » sur S. Le rapport est la pression moyenne p par unité de surface. La pression en un point M est :

=

II.2.2. Propriétés de la pression en un point

On découpe, dans un liquide au repos, un cylindre infiniment petit, de sections transversales dS (droite et centrée sur un point M) et dS’ (centrée sur un point M’ et d’orientation quelconque définie par l’angle α) (figure II.2). Soient p la pression normale à dS et p’ la pression normale à dS’.

On a par définition :

dF = p.dS et dF’ = p’.dS’

L’équation d’équilibre du système s’écrit :

P’.dS’.cos α - p.dS = 0 ⇒ p.dS = p’.dS’.cos α Or dS = dS’.cos α

D’où p’.dS’.cos α = p.dS’.cos α Et finalement on a :

p = p’

(2)

2/15

Figure II.3. Forces exercées sur un volume liquide parallélépipédique dx.dy.dz infiniment petit.

Conclusion

- En n’importe quel point d’un liquide, la pression est la même dans toutes les directions. La pression ne dépend pas de l’angle d’inclinaison de la surface considérée.

- Dans un liquide en équilibre, la pression agissant sur un élément de surface est toujours normale à cet élément de surface.

II.3. Equilibre des liquides – Equations d’Euler

Soit un volume liquide dV infiniment petit sous forme de parallélépipède de dimensions dx.dy.dz parallèles respectivement aux axes ⃗, ⃗, ⃗ (figure II.3). Soient M le centre de la section S et N le centre de la section S’.

Sur ce volume agissent des forces massiques (forces moléculaires intérieures égales et opposées deux à deux) et des forces superficielles (ou de pression) (forces extérieures dues aux particules extérieures voisines des surfaces de dV).

La force massique est proportionnelle à la masse du liquide considéré, soit :

dF = a. dm = a. ρ. dV = a. ρ. dx. dy. dz

Où a : est l’accélération du volume dV ou force de volume par unité de masse.

Soit x, y, z les projections de l’accélération sur les axes (ox, oy, oz). On écrit :

Soit p(x,y,z) la pression au point M. La variation de p sur dx (variation suivant x) est infiniment petite et est égale à la différentielle partielle

dx = dP .

La force de pression agissant sur la section S est :

d = . .

. La force superficielle (ou de pression) qui agit sur la section S’ sera donc :

dF . dy. dz = + ∂p

∂x . dx dy. dz

L’équation d’équilibre en projection sur ⃗ est :

dF + p. dy. dz− p +∂p

∂x. dx dy. dz = 0 x.ρ. dx. dy. dz + . . − . . −∂p

∂x. dx. dy. dz = 0 dF = x.ρ. dx. dy. dz

dF = y.ρ. dx. dy. dz dF = z.ρ. dx. dy. dz

Expressions des forces massiques suivant les axes (ox, oy, oz)

(3)

3/15

z

x

M

h

Z Surface libre

du liquide

Z0

Figure II.4 p0

x.ρ. dx. dy. dz−∂p

∂x. dx. dy. dz = 0 x.ρ −∂p

∂x = 0 ⇒ x−1 .∂p

∂x= 0

Avec le même raisonnement, on peut établir les équations suivant les axes ⃗ et ⃗, on aura finalement le système suivant :

L’écriture vectorielle de ces équations est : F⃗= . grad⃗ p ou ρF⃗ −grad⃗P = 0 F⃗ : Forces de volume par unité de masse.

II.4. Equation fondamentale de l’hydrostatique

Dans un liquide en équilibre absolu, les forces massiques qui agissent sur lui sont uniquement les forces dues au champ de la pesanteur.

Déterminons les équations permettant de déterminer la pression en n’importe quel point du volume liquide considéré.

Soit un point M choisi arbitrairement dans le liquide, à une profondeur h (figure II.4). Pour déterminer la pression p au point M, utilisons les équations d’Euler :

⇒ x. dx + y. dy + z. dz =1 ρ. ∂p

∂x. dx +∂p

∂y. dy +∂p

∂z. dz

Où le terme . dx + . dy + . dz est la différentielle totale de la fonction p(x,y,z).

