Incertitude et analyse des

Incertitude et analyse des erreurs

Master 2

Floren Colloud

[email protected]

Plan du cours



1- Introduction à la mesure



2- Définitions et règles préalables



3- Evaluation d’une incertitude



4- La propagation des incertitudes

Plan du chapitre



La propagation des incertitudes

 Expérience de comptage

 Sommes, différences, produits et quotients

 Deux cas particuliers importants

 Incertitudes indépendantes

 Propagation pas à pas

 Formulation générale: approche différentielle

La propagation des incertitudes



Expérience de comptage

Expérience de comptage



Compter des événements aléatoires mais de moyennes définies

 Ex: nombre de naissances dans une maternité

• Phénomène aléatoire sur une longue durée

• Pour évaluer l’incertitude, le problème revient à savoir comment la mesure approche la moyenne véritable

• L’incertitude associée à un comptage

d’événements aléatoires est la racine carrée de la mesure

Expérience de comptage

 Ex: 14 naissances en 2 semaines

 Moyenne des naissances sur 2 semaine = 14

 Incertitude est

 Généralisation

Pour un intervalle de temps T On observe ν événements

4 14 





Exercice



Activité radioactive d’un échantillon

 33 désintégrations en 2 minutes

 907 désintégrations en 50 minutes

 Incertitudes en %, utilité d’un comptage sur une longue période

La propagation des incertitudes



Sommes, différences, produits et

quotients

Sommes et différences

Si plusieurs mesures x, …, w d’incertitudes

respectives x, …, w servent au calcul de la grandeur:

q = x + … + z – (u + …. + w)

Alors l’incertitude sur q est la somme des incertitudes initiales

q ≈ x + … + z + u + w

Sommes et différences



Ex: comparaison entre 2 mesures

 Conservation de la quantité de mouvement

 But vérifier que p = q satisfait les incertitudes expérimentales

• p = 1,49  0,03 kgm/s

• q = 1,56  0,06 kgm/s

 L’intervalle sur lequel évolue p [1,46;

1,52] recouvre partiellement l’intervalle probable de q [1,50; 1,62]

Sommes et différences



Pour prouver la loi, il faut réitérer les mesures un grand nombre de fois

• Les incertitudes variant peu d’une expérience à l’autre, elles peuvent donc être placées

dans la première ligne

Mesure p

 0,03

q

 0,06

1 1,49 1,56

2 3,10 3,12

3 2,16 2,05

…

Sommes et différences



Comparer les résultats du tableau

 Calculer la différence et l’incertitude associée

 Vérifier que cette différence est compatible avec 0

 cad plus petite ou de l’ordre de l’incertitude

Sommes et différences



Comparer les résultats du tableau

Mesure p

 0,03

q

 0,06

p -q



1 1,49 1,56

2 3,10 3,12

3 2,16 2,05

…

Sommes et différences



Comparer les résultats du tableau

Mesure p

 0,03

q

 0,06

p -q

 0,09

1 1,49 1,56 -0,07

2 3,10 3,12 -0,02

3 2,16 2,05 0,11

…

Produits et quotients

Si plusieurs mesures x, …, w d’incertitudes

respectives x, …, w servent au calcul de la grandeur:

Alors l’incertitude sur q est la somme des incertitudes fractionnaires initiales:

w u

z q x







 

...

...

w w u

u z

z x

x q

q    

   ...    ... 

Produit et quotient



Exercice

 m = 0,53  0,01 kg

 v = 9,1  0,3 m/s

 Meilleure estimation de p = m  v

Produit et quotient



Exercice

 p_m = m_m  v_m = 0,53 × 9,1 = 4,82 kg  m/s

 m/| m_m | = 0,01/0,53 = 0,02 = 2%

 v/| v_m | = 0,3/9,1 = 0,03 = 3%

 p/| p_m |) = 2 + 3 = 5%

 p = p/| p_m | × | p_m | = 0,05 × 4,82 = 0,241

 p = 4,8  0,2 kg  m/s

La propagation des incertitudes



Deux cas particuliers importants

Deux cas particuliers importants



Multiplication d’une mesure par un nombre exact

On calcule

Où B est un nombre dépourvue d’incertitude Par exemples:

- Circonférence d’un cercle déduit de la mesure de son diamètre d

- Epaisseur d’une feuille de papier déduit d’une ramette de 200 feuilles

Bx q 

d c   

 E



200

 1

Deux cas particuliers importants

 Puisque B = 0, on retrouve:

L’incertitude fractionnaire sur q est donc la même que celle sur x.

En multipliant l’égalité précédente par:

On obtient:

x x q

q 

 

x B

q 

 

Bx q 

Exemple



Epaisseur E de 200 feuilles

 E = 4,0 ± 0,2 cm

 Epaisseur d’une feuille?



Diamètre d’un cercle

 d = 5,0 ± 0,1 cm

 Circonférence du cercle?

Deux cas particuliers importants

Si la mesure x d’incertitude x sert au calcul du produit:

Où B est un nombre exacte, alors l’incertitude sur q vaut simplement:

Bx q 

x B

q 

 

Deux cas particuliers importants



Puissance

Si la mesure x d’incertitude x sert au calcul du produit:

Alors l’incertitude fractionnaire sur q est n fois celle de x:

x n

q 

x n x q

q 

 

Exercice



Arête d’un cube

 a = 2,00 ± 0,02 cm

 Volume du cube?

