Mathématiques Première
Sujet d’étude n°3 : Paraboles passant par trois points
Énoncé
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé . I. Parabole d’axe parallèle à l’axe des ordonnées passant par trois points
Soit trois points tels que .
1. On suppose que deux courbes et d’équations respectives et passent par .
On considère le polynôme défini par . a) Démontrer que .
b) En déduire que , et . c) Que peut-on conclure des questions précédentes ?
d) En déduire que si sont alignés alors il n’existe aucune parabole d’axe parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par ces trois points.
2. a) Trouver un polynôme du second degré tel que et (utiliser la forme factorisée).
b) Donner de même deux polynômes et tels que et et et .
c) On pose
Montrer que la courbe d’équation passe par (il n’y a pas de calcul !) 3. a) Vérifier que avec
,
et
.
b) En déduire quatre réels tels que pour tout réel . c) Préciser la nature de la courbe en fonction des points .
4. a) Écrire le code d’une fonction Python equationCourbeABC qui renvoie les réels à partir des coordonnées des points .
b) Écrire le code d’une fonction Python sommetCourbeABC qui renvoie deux réels et tels que la pente de la droite soit égale à si les points sont alignés et quatre réels tels que le sommet de la courbe ait pour coordonnées dans le cas contraire.
c) En utilisant les fonctions précédentes, déterminer une équation de la parabole d’axe parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par les points et et les coordonnées de son sommet.
Dans toute la suite, on suppose que sont trois points non alignés.
II. Visualisation des paraboles (d'axe quelconque) passant par trois points non alignés 1. Soit . On pose et
a) Soit et deux réels non tous nuls ( ou ).
Montrer qu’il existe un unique réel tel que .
b) En utilisant la partie I, justifier qu’il existe une unique parabole d’axe dirigé par (avec ) qui passe par les points sauf pour trois valeurs de .
Expliquer pourquoi toutes les paraboles qui passent par les points sont les paraboles avec .
Soit les coordonnées d’un point dans le repère et ses coordonnées dans le repère .
c) Exprimer et en fonction de et puis et en fonction de et .
d) Écrire le code Python de la fonction rotation qui prend en arguments trois nombres x,y,theta et renvoie les coordonnées, dans le repère avec en radians, du point de
coordonnées dans le repère (pour les fonctions trigonométriques, importer la bibliothèque numpy (importnumpy as np) car elle permettra d’utiliser la fonction linspace dans la question suivante).
2. On considère le code Python ci-dessous : 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def parabole(xA,yA,xB,yB,xC,yC,theta):
XA,YA=rotation(xA,yA,theta) XB,YB=rotation(xB,yB,theta) XC,YC=rotation(xC,yC,theta) d=(XA-XB)*(XB-XC)*(XC-XA)
a=YA*(XC-XB)+YB*(XA-XC)+YC*(XB-XA)
b=YA*(XB**2-XC**2)+YB*(XC**2-XA**2)+YC*(XA**2-XB**2) c=YA*XB*XC*(XC-XB)+YB*XC*XA*(XA-XC)+YC*XA*XB*(XB-XA) if d!=0:
plt.figure() plt.axis("equal") axes=plt.gca()
axes.set_xlim(-10,10) axes.set_ylim(-10,10) plt.axhline(color="black") plt.axvline(color="black")
axes.xaxis.grid(True,color="orange") axes.yaxis.grid(True,color="orange") axes.xaxis.set_ticks(range(-13,13)) axes.yaxis.set_ticks(range(-10,11)) X=np.linspace(-10,10,200)
Y=(a*X*X+b*X*c)/d
x,y=rotation(X,Y,-theta) plt.plot(x,y,".",color="red") plt.plot(xA,yA,".",color="blue") plt.plot(xB,yB,".",color="blue") plt.plot(xC,yC,".",color="blue") plt.show()
a) À quoi les lignes 1 et 2 servent-elles ?
b) Que représentent les variables XA, YA, XB, YB, XC, YC (lignes 5 à 7) ? c) À quoi les lignes 14 à 23 servent-elles ?
d) Que représentent les variables X et Y (lignes 24 et 25) ? e) Que représentent les variables x et y (ligne 26) ?
f) À quoi la ligne 27 sert-elle ?
g) À quoi les lignes 28 à 30 servent-elles ? h) À quoi les lignes 13 et 31 servent-elles ?
i) Écrire la ligne de code Python qui permet de visualiser la parabole qui passe par les points et .