Donc

. dp = x. dx + y. dy + z. dz

x−1

.∂p

∂x= 0 y−1

.∂p

∂y= 0 z−1

.∂p

∂z = 0

Equations d’Euler

x−1 .∂p

∂x= 0 ∗dx y−1

.∂p

∂y= 0 ∗dy z−1

.∂p

∂z = 0 ∗dz

x. dx−1 .∂p

∂x. dx = 0 y. dy−1

.∂p

∂y. dy = 0 z. dz−1

.∂p

∂z. dz = 0

⇒

x. dx =1 .∂p

∂x. dx y. dy =1

.∂p

∂y. dy z. dz =1

.∂p

∂z. dz

⇒

(4)

4/15

Dans notre cas, les composantes de la force massique unitaire sont : x=0 ; y=0 ; z = - g D’où

. dp = −g. dz ⟹ dp = −ρ. g. dz

Après intégration, on obtient :

p =−ρ. g. z + C (1) ⟹ C = p +ρgz Déterminons la constante C à partir des conditions à surface libre, c'est-à-dire : Pour z = Z0 on a p = p0 donc C = p0 + ρgZ0

(1) ⇒ p = - ρgz + p0 + ρgZ0 (2)

⇒ p + ρgz = p0 + ρgZ0

On a

z + = Z + = C

D’autre part, (2) ⇒

p = p + ρg. (Z − z) ⟹ = +

Cette équation est appelée « équation fondamentale de l’hydrostatique » (principe de l’hydrostatique). Elle permet de déterminer la pression en n’importe quel point d’un liquide au repos.

Cette pression est composée d’une pression agissant sur la surface libre p0 et d’une pression qui est fonction de la profondeur h (ρgh). Lorsque la surface libre est en contact avec l’atmosphère, p0 = patm (pression atmosphérique).

Principe de Pascal

La pression agissant sur la surface libre d’un liquide est transmise sans changement à tous les points de ce liquide.

z = hauteur de position (côte)

Z + p

ρg = z + p

ρg ⟹ p = p + ρg(Z − Z)

Avec p0 : pression à la surface libre = patm (dans notre cas)

Z0 – Z = h : profondeur du point B.

On en déduit que la pression augmente avec la profondeur.

La pression absolue (pa) en un point du liquide au repos sera donc :

p = p + ρgℎ = p + ρgℎ

La pression manométrique ou relative est définie comme étant la différence entre la pression absolue et la pression atmosphérique.

p = p − p = (p + ρgℎ) − p ⟹ =

La pression manométrique peut être positive ou négative.

La pression absolue peut être inférieure à la pression atmosphérique : dans ce cas, la différence (

p

_a

-p

_atm

)

est appelée vide ou dépression.

p = p − p quand p > p

II.5.3. Application de l’équation de l’hydrostatique pour la mesure des pressions II.5.3.1. Piézomètre ou tube piézométrique (figure II.6)

Un piézomètre est un tube transparent vertical, dont l’extrémité supérieure est ouverte et en contact avec l’atmosphère. Son extrémité inférieure (ouverte aussi) est en contact avec le liquide dans lequel on veut mesurer la pression.

(6)

6/15

patm

B

ρ

₁

ρ

₂

h

₁

h

₂

Eau

C

- mercure - huile - alcool

Figure II.7

A A’

A

α h

Figure II.8. Manomètre incliné

L = h/sin α

P0

Figure II.10. Manomètre Bourdon Indique la

pression manométrique

Eau

A

D C

B B’

Mercure

h

1

h

2

h

3

Figure II.9. Manomètre différentiel en U Eau Eau

II.5.3.2. Manomètre en U ou tube en U (figure II.7) : on cherche PC = ? PA = PC + ρ1gh1

PA’ = PB + ρ2gh2

PA = PA’ ⇒ PC + ρ1gh1 = PB + ρ2gh2 ⇒ PC = PB + ρ2gh2 - ρ1gh1

PB = Patm ⇒ PC = Patm + ρ2gh2 - ρ1gh1 (pression absolue) PC man = ρ2gh2 - ρ1gh1 (pression manométrique)

II.5.3.3. Manomètre incliné (figure II.8)

Le manomètre incliné est utilisé pour mesurer les pressions faibles. On substitue ainsi au déplacement vertical h, un déplacement égal à (h/sin α) d’autant plus grand que α est petit.

On a : PA man = ρgh = ρg.L.sin α

II.5.3.4. Manomètre différentiel (figures II.9) On cherche ΔP = PA – PD = ?

