Commande Adaptative Floue Pour Les Systemes Non Lineaires Incertains

(1)

COMMANDE ADAPTATIVE FLOUE POUR LES SYSTEMES NON LINEAIRES INCERTAINS

F. KHABER^*, A. HAMZAOUI^**

* Département d’Electrotechnique, Université Ferhat ABBAS de Sétif , 19000 SETIF ALGERIE jfkhaber@yahoo.fr

** I.U.T. de Troyes, Département GMP, 9 rue du Québec, 10026 Troyes Cedex France hamzaouia@iut-troyes.univ-reims.fr

RESUME

Dans cet article, une approche combinant la commande adaptative classique et la commande floue, est utilisée pour prendre en charge des systèmes non linéaires incertains. En effet les descriptions linguistiques décrivant le fonctionnement du système sont incorporées dans le contrôleur. Les paramètres de ce dernier sont ajustés par des lois d’adaptation appropriées. Pour garantir la stabilité des systèmes en boucle fermée, dans le sens que tous les signaux impliqués sont uniformément bornés, la conception du contrôleur est faite selon la synthèse de Lyapunov.

L’algorithme ainsi développé est appliqué pour réaliser une commande en poursuite d’un pendule inversé. Les simulations sont réalisées sous l’environnement MATLAB 5.3.

1. INTRODUCTION

Un contrôleur adaptatif flou est construit à base d’un ensemble de règles floude la forme (IF – THEN), ses paramètres sont ajustés on-line selon quelques lois d’adaptation [2], [3], [17], [19]. Dans la conception de ces contrôleurs adaptatifs flous, la stabilité du système, dans le sens que tous les signaux impliqués soient uniformément bornés, est basée sur la synthèse de Lyapunov [16], [18]. L’originalité de cette approche est d’incorporer des règles linguistiques dans le contrôleur. Ce qui permet d’accroître la vitesse d’adaptation et d’améliorer l’erreur en régime permanent [6], [7].

En général, les contrôleurs adaptatifs flous sont construits suivant les étapes suivantes :

(i) Construction du contrôleur initial basé sur les descriptions linguistiques données par les experts humains sous la forme de règles flous (IF - THEN).

(ii) Développement des lois d’adaptation pour ajuster on-line les paramètres du contrôleur flou.

Pour mettre en évidence les capacités du contrôleur adaptatif flou conçu, il a été utilisé pour réaliser une commande en poursuite d’un pendule inversé.

2. APPROXIMATION FLOUE

Il a été démontré que les systèmes flous, utilisant le singleton fuzzifier, le produit d’inférence, et la défuzzification par centre de gravité, sont capables d’approximer n’importe quelle fonction réelle continue dans un ensemble compact avec une

précision arbitraire donnée [6], [15].

La base des règles flous est construite par une collection de règles linguistiques de la forme :

l n n l

l

l IFx F x F x F

R⁽⁾: ₁is ₁ and ₂is ₂Land is THEN yisG^l;l=1,..,M ,

M étant le nombre de règles.

La sortie du système flou est donnée par :

( ( ) )

∑ ∏

= =

= _M

l n

i F i

M

l

n

i F i

x x y

x y

il l i

1 1

)

( µ

µ

(1)

où

x = [x, ... , xn]^Test l’entrée du système flou ;

yl est l’abscisse où la fonction µGl(y) atteint son maximum. En écrivant la relation (1) sous une forme plus compacte, on obtient

( )

x x

y( )=θ^Tξ (2)

où θ=

[

^y¹^, L^, ^y^l

]

^T est un vecteur de paramètres ; ξ(x)=[ ξ¹(x),..., ξ^l(x)]^Tsont les fonctions floues de base dont l’élément ξ^l(x) est défini par :

(2)

( )

( ( ) )

∑ ∏

∏

= =

= _M =

l n

i F i

n

i F i

l

x x x

il l i

1 1

) 1

( µ

ξ µ (3)

3. POSITION DU PROBLEME

Considérons un système non linéaire de la forme :

( ) ( )

1

1 1

3 2

2 1

, , ,

, x y

u x x g x x f x

x x

n n

n

=

+

=

K

& K L

&

(4)

qui peut se mettre sous la forme équivalente :

( ) f

(

x x x( )

)

g

(

x x x^{( )}

)

u xⁿ = ,&,K, ⁿ⁻¹ + ,&,K, ⁿ⁻¹

x

y= (5)

où, f et g sont des fonctions continues inconnues, R

u∈ et

y ∈ R

sont l’entrée et la sortie du système respectivement, et

(

x x xn

)

^T

(

x x x^{( )}ⁿ

)

^T Rⁿ

x= ₁, ₂ ,K, = ,&,K, ⁻¹ ∈

le vecteur d’état du système qui est supposé observable . Pour que (1) soit contrôlable il faut queg