3. a) En s’inspirant du code précédent, écrire le code Python de la fonction sommets qui prend en arguments les coordonnées des points et affiche les sommets des paraboles qui se trouvent dans le carré et pour tout avec un pas de , en rouge et les trois points , en bleu (on placera les coordonnées des différents sommets dans deux listes xS et yS à l’aide d’une boucle avant de faire la figure).
On note l’ensemble des sommets des paraboles pour tout . b) On considère les points , et . En faisant varier , déterminer graphiquement et sans calcul (à l’aide de la fonction sommets) les différentes formes que peut prendre l’ensemble .
III. Paraboles de sommet passant par et
1. Soit trois points du plan. Montrer qu’on peut choisir le repère orthonormé de sorte que et avec .
Dans toute la suite, on pose et avec .
2. Soit une parabole de sommet qui passe par et . On note un réel tel que (avec les notations de II) soit un vecteur directeur de l’axe de .
a) Démontrer qu’on peut choisir .
b) Démontrer que, pour tout réel , l’équation a une unique solution .
c) En utilisant la question II.1.c), démontrer que avec . d) Réciproquement, démontrer que si est solution de l’équation précédente alors il existe une
parabole de sommet qui passe par et .
3. Soit la fonction définie sur par . a) Étudier les variations de
b) On note et les solutions de l’équation (lorsqu’elles existent).
Déduire de a) le nombre de solutions de l’équation suivant les valeurs de et le signe de .
4. Dans toute cette question .
a) Montrer que est du signe de . b) En déduire en fonction de .
c) Soit une solution de l’équation . Démontrer que et que si alors . d) Écrire le code Python d’une fonction racines qui renvoie les valeurs arrondies au millième des racines de l’équation en fonction de pour (on ne cherchera pas à traiter le cas où ni à trouver un code optimal).
e) Écrire le code Python de la fonction exemples qui affiche sur un même graphique toutes les paraboles de sommet qui passent par et en fonction de (sans traiter le cas ). Vérifier pour et .
Méthodes et indications
I. Parabole d’axe parallèle à l’axe des ordonnées passant par trois points
1. a) Traduire l’appartenance de aux deux courbes.
b) Considérer le degré de .
c) Conclure sur le nombre de courbes d’équation qui passent par d) Remarquer que les droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont des courbes d’équation avec .
2. a) Comme et , on a . c) Vérifier que .
3. a) Développer
b) Réduire , et au même dénominateur . c) On peut répondre sans calcul en utilisant I.d).
4. b) Utiliser la fonction equationCourbe. On rappelle que le sommet de la parabole d’équation ( ) a pour coordonnées –
avec . c) Vérifier sur une calculatrice.
II. Visualisation des paraboles (d'axe quelconque) passant par trois points non alignés
1. a) Utiliser l’égalité . b) Se placer dans le repère . c) Partir de .
d) Avec import numpy as np, la fonctioncos s’écrit np.cos. 2. Chercher la documentation sur Internet.
3. a) Prendre en compte le fait que la fonction range ne peut renvoyer qu’une liste d’entiers.
III. Paraboles de sommet passant par et 2. b) On peut utiliser II.1.a).
c) Se placer dans le repère et traduire le fait que et sont sur .
d) Il s’agit de trouver pour que la parabole d’équation dans le repère passe par et .
3. a) est un polynôme du second degré dont on peut étudier les racines.
b) Remarquer que et utiliser le fait que deux nombres sont de signes contraires si, et seulement si leur produit est négatif.
4. a) On peut calculer et grâce à un seul calcul en posant avec . b) Poser et ne pas oublier que .
c) Démontrer que si alors et utiliser les variations de la fonction . d) Le plus simple est de procéder par balayage pour .
e) Stocker les listes de coordonnées des points à tracer pour chaque parabole dans des listes.