PB = PA + ρegh1 PA + ρegh1 = PC + ρHggh2

PB’ = PC + ρ_Hggh2 PC + ρ_Hggh2 = PD + ρ_egh3 + ρ_Hggh2

PC = PD + ρegh3

ΔP = PA – PD = ρeg.(h3 – h1) + ρHggh2

II.5.3.5. Manomètre Bourdon (figure II.10)

(7)

7/15

A

B C

D E

Figure II.12 O

A

M N

C B

P0

P0 ρgh

P1

P2

h1

h2

h

Figure II.11 D

Diag. De pression absolue

Diag. De pression relative Paroi verticale

II.6. Représentation graphique des pressions – Epure des pressions (figure II.11)

La représentation graphique de la variation de la pression le long d’une paroi plane en fonction de la profondeur est appelée « diagramme de répartition des pressions » ou « épure des pressions ».

La pression varie selon la loi P = P0 + ρgh.

Soit P1 = ρgh₁ la pression manométrique en 1 point situé à la profondeur h1 (point N).

Soit P2 = ρgh2 la pression manométrique en 1 point situé à la profondeur h2 (point B).

On a :

P

P = ρgh ρgh = h

h ⟹ h

P = h P

Comme la pression est dirigée normalement (perpendiculairement) à la surface sur laquelle elle agit, on peut, en traçant aux points respectifs représentant en échelle la pression manométrique et en reliant leurs extrémités, obtenir l’épure des pressions manométriques sur la paroi données.

Rappel (figure II.12) : Si BE ⊥ AE et CD ⊥ AD et que AE/BE = AD/CD alors A, B, C sont alignés.

Sur la figure II.11, on a : ON = h1 ⊥ MN = P1 et OB = h2 ⊥ CB = P2

h1/P1 = h2/P2 ; donc O, M, C sont alignés.

Cependant, il est plus commode de prendre un point O sur la surface libre où la pression manométrique est nulle, et un point A au fond du réservoir où la pression manométrique est maximale : PA = ρgh.

L’épure des pressions absolues se présente sous la forme d’un trapèze, car, à chaque point la pression absolue est supérieure à la pression manométrique d’une valeur P0 = Patm.

L’épure des pressions est en général établie du côté où se situe le liquide et les

différentes flèches sont dirigées dans le sens de l’action de la pression. Chaque tronçon de l’épure représente en échelle la direction au point donné et sa valeur.

Par exemple sur la figure II.11 : le tronçon CB représente en échelle la pression manométrique au point B, et le tronçon DB représente en échelle la pression absolue au point B.

II.7. Force de pression sur une surface

II.7.1. Force de pression (poussée) sur une paroi horizontale

Dans un liquide au repos, le plan horizontal est une isobare ; c'est-à-dire que tout point de cette surface subit la même pression absolue P = Patm + ρgh.

(8)

8/15

h

S1 = S2 = S3 = S4

FP1 = FP2 = FP3 = FP4

dS

S

X

Y

h

_y

Figure II.15 dFP

G

h

G

CP

h

CP

F

P

yCP

yG

dS

α

G : centre de gravité

CP : centre de pression

O Par conséquent, la force de pression sur le fond est (figure II.13) :

Fp = (Patm + ρgh).S

Cependant, il est plus juste de considérer la pression effective car la partie extérieure de la paroi est aussi soumise à une pression.

Si la pression régnant à l’extérieur de la paroi est égale à la pression atmosphérique Patm, on aura :

FP = (Patm + ρgh).S – (Patm.S)

F

P

= ρ.g.h.S

II.7.2. Paradoxe hydrostatique

D’après la formule précédente (FP = ρ.g.h.S), la force de pression sur le fond horizontal d’un récipient contenant un liquide au repos dépend de la masse volumique du liquide ρ, de la hauteur de remplissage h et de le surface de fond du récipient S.

Par conséquent, pour tous les récipients de formes différentes mais de surface de fond égale, remplis d’un même liquide à une hauteur égale, la force de pression sur le fond est égale bien qu’il soit évident que le poids du liquide dans les différents récipients est différent (figure II.14). Ceci est appelé « paradoxe hydrostatique ».

II.7.3. Force de pression (poussée) sur une paroi plane d’orientation quelconque

Soit une paroi plane de surface S, inclinée d’un angle α quelconque par rapport à l’horizontale ; c'est-à-dire, par rapport à la surface libre du liquide dans lequel se trouve cette paroi (figure II.15).

Traçons l’axe OY suivant la ligne d’intersection du plan de la paroi et de la surface libre, et OX perpendiculaire à cette ligne.

(9)

9/15

Soit dS une aire élémentaire de la paroi S, située à une profondeur h quelconque de la surface libre du liquide. Déterminons la force de pression qui agit sur l’aire dS.

dF = P. dS = ρgh. dS Intégrons cette équation sur toute la surface S, on aura :

F =ρg. h. dS =ρg. sinα. y. dS Avec h = y.sin α

Où y : est la coordonnée du centre de l’aire dS dans le plan incliné.

