Mathématiques Seconde : Points et vecteurs
Thèmes
Exercices de base
Ex.B1 : Coordonnées des points, milieu d’un segment, distance entre deux points Ex.B2 : Coordonnées des vecteurs
Ex.B3 : Opérations sur les vecteurs Ex.B4 : Colinéarité
Exercices d’approfondissement
Ex.A1 : Définition d’une parabole par foyer et directrice
Ex.A2 : Théorème de Thalès (vectoriel) et points alignés dans un triangle (théorème de Ménélaüs) Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .
On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :
Énoncés Exercices de base
Ex.B1
1. Choisir trois entiers tels que et . a) Dans un repère , placer les points suivants :
, , et b) Soit et les milieux respectifs des segments et .
Calculer les coordonnées des points et . Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ? c) Soit le symétrique de par rapport à et le symétrique de par rapport à .
Calculer les coordonnées des points et .
2. Choisir trois entiers tels que et . a) Dans un repère orthonormé , placer les points suivants :
, et b) Calculer les nombres et .
c) En déduire que le triangle est rectangle isocèle.
d) Retrouver le fait que est rectangle en considérant le milieu de . Ex.B2
1. Choisir trois entiers tels que et . On pose
. Préciser
a) Dans un repère , placer les points suivants : , , b) Calculer les coordonnées du vecteur .
c) Calculer les coordonnées des points et tels que et soient des parallélogrammes.
d) Démontrer que est le milieu de en utilisant les coordonnées des points puis en utilisant les vecteurs sans les coordonnées.
2. Choisir trois entiers tels que et .
Dans un repère , on considère les points suivants : , et
a) Calculer les coordonnées du vecteur et celles du point tel que b) Calculer les coordonnées du point tel que .
Ex.B3
1. Choisir trois entiers tels que et .
a) Sur une droite graduée, placer quatre points rangés dans cet ordre tels que , et (prendre un grand carreau pour une unité).
b) Par lecture graphique, trouver les réels tel que , et . c) Placer les points tels que , et .
2. Choisir trois entiers tels que et . a) Dans une base orthonormée , placer quatre points tels que , et .
b) Placer les points et tels que et .
c) Vérifier la construction précédente en calculant les coordonnées des vecteurs et . Ex.B4
1. Choisir trois entiers tels que et . Dans une base , on considère les vecteurs
et . a) Calculer les coordonnées du vecteur .
b) Soit .
Donner les coordonnées du vecteur dans la base puis montrer que et sont colinéaires.
c) Calculer l’ordonnée du vecteur d’abscisse qui est colinéaire à . d) Calculer l’abscisse du vecteur d’ordonnée qui est colinéaire à . 2. Choisir trois entiers tels que et .
Dans un repère , on considère les points suivants : , et . a) Démontrer que les points , et sont alignés.
b) Soit . Démontrer que n’appartient pas à la droite .
c) Calculer les coordonnées du point d’abscisse tel que et soient parallèles.
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. On considère une droite et un point n’appartenant pas à . On note l’ensemble des points du plan tels que où est le projeté orthogonal de sur .
Le but de l’exercice est d’étudier l’ensemble .
a) Montrer qu’on peut construire un repère orthonormé dans lequel la droite est l’ensemble des points d’ordonnée et le point a pour coordonnées
b) On pose . Démontrer que
c) Faire une figure en traçant le repère, la droite , le point et les points de d’abscisses pour tous les entiers compris entre et inclus ; prendre 4 carreaux pour une unité.
L’ensemble est une courbe appelée parabole de foyer et de directrice .
d) On considère deux droites parallèles et qui coupent la parabole respectivement en et et et . Démontrer que les milieux respectifs et des segments et ont la même abscisse.
Ex.A2
1. un triangle.
On considère deux points et tels que et // . On pose et .
a) Exprimer le vecteur de deux façons comme combinaison linéaire des vecteurs et (sous la forme .
b) En déduire que puis que .
On peut donc énoncer le théorème de Thalès de Milet (environ 625 – 547 av. J.C.) sous forme vectorielle : Dans les conditions de l’énoncé, si alors et . c) Démontrer que si alors .
2. Soit un triangle et trois points appartenant respectivement aux droites et et distincts des sommets . On pose , et .
Le but de l’exercice est de démontrer le théorème de Ménélaüs d’Alexandrie (environ 70 – 140 ap.
J.C.) : Les points , et sont alignés si, et seulement si, . a) On suppose que , et sont alignés.
La parallèle à passant par coupe en un point .
Justifier que et que . En déduire que . b) On suppose que .
Démontrer que et ne sont pas parallèles puis, en notant leur point d’intersection, démontrer que puis que .
c) Conclure.
d) On suppose que , et sont alignés avec et . En utilisant le théorème de Ménélaüs, calculer le réel tel que .
e) Retrouver ce résultat directement en posant et en exprimant et comme combinaisons linéaires des vecteurs et .
Méthodes et indications
Exercices de base Ex.B1
1. Le milieu du segment a pour coordonnées .
est un parallélogramme si, et seulement si, et ont même milieu.
2. Dans un repère orthonormé, .
est un triangle rectangle en si, et seulement si, (dans ce cas est le côté de plus grande longueur).
est rectangle en si, et seulement si, appartient au cercle de diamètre ;
autrement dit, si est le milieu de , est rectangle en si ,et seulement si, . Ex.B2
1. Le vecteur a pour coordonnées .
est un parallélogramme si, et seulement si, ou encore si, et seulement si, . Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les même coordonnées.
Enfin est le milieu de si, et seulement si, .