Corrigé
I. Parabole d’axe parallèle à l’axe des ordonnées passant par trois points 1. a) donc et donc .
Par différence, on a soit . De même, comme et appartiennent à et , on a et .
b) Si est non nul, il est de degré ou . Comme il a 3 racines distinctes ( ), c’est impossible. On en déduit que est le polynôme nul et on a , et .
c) Si on suppose que deux courbes d’équation passent par , alors, d’après b), elles sont identiques donc il ne peut pas y avoir plus d’une courbe de ce type qui passe par les 3 points.
d) Si sont alignés alors il existe une droite d’équation qui passe par ces trois points car ils n’ont pas la même abscisse. On a avec et, d’après c), il ne peut pas y avoir plus d’une courbe d’équation qui passe par . Comme ici cette courbe est une droite, il n’existe aucune parabole d’axe parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par ces trois points.
2. a) Comme et , on a . Comme , on a
donc
. b) De même
et
.
c) On a donc et, de même, et . 3. a) On a
donc, en développant, avec ,
et
.
b) En réduisant , et au même dénominateur , on obtient ,
]
et
c) Comme l’équation de est de la forme , c’est une droite ou une parabole.
Si sont alignés, c’est une droite (voir 1d) et sinon ce n’est pas une droite donc c’est une parabole.
Remarque.
et
donc sont alignés si, et seulement si, . En développant, la condition s’écrit
soit c’est-à-dire . 4. a) En reprenant les formules de 3.b), on obtient le code suivant :
def equationCourbeABC(xA,yA,xB,yB,xC,yC) : d=(xA-xB)*(xB-xC)*(xC-xA)
a=yA*(xC-xB)+yB*(xA-xC)+yC*(xB-xA)
b=yA*(xB**2-xC**2)+yB*(xC**2-xA**2)+yC*(xA**2-xB**2) c=yA*xB*xC*(xC-xB)+yB*xC*xA*(xA-xC)+yC*xA*xB*(xB-xA) return a,b,c,d
b) Si alors est la parabole d’équation . Son sommet a pour abscisse
et pour ordonnée
avec . On a donc
d’où le code : def sommetCourbeABC(xA,yA,xB,yB,xC,yC):
a,b,c,d = equationCourbeABC(xA,yA,xB,yB,xC,yC) if a==0:
return yB-yA,xB-xA else:
return –b,2*a,4*a*c-b*b,4*a*d
c) L’instruction print(equationCourbeABC(-2,3,-1,1,2,0))affiche (5, -9, -2, 12) donc la parabole a pour équation
.
L’instruction print(sommetCourbeABC(-2,3,-1,1,2,0))affiche (9, 10, -121, 240) donc la parabole a pour sommet
.
II. Visualisation des paraboles (d'axe quelconque) passant par trois points non alignés 1. a) On a et .
Si alors et donc et .
Si alors donc et, comme ,
. On en déduit
ce qui prouve l’unicité de dans l’intervalle . Il suffit alors de vérifier que les valeurs trouvées conviennent.
b) Dans le repère , les paraboles d’axe dirigé par qui passent par les points ont une équation de la forme donc, comme les points ne sont pas alignés, la partie I prouve l’existence (3.c) et l’unicité (1.d) d’une telle parabole à condition que, dans ce repère, les points aient des abscisses différentes c’est-à-dire que ne soit pas colinéaire à et . Comme a pour coordonnées
, si on pose avec , est colinéaire à si et seulement si et, d’après a), cela correspond à une unique valeur de dans l’intervalle
Il y a donc trois valeurs de dans cet intervalle pour lesquelles n’existe pas.
Enfin, quand , prend toutes les directions possibles donc aussi donc toutes les paraboles qui passent par les points sont les paraboles avec .
c) On a
donc ( ) et ( ).