∫ y. dS : Moment statique de la surface S par rapport à l’axe OX ; il est égal au produit de la surface et de la profondeur de son centre de gravité G (noté aussi parfois C), soit :

y. dS = . D’où F =ρg. sinα. y . S ⇒ = . .

Où hG : est la profondeur à laquelle se trouve le centre de gravité G.

Donc, la force de pression FP s’exerçant sur une paroi d’orientation quelconque est égale au produit de l’aire de la paroi et de la pression au centre de gravité de cette surface.

II.7.4. Centre de pression (CP)

On appelle centre de pression (CP sur la figure II.15) le point d’intersection de la résultante des forces de pression du liquide avec la surface qui subit la force de pression.

Déterminons ce centre de pression en utilisant le principe d’égalité des moments : F . y = y. dF (∗)

Théorème des moments : le moment de la résultante est égal à la somme des moments de ses composantes par rapport au même axe (dans notre cas OX).

FP = ρghG.S = ρgyG.sinα.S dFP = ρgh.dS = ρgy.sinα.dS

y. dF =. . ρ. g. y. sinα. y. dS =ρg. sinα. y . dS (∗) ⟹ S.ρg. y . sinα. y =ρ. g. sinα. y . dS

∫ y . dS = I : Moment d’inertie de l’aire S par rapport à l’axe OX.

y =

^{ρ. g. sin}^α^.

∫

_S^y²^{. dS}

ρg. sinα. S. y_G

= ∫

_S^y²^{. dS} S. y_G

= I

S. y_G En tenant compte du fait que I = I + y . S (Théorème de Huygens)

(10)

10/15

b h

Figure II.16

Paroi plane verticale rectangulaire

y = I + y . S

y_G. S

⟹ = +

.

(∗∗)

I : Moment d’inertie de la surface S par rapport à l’axe parallèle à OX et passant par le centre de gravité G de cette surface.

En posant dans (**) : S=S’/sinα ; yG=hG/sinα ; ycp=hcp/sinα et en développant on trouve :

= +

. ′

(à retenir)

hG : profondeur à laquelle se trouve le centre de gravité de la paroi considérée

I

: Moment d’inertie de la surface S’ par rapport à l’axe parallèle à la surface libre et qui passe par le centre de gravité de cette surface.

S′

: Projection verticale de la surface considérée.

En posant

. = ∆ on aura

y = y

+∆

C'est-à-dire que le centre de pression est toujours situé plus bas que le centre de gravité de la surface. La distance entre le centre de pression CP et le centre de gravité G est :

∆y = y − y

Exemple

Déterminer la force de pression s’exerçant sur la paroi plane rectangulaire, ainsi que le centre de poussée (figure II.16).

b = 2m ; h = 4m ; ρ = 10³ kg/m³; g = 10 m/s².

Réponse

F =ρg. h . S ; h_G = h/2; S = b.h F =ρg.h

2. b. h =ρg. b.h 2 F = 10 . 2.4

2 ⟹ = , . Déterminons le centre de pression :

h = h +

.

;

I =

h =h

2+ bh 12.h

2. bh

=h 2+h

6= 2 3h =2

3. 4 ⟹ = ,

(11)

11/15 II.7.5. Force de pression sur une paroi cylindrique

Considérons une paroi cylindrique (1/4 du cylindre) dont l’aire est S (OB). Soit dS une aire élémentaire de la paroi S, située à une profondeur Z de la surface libre du liquide dans lequel se trouve cette paroi (ZG : profondeur du centre de gravité de l’aire dS).

La force de pression élémentaire agissant sur l’aire dS est donc :

dF = ρgZ. dS

. Projetons cette force sur les axes OX, OY :

dF = ρgZ. dS. sin α

et

dF = ρgZ. dS. cos α

Or dS.sinα = dSXY et dS.cosα = dSYZ.

dSXY : projection de dS sur le plan XOY dSYZ : projection de dS sur le plan YOZ.

Pour déterminer FpX, on intègre suivant la surface SYZ.

F = ρgZ. dS =ρg. Z. dS

Avec ∫ Z. dS : moment statique de la surface SYZ par rapport à l’axe OY.

Donc ∫ Z. dS = Z . S . D’où :

= .

Avec ZG : profondeur du centre de gravité de la projection verticale SYZ. De même : dF =ρg.∫ Z. dS

Or ∫ Z. dS = ∫ dV avec dV = volume de la couronne verticale 1234 Et V : est le volume délimité par la paroi OB et l’axe OX appelé « corps de pression ».

