Co-directeurs. M.M. Kant´e and F. Madelaine, Universit´e Clermont-Auvergne, Clermont- Ferrand
Contact. {mamadou.kante,florent.madelaine}@uca.fr
Mots Cl´e. MMSNP, MMSNP2, Homomorphism, CSP, Dichotomy.
Le sujet que nous proposons concerne MMSNP2 [1], une variante de la logique MMSNP de Feder et Vardi [2]. Cette logique capture des probl`emes combinatoires qui sont des probl`emes de contraintes de domaine infini au sens de Bodirsky [3]. Au del`a de son int´erˆet intrins`eque, une formule de cette logique MMSNP2 correspond en fait `a un probl`eme naturel autour des requˆetes conjonctives sur des Bases de Donn´ees ´equip´ees d’ontologies [4], ce qui motive son ´etude que ce soit pour des questions de complexit´e, mais aussi pour des questions de d´efinissabilit´e.
Depuis le travail de Feder et Vardi [2] (et la d´eterminisation d’une contruction al´eatoire due
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a Erd¨os de graphes de nombre chromatique fix´ee et de maille fix´ee par Kuhn [5]) nous savons que MMSNP admet une dichotomie entre P et NP-complet ssi la classes des probl`emes de contraintes de domaine fini admet une dichotomie. Cette dichotomie a fait l’objet d’une conjecture dite de la dichotomie dans ce mˆeme article de Feder et Vardi, qui vient d’ˆetre r´esolue [6,7]. Ainsi la classe des probl`emes d´efinies par une formule de MMSNP, bien que plus large que celle des probl`emes de contraintes de domaines finis admet elle aussi une dichotomie.
Les logiques MMSNP et MMSNP2 ont des formulations simples en terme de probl`emes com- binatoires naturels que nous esquissons sur des graphes. Un probl`eme de motifs interdits prend en entr´ee un graphe qui sera accept´e ssi il est possible d’affecter une couleur `a ces sommets de sorte qu’aucune obstruction colori´ee – dans un ensemble fini d’obstructions colori´ees d´efinissant le probl`eme – ne soit pr´esente (au sens d’une image homomorphique) dans ce graphe colori´e.
Une formule de MMSNP correspond `a l’union d’un nombre fini de probl`emes de motifs interdits.
Courcelle a travaill´e sur 2 versions de la logique monadique du seconde ordre [8]. Ici, monadique signifie que les pr´edicats du second ordre concernent des ensembles et dans une premi`ere version (MSO1) il s’agit d’ensembles de sommets, alors que dans la seconde version (MSO2) il s’agit d’ensemble d’arˆetes. La logique MMSNP2 est l’analogue de MSO2 mais pour MMSNP, c’est-`a-dire que pour obtenir une d´efinition combinatoire il suffit de remplacer col- oration des sommets par coloration des arˆetes ci-dessus.
Une question int´eressante serait d’´etablir si MMSNP2 admet une dichotomie. Pour r´epondre
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a cette question difficile laiss´ee ouverte dans [4], une piste possible consiste `a utiliser l’arsenal d’outils d´evellop´es par Bordisky (th´eorie des mod`eles sur les structures omega-cat´egoriques, alg`ebre universelle, th´eorie de Ramsey, ...). Une probl´ematique plus simple mais probablement n´ecessaire pour r´esoudre cette question de la dichotomie de MMSNP2 consiste `a mettre en oeuvre une forme normale ad´equate pour MMSNP2 dans l’esprit de celles mis en oeuvre par le pass´e pour MMSNP [1,2,9,10]. Finalement, on peut prendre une approche directe par des m´ethodes combinatoires pour classifier la complexit´e de certaines classes de formules pertinentes dans un esprit similaire `a [11].
Alternativement, il existe d’autres approches populaires et pertinentes en combinatoire pour g´en´eraliser des probl`emes d’homomorphisme. On peut citer l’homomorphisme de graphes sign´es [12] ou les probl`emes de partition ´etudi´ees par P. Hell [13]. La probl´ematique de la dichotomie se pose ´egalement pour ces g´en´eralisations. Dans ce contexte, d´efinir une logique adapt´ee `a la cap- ture de tels probl`emes pourrait permettre de combiner l’approche logique `a celle combinatoire, cette derni`ere ´etant la plus ´etudi´ee jusqu’`a pr´esent pour ces probl`emes. Ici, vu la g´en´eralit´e de
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ces exemples, on peut peut-ˆetre envisager de trouver plutˆot des r´esultats n´egatifs, c’est-`a-dire montrant l’absence de dichotomie.
R´ef´erence
[1] Florent R. Madelaine: Universal Structures and the logic of Forbidden Patterns. Logical Methods in Computer Science 5(2) (2009)
[2] Tom´as Feder, Moshe Y. Vardi: The Computational Structure of Monotone Monadic SNP and Constraint Satisfaction: A Study through Datalog and Group Theory. SIAM J. Comput.
28(1): 57-104 (1998)
[3] Manuel Bodirsky, V´ıctor Dalmau: Datalog and constraint satisfaction with infinite tem- plates. J. Comput. Syst. Sci. 79(1): 79-100 (2013)
[4] Meghyn Bienvenu, Balder ten Cate, Carsten Lutz, Frank Wolter: Ontology-Based Data Access: A Study through Disjunctive Datalog, CSP, and MMSNP. ACM Trans. Database Syst.
39(4): 33:1-33:44 (2014)
[5] G´abor Kun: Constraints, MMSNP and expander relational structures. Combinatorica 33(3): 335-347 (2013)
[6] D. Zhuk. The Proof of CSP Dichotomy Conjecture. Accepted for publication at FOCS 2017, arXiv:1704.01914, 2017.
[7] A. A. Bulatov. A dichotomy theorem for nonuniform CSPs. Accepted for publication at FOCS 2017, arXiv:1703.03021, 2017.
[8] Bruno Courcelle, Joost Engelfriet: Graph Structure and Monadic Second-Order Logic - A Language-Theoretic Approach. Encyclopedia of mathematics and its applications 138, Cam- bridge University Press 2012, ISBN 978-0-521-89833-1, pp. I-XIV, 1-728
[9] Florent R. Madelaine, Iain A. Stewart: Constraint Satisfaction, Logic and Forbidden Patterns. SIAM J. Comput. 37(1): 132-163 (2007)
[10] Manuel Bodirsky, Florent R. Madelaine, Antoine Mottet: A universal-algebraic proof of the complexity dichotomy for Monotone Monadic SNP. CoRR abs/1802.03255 (2018)
[11] Manuel Bodirsky, Hubie Chen, Tom´as Feder: On the Complexity of MMSNP. SIAM J.
Discrete Math. 26(1): 404-414 (2012)
[12] Richard C. Brewster, Florent Foucaud, Pavol Hell, Reza Naserasr: The complexity of signed graph and edge-coloured graph homomorphisms. Discrete Mathematics 340(2): 223-235 (2017)
[13] Pavol Hell: Graph partitions with prescribed patterns. Eur. J. Comb. 35: 335-353 (2014)
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