Comme ,
donne donne
d) En utilisant les égalités précédentes, on obtient le code suivant : def rotation(x,y,theta):
X=x*np.cos(theta)+y*np.sin(theta) Y=-x*np.sin(theta)+y*np.cos(theta) return X,Y
2. a) Les lignes 1 et 2 servent à importer la bibliothèque numpy et le module pyplot de la bibliothèque matplotlib.
b) Les variables XA,YA représentent les coordonnées dans le repère du point dont les coordonnées dans le repère sont xA,yA .
c) Les lignes 14 à 23 servent à configurer la partie du plan qui sera représentée sur le graphique : 14 pour un repère orthonormé
16,17 pour fixer et 18,19 pour tracer les axes
20,21 pour tracer le quadrillage
22,23 pour indiquer les coordonnées sur les axes (comme par défaut l’axe des abscisses est plus grand que l’axe des ordonnées, il faut adapter les valeurs extrêmes)
d) Les variables X et Y correspondent aux coordonnées d’un point de dans le repère , X prenant 200 valeurs entre et
e) Les variables x et y sont alors les coordonnées d’un point de dans le repère f) La ligne 27 sert à tracer ce point en rouge.
g) Les lignes 28 à 30 servent à tracer les points en bleu.
h) La ligne 12 sert à créer une figure et la ligne 31 sert à l’afficher.
i) parabole(-2,3,-1,1,2,0,np.pi/4) affiche la figure ci-dessous :
On vérifie que l’axe de la parabole est dirigé par
.
3. a) Comme la fonction range ne peut renvoyer qu’une liste d’entiers, on fait varier ceux-ci de à pour un angle theta/2 qui varie entre et avec un pas de :
def sommets(xA,yA,xB,yB,xC,yC):
xS,yS=[],[]
for theta in range(-180,180):
XA,YA=rotation(xA,yA,theta/2) XB,YB=rotation(xB,yB,theta/2) XC,YC=rotation(xC,yC,theta/2) d=(XA-XB)*(XB-XC)*(XC-XA) if d!=0:
a=YA*(XC-XB)+YB*(XA-XC)+YC*(XB-XA)
b=YA*(XB**2-XC**2)+YB*(XC**2-XA**2)+YC*(XA**2-XB**2) c=YA*XB*XC*(XC-XB)+YB*XC*XA*(XA-XC)+YC*XA*XB*(XB-XA) delta=(b*b-4*a*c)/(d*d)
S1,S2=-b/(2*a),-delta*d/(4*a) s1,s2=rotation(S1,S2,-theta/2) xS.append(s1)
yS.append(s2) plt.figure()
plt.axis("equal") axes=plt.gca()
axes.set_xlim(-10,10) axes.set_ylim(-10,10) plt.axhline(color="black") plt.axvline(color="black")
axes.xaxis.grid(True,color="orange") axes.yaxis.grid(True,color="orange") axes.xaxis.set_ticks(range(-13,13)) axes.yaxis.set_ticks(range(-10,11)) plt.plot(xS,yS,".",color="red") plt.plot(xA,yA,".",color="blue") plt.plot(xB,yB,".",color="blue") plt.plot(xC,yC,".",color="blue") plt.show()
b) On obtient les figures suivantes avec l’instruction sommets(-3,0,3,0,-1,y):
figure réalisée avec geoplan pour
Remarque. On peut réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique comme Geoplan.
Voici la liste des objets crées. On obtient l’ensemble des points avec le mode Trace en faisant varier avec un pas de . On voit alors la parabole varier avec ainsi que la droite qui est l’axe de la parabole.
III. Paraboles de sommet passant par et
1. Il suffit de prendre et orthogonal à , de même norme. Parmi les deux vecteurs possibles pour , il y en a un tel que car ils sont opposés.
2. a) On a vu (II.1.b) qu’on peut choisir . Il s’agit donc de montrer que .
Or, si l’axe de la parabole est la droite ce qui est impossible puisque le sommet est le seul point commun à une parabole et à son axe.
b) avec et, d’après II.1.a), cette équation a une unique solution .
Remarque. On peut aussi utiliser le fait que la fonction tan est strictement croissante sur ce qui se démontrer aisément en calculant sa dérivée mais les dérivées de cos et sin sont au programme de Terminale.
A C S B
c) Dans le repère , a pour équation avec .
On a donc et . Ainsi et, comme , on a (1).
D’après II.1.c), on a et et, de même, et .
En remplaçant dans (1), on obtient ou encore .