( )

x ≠ 0 ; avec x∈U_c,U_c ⊂ Rⁿ

(Uc: Région de contrôlabilité) ; g(x) est une fonction continue, on suppose que g(x) > 0 pour x∈U_c. L’objectif de la commande est de forcer la sortie y à suivre un signal de référence borné ym(t), sous la contrainte que tous les signaux impliqués doivent être bornés. Plus spécifiquement il s’agit de déterminer la commande par retour d’état u = u (x/θ) et une loi d’adaptation pour ajuster les paramètre du vecteur θ tel que :

Le système en boucle fermée soit globalement stable et robuste dans le sens que tous les signaux x(t), θ(t) et u(x/θ), soient uniformément bornés, c’est à dire que x

( )

t ^≤Mx^<^∞^, θ

( )

t ≤ M_θ <∞ et

( )

x ≤Mu<∞

u θ pour t ≥ 0, où M_x,M_θ et M_u sont des paramètres spécifiés par le concepteur;

(ii) L’erreur de poursuite,e= y_m−y, devrait être la plus petite possible sous la contrainte (i).

Pour commencer, on considère le signal d’erreur^e⁼

(

ê^,ê&^,L^,ê^{( )}ⁿ⁻¹

)

^Tet le vecteur de gain

(

kn k

)

^T Rⁿ

k= ,K, ₁ ∈ telles que toutes les racines du polynôme caractéristique

( )

n

n ks k

s s

h = + 1 ⁻¹+L+ soient dans le demi-plan gauche (système stable).

Si les fonctions f et g sont connues ; alors la loi de commande a la forme suivante [13]:

( ) [

^f

( )

^x ^y^{( )} ^k ^e

]

x

u= g1 − + _mⁿ + ^T

(6) ce qui donne :

( )¹ 0

1 + + =

+ke ⁻ ke

eⁿ ⁿ L _n (7)

qui implique que lim_t_→_∞e(t)=0 qui est l’un des objectifs de la commande.

Si f et g sont inconnues, on les approxime par les systèmes flous, de la forme (1), f^ˆ

( )

xθf et gˆ

( )

xθg , respectivement. La commande dans ce cas sera :

( )

^{( )}

[

^f ^x ^y ^k ^e

]

x

u g _f _mⁿ ^T

g

c = − θ + +

θ ˆ

) ˆ(

1 (8)

En appliquant (8) à (5) on trouve :

( )

[ ( )

f

( ) ] [ ( )

g

( ) ]

c T

n k e f x f x gx gx u

e =− + ^ˆ θ − + ^ˆ θ − (9)

qui est équivalent à :

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

[

f g c

]

c

ce b f x f x gx g x u

e&=Λ + ^ˆ θ − + ^ˆ θ − (10)

où

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

−

= Λ

−1 1

1 0

0 0 0 1

0 k k

k

n _n c

L L L M M

L

;

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

= 1 0 0 M

b

c (11)

Tant que (sI−Λ_c =s^{( )}ⁿ +k1s^{( )}ⁿ⁻¹ +L+k_n est stable (Λ_cstable), on sais qu’il existe une matrice symétrique définie positive P(n×n) unique qui satisfait l’équation de Lyapunov :

Q P

P _c

T

c + Λ =−

Λ (12)

où Q est une matrice symétrique arbitraire définie positive de dimensions n x n.

soit V_e=₂¹e^TPe, la fonction de lyapunov , alors en utilisant (10) et (12) on a :

× +

−

= +

= ^T ^T ^T ^T _c

e e Pe e Pe e Qe e Pb

V& ₂¹& ₂¹ & ₂¹

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

[

fˆ xθf −f x + gˆ xθg −g x uc

]

(13) Pour que x_i = y_m^{( )}ⁱ⁻¹ −e^{( )}ⁱ⁻¹ soit borné, on exige que

Ve soit bornée, qui signifie que V&_e≤0 lorsque Ve est supérieur à une importante constante V . Cependant, de (13) on voie qu’il est très difficile de concevoir uc

tel que le dernier terme de (13) soit négatif. Pour résoudre ce problème, on ajoute un autre terme de commande [18], us, à uc.

La nouvelle commande résultante est alors :

(3)

s

c u

u

u= + (14)

Ce nouveau terme (us) est, un contrôle de

surveillance appelé superviseur.

En substituant (14) dans (5), on obtient la nouvelle équation de l’erreur :

( ) ( ) [ ( ( ) ( ) ) ( ) ]

( )

[

f g c s

]

ce f x f x g x g x u g xu

e&=Λ +b_c ˆ θ − +b_c ˆ θ − − (15)

En utilisant (