La propagation des incertitudes



Incertitudes indépendantes

Incertitudes indépendantes



Règles précédentes

 Sommes et différences

Les incertitudes absolue s’ajoutent

 Produits et quotients

Les incertitudes fractionnaires s’ajoutent

 Ces incertitudes apparaissent parfois excessivement étendues

Incertitudes indépendantes



Si les mesures initiales sont indépendantes et aléatoires



Une estimation plus réaliste est déduite de règles dans lesquelles les

incertitudes (absolues ou fractionnaires)

s’ajoutent en quadrature

Incertitudes indépendantes



Prenons q = x + y

(valeur mesurée de x) = x_m  x [unité]

(valeur mesurée de y) = y_m  y [unité]

(meilleur estimation de q) = x_m + y_m

q = x + y

Pourquoi cette expression surestime q?

Incertitudes indépendantes

 Valeur extrême de q

• Si x est sous-estimée de x et y de y

• Fort peu souvent

• Si x et y sont indépendantes et

d’incertitudes aléatoires, il existe 50% de chance de sous-estimer x tout en

surestimant y

• Et vice versa

 La probabilité de sous-estimer

simultanément x et y de x et y est faible

 q = x + y surévalue en général l’incertitude effective

Incertitudes indépendantes

 Si les mesures de x et y sont indépendantes et soumises à la distribution normale, alors l’incertitude sur q = x + y est:

Où les incertitudes initiales s’ajoutent en quadrature

Démonstration géométrique

 

 

q  

  

Incertitude dans les sommes et différences

Si plusieurs mesures x, …, w d’incertitudes respectives

x, …, w servent au calcul de la grandeur:

Et que les incertitudes sur x,…, w sont indépendantes et aléatoires, alors l’incertitude sur q est la somme

quadratique des incertitudes initiales:

Et q est toujours majorée par la somme des incertitudes:

) ...

(

... y u w

x

q      

 

 

 





q    

      

w u

y x

q    

   ...    ... 

Incertitude dans les produits et quotients

Si plusieurs mesures x, …, w d’incertitudes respectives x, …, w servent au calcul de la grandeur:

Et que les incertitudes sur x,…, w sont indépendantes et aléatoires, alors l’incertitude sur q est la somme quadratique des incertitudes fractionnaires initiales:

Et q est toujours majorée par la somme des incertitudes fractionnaires:

w u

z q x







 

...

...

2 2

2 2

...

... 









 

 











 











 

 











 

w w u

u z

z x

x q

q    



w w u

u z

z x

x q

q    

   ...    ... 

La propagation des incertitudes



Propagation pas à pas

Propagation pas à pas

 La plupart des phénomènes physiques ne sont pas accessibles par la mesure directe

 Ils s’obtiennent en plusieurs étapes ou quantités

• Ex: la vitesse d’un point

Propagation pas à pas



Si l’expérience nécessite 2 étapes (2 quantités), il en va de même pour

évaluer l’incertitude sur le mesurande



Principe

 Evaluer l’incertitude sur chaque grandeur

 Puis déterminer leur propagation au

cours des calculs jusqu’au résultat final

Propagation pas à pas



3 remarques

 Comme on utilise des incertitudes absolues et des incertitudes fractionnaires, les

calculs doivent faciliter la conversion des unes aux autres

 Les incertitudes ne sont rarement nécessaires avec plus d’un chiffre significatif

• L’essentiel du calcul peut s’effectuer de tête

• Les incertitudes les plus petites pouvant être négligées

Propagation pas à pas



3 remarques

 Attention aux fonctions dont l’incertitude ne peut se déduire par cette méthode de propagation pas à pas

• Fonctions qui possèdent au moins une variable présente plus d’une fois

Différence de deux termes y et x sin y contenant chacun la variable y et donc pas indépendants Propagation pas à pas fournit une incertitude

disproportionnée

=> Obligation d’utiliser la formulation générale y x

y

q   sin

Propagation pas à pas



Exemple

La propagation des incertitudes



Formulation générale: approche

différentielle

Approche différentielle



Formule u(x, y, z)

dz z

dy u y

dx u x

du u _{y ,z x,z x,y}



 



 



 

Approche différentielle



Formule u(x, y, z)

 Incertitude partielles causée uniquement par x

 Calculer séparément chaque incertitude partielle provenant de chaque variable

dz z

dy u y

dx u x

du u _{y ,z x,z x,y}



 



 



 

z z

y u y

x u x

u u   

 

 



 



  dx

x u





Approche différentielle



Exemple d’utilisation de la formule générale

 q = x²y – xy²

 On effectue les mesures suivantes:

• x = 3,0  0,1

• Y = 2,0  0,1

 Déterminer q et son incertitude

Approche différentielle



Cas d’une somme

 q = x + y

dy y dx q

x dq q



 



 

 1



 





y q x

q

dy dx

dq  1  1

y x

q  

  

Approche différentielle



Cas d’une différence

 q = x - y

dy y dx q

x dq q



 



 

 1



 





C A B

A

dy dx

dq  1  1

y x

q  

  

Approche différentielle



Cas d’un produit

 q = x × y

 En divisant par q

y x x

y

q

 



y y x

x q

q  

  

Approche différentielle



Cas d’un quotient

 q = x / y

 En divisant par q

dy y

dx x y

dq 2

1 



y y x

x q

q  

  

dy x

y y

dx x x

y y

dq 







 

 







 

 2

1

Approche différentielle



Multiplication par un nombre exact

 q = α x

 Par calcul différentiel dx x

dq q



 

x q

dx

dq       

Approche différentielle



Variable à la puissance n

x n

q 

dx x dq q



 

dx nx

dq  ^n1

x n dx dx

nx dx

x nx q

dq

n n





 ^



1 1

x n x q

q 

 

Université de Poitiers 1431