Comme , on a donc, en divisant pas , on obtient avec .
d) Réciproquement, démontrer que si est solution de l’équation précédente, on peut remonter les calculs précédents pour obtenir (1). On a donc on peut poser et considérer la courbe d’équation dans le repère (avec ).
Par construction de , on a et, d’après (1), on a donc .
De plus ce qui est impossible puisque . Ceci prouve que est une parabole de sommet qui passe par et .
3. a) est dérivable sur car c’est une fonction polynôme et . Le discriminant de est . Si , est du signe de donc positif ou nul pour tout donc est strictement croissante sur ( ne s’annule que pour une valeur de ).
Si , s’annule en
et
.
Comme , et comme le signe du coefficient de est positif, est strictement croissante sur , strictement décroissante sur et strictement croissante sur
b) Comme et
, l’équation a toujours au moins une solution donc .
Si alors est strictement croissante sur , donc Si trois cas sont possibles :
- si et sont de même signe, c’est-à-dire si alors - si alors
- si alors
4. a) Pour , , et . Posons avec .
Comme , on a
Alors ce qui prouve que est du signe de .
b) Posons . est du signe de dont le discriminant est et les racines . Comme le coefficient de est positif, on a
Comme et , on en déduit que si , si et si .
c) et donc, si alors . En particulier ce qui est contradictoire donc .
On a .
Le discriminant de ce polynôme est et ses racines sont
et
.
Comme le coefficient de est négatif, si alors .
De plus donc alors, d’après les variations de vues en 3.a), on a .
d) D’après c), on peut procéder par balayage pour : def racines(b):
sol=[]
x=-10
while b**2*x**3+6*b*x**2+6*x+b<0:
x=round(x+0.001,3) sol.append(x)
while b**2*x**3+6*b*x**2+6*x+b>0 and x<0:
x=round(x+0.001,3) if x<0 :
sol.append(x)
while b**2*x**3+6*b*x**2+6*x+b<0:
x=round(x+0.001,3) sol.append(x)
return sol
Remarque. Comme l’ordinateur travaille avec des valeurs approchées, il n’aura jamais ; on ne peut donc pas traiter le cas de cette façon.
e) Dans le code ci-dessous, x1,y1 sont des listes de nombres qui représentent les coordonnées des points d’une parabole et x,y sont des listes de ces listes (il y a autant de listes que de paraboles).
def exemples(b1) :
theta=np.arctan(racines(b1)) X=np.linspace(-10,10,200) x,y=[],[]
for i in range(len(theta)):
XA,YA=rotation(0,0,theta[i]) XB,YB=rotation(1,0,theta[i]) XC,YC=rotation(3,b1,theta[i]) d=(XA-XB)*(XB-XC)*(XC-XA)
a=YA*(XC-XB)+YB*(XA-XC)+YC*(XB-XA)
b=YA*(XB**2-XC**2)+YB*(XC**2-XA**2)+YC*(XA**2-XB**2) c=YA*XB*XC*(XC-XB)+YB*XC*XA*(XA-XC)+YC*XA*XB*(XB-XA) Y=(a*X*X+b*X*c)/d
x1,y1=rotation(X,Y,-theta[i]) x.append(x1)
y.append(y1) plt.figure() plt.axis('equal') axes=plt.gca()
axes.set_xlim(-10,10) axes.set_ylim(-10,10) plt.axhline(color='black') plt.axvline(color='black')
axes.xaxis.grid(True,color='orange') axes.yaxis.grid(True,color='orange') axes.xaxis.set_ticks(range(-13,13)) axes.yaxis.set_ticks(range(-10,11)) axes=plt.gca()
axes.set_xlim(-10,10) axes.set_ylim(-10,10)
for i in range(len(theta)):
plt.plot(x[i],y[i],".",color=(0.5+0.25*i,0,0))
#on utilise la notation rgb : 0.5+0.25*i est le niveau de rouge ;
#dans matplotlib, les niveaux de couleur sont compris ente 0 et 1.
plt.plot(0,0,".",color="blue") plt.plot(1,0,".",color="blue") plt.plot(3,b1,".",color="blue") plt.show()
Voici deux exemples :
Et voici les trois paraboles pour avec Geoplan :
oA B
C
S oA B
C
S
oA B
C
S