2. Si et sont deux vecteurs et un réel, on a et et, de même, on a
et . Ex.B3
1. Soit un vecteur.
Si , est un vecteur qui a la même direction que .
Si il a le même sens que et si il a le sens contraire à . Enfin la norme (longueur) de est égale à celle de multipliée par . En particulier, si , on a
// , et et sont de même sens
et // , et et sont de sens contraires.
2. La somme de deux vecteurs et est définie par si et . Autrement dit, .
Ex.B4
1. Si , un vecteur est colinéaire à sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel tel que .
Dans une base, deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, .
Le nombre est appelé déterminant des vecteurs et dans cette base ; on le note .
2. Trois points sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.
Deux droites et sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.
Remarque. Pour ces deux résultats l’ordre des points n’a pas d’importance.
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) Considérer le projeté orthogonal de sur et le milieu de . b) avec
d) Remarquer que, pour tout , est colinéaire au vecteur . Ex.A2
1. a) Utiliser deux fois la relation de Chasles.
b) Si et sont deux vecteurs non colinéaires et deux réels alors . c) Démontrer que .
2. a) Utiliser A2.1.c)
b) Raisonner par l’absurde en supposant que // . Démontrer alors que et aboutir à une contradiction.
Poser ensuite et utiliser a) pour montrer que et montrer enfin que . d) Trouver les réels et tels que et
e) Utiliser plusieurs fois la relation de Chasles.
Corrigés Exercices de base
Ex.B1
1. a) On a , , et (voir ci-dessous).
b) et donc
De même et donc .
Les diagonales du quadrilatère ont le même milieu donc est un parallélogramme.
c) est le milieu de donc et . Ainsi ou encore
et donc .
De même et donc .
2. a) On a , et (voir ci-dessous)
b) et .
c) On a donc le triangle est isocèle en et donc le triangle est rectangle .
d) Soit le milieu de . On a .
Ainsi
Comme , on a donc est sur le cercle de diamètre ce qui prouve que est rectangle en .
Ex.B2
1. a) Comme , on a , , et b) et donc
.
c) donc ou encore .
De même, . Ainsi
On a aussi donc ou encore . et, de même, . Ainsi
d) Soit le milieu de . On a et donc ce qui prouve que est le milieu de .
On peut aussi écrire car est un parallélogramme et car est un parallélogramme. Ainsi ce qui prouve que est le milieu de .
2. a) On a , et donc .
De plus donc et . Ainsi
b) avec donc et Finalement
Ex.B3
1. a) , et :
b) et donc . Comme les vecteurs ont le même sens, on a et donc et les vecteurs sont de sens contraires donc on a et donc et les vecteurs sont de sens contraires donc on a c) donc et a le même sens que
donc et a le même sens que donc et a le même sens que : . 2. a) , et
b) et . Sur la figure ci-dessous, un carreau correspond à unités.
c) On a et donc et : donc . Alors et :
Ex.B4
1. a) On a ,
et .
Ainsi et : b) On a donc .
et donc (car et ).
Ceci prouve que les vecteurs sont colinéaires.
Remarque. On peut aussi calculer le déterminant des deux vecteurs dans la base . On a donc les vecteurs sont colinéaires.
c) On a et, comme est colinéaire à , on a . Ainsi .
d) On a et, comme est colinéaire à , on a . Ainsi .
2. a) On a , et donc et . On a donc , et sont alignés.
b) On a donc .
On a donc , et ne sont pas alignés.
c) On a donc .
Ainsi //
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) Soit le projeté orthogonal de sur et le milieu de . On note un des deux vecteurs directeurs de dont la norme est égale à et on pose .
Comme , le repère est orthogonal et comme et ont la même norme, il est orthonormé.
De plus donc et donc . Alors, comme est parallèle à l’axe des abscisses et passe par , c’est l’ensemble des points d’ordonnée . b) donc
Ainsi
c) Les points ont pour coordonnées pour tout Remarque. En prenant carreau pour unité, ils ont pour coordonnées pour
d) Notons et les abscisses respectives des points et et celles des points . Pour tout , on a et donc
On constate que avec donc, comme les droites et sont parallèles, les vecteurs et sont colinéaires. Comme ils ont la même abscisse, ils sont égaux donc .
Or, pour tout , l’abscisse de est donc les deux points ont la même abscisse.
Ex.A2 1.
a) D’une part, et, d’autre part, . b) On a donc .
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc l’égalité précédente n’est possible que si c’est-à-dire si ou encore si . c) Si alors donc .
Alors, d’après ce qui précède, donc ou encore .
2.
a) On a donc, d’après A2.1.c), comme les droites et sont parallèles, on a . De même, comme , on a .
Alors donc mais, comme , on a . Comme , on en déduit .
b) Si // alors, comme , on a, d’après A2.1, . Alors, comme , on a donc, comme , on a .
Comme, de plus, , on a mais on a aussi donc ce qui est exclu.
On en déduit que et ne sont pas parallèles.
Posons . D’après a), comme sont alignés, on a donc, comme , on a et, comme , on a . Ainsi .
Finalement, comme , on a . Comme on a donc ou encore .
c) On a montré que si sont alignés alors et, réciproquement, que si alors sont alignés. On conclut donc que sont alignés si, et seulement si, . d) On a donc . Ainsi ou encore . De même, donc ( est le milieu de ).
D’après le théorème de Ménélaüs, si on pose , on a donc . Alors donc ou encore .
Autrement dit, .
e) On a
et, de même,
Comme les points sont alignés, on peut écrire avec et, comme les vecteurs et ne sont pas colinéaires (voir A21.b), on a
Alors donne ou encore .
donne alors donc et on retrouve .