α

O

1 2

4 3

(12)

12/15

Figure II.18

D’où

=

= poids du volume d’eau délimité par V

On peut déterminer la résultante Fp en faisant :

= +

La direction de la résultante des forces de pression sur une surface cylindrique est définie par (figure II.18) :

cos α =

et

sin α =

Le point d’intersection de la résultante FP et de la courbe est appelé

« centre de pression » ; ses coordonnées peuvent être déterminées comme suit :

cos α = ⟹ X = r. cos α = r.

sin α = ⟹ Z = r. sin α = r.

Donc, les coordonnées du centre de pression sont :

= .

et

= .

(13)

13/15

Figure II.21

Figure II.22 II.8. Les corps flottant – Principe d’Archimède

II.8.1. Définition

Un corps flottant (flotteur) est un solide, de forme quelconque, en équilibre dans un liquide au repos. On a :

- Le plan de flottaison est le plan de la surface libre du liquide. Ce plan coupe le flotteur suivant une surface appelée surface de flottaison. La ligne de flottaison est la ligne qui délimite cette surface.

- Le volume immergé du flotteur est appelé volume de Carène.

- Le centre de Carène (D) est le centre de gravité du volume immergé.

- Le point d’intersection M de la poussée verticale PV

avec l’axe de symétrie vertical du flotteur est appelé Métacentre.

- La distance r entre le centre de Carène D et le métacentre M est appelé rayon métacentrique.

- La distance e entre le centre de gravité du corps C et le centre de Carène D est appelée excentricité.

- La hauteur métacentrique (r – e) est la distance entre le centre de gravité du corps C et le métacentre D.

II.8.2. Principe d’Archimède (Poussée d’Archimède)

Soit un corps solide immergé dans un liquide au repos. Divisons ce corps en 2 parties : la partie supérieure ABC et la partie inférieure ADC.

- La partie supérieure ABC est soumise à la force verticale dirigée vers le bas et égale au poids du liquide dans le volume AEFCBA :

P = ρgV

- La partie inférieure ADC est soumise à la force verticale dirigée vers le haut et égale au poids du liquide dans le volume AEFCDA :

P = ρgV

- Déterminons la composante verticale comme étant la somme algébrique des forces agissant sur chaque partie. La résultante de ces 2 forces P et P est dirigée dans le sens de la plus grande force (qui est PV2) donc verticalement vers le haut et égale au poids du liquide dans le volume ABCD :

(14)

14/15

Figure II.22 P = P −P = ρg. (V −V )

= .

Avec Vi : volume ABCD qui représente le volume liquide déplacé par le corps égal au volume de ce corps.

Par conséquent, un corps solide immergé dans un liquide au repos subit une poussée verticale dirigée de bas en haut, égale au poids du liquide déplacé (par le corps) et appliquée au centre de gravité du volume immergé : c’est le principe d’Archimède.

PV (ou Fa) : est appelée poussée d’Archimède.

L’équation d’équilibre général d’un corps (flottant, coulant ou montant) dans un liquide s’écrit :

= + ′

Où G : poids du corps (de haut en bas)

PV : poussée d’Archimède s’exerçant sur le corps (de bas en haut)

G’ : poids apparent du corps ; peut être positif, nul ou négatif selon la densité du corps ⍴_c par rapport à celle du liquide ⍴l.

Suivant la portion qui existe entre le poids du corps G et la poussée verticale PV trois cas sont possibles :

- G > PV ⟹ le corps coule (G’ > 0) ; dans ce cas ⍴c > ⍴l. - G = PV ⟹ le corps flotte (G’ = 0) ; deux cas possible :

 Le corps flotte en surface : dans ce cas ⍴c < ⍴l.

 Le corps flotte en plongée : dans ce cas ⍴c = ⍴l.

- G < PV ⟹ le corps émerge sous l’effet de P_V engendrant une diminution du volume immergé ; la poussée verticale PV diminue jusqu’à la valeur G (G’ <0) ; dans ce cas ⍴c < ⍴l.

Donc la condition essentielle de flottaison s’exprime par l’égalité : G = PV.

La flottaison est dite en plongée si le corps est totalement immergé dans le liquide, et elle dite en surface en immersion partielle.

Flottaison en plongée ⟹ G = PV ⟹ ρ. g. V =ρ . g. V ⟹ ρ = ρ

(15)

15/15 II.8.3. Stabilité des corps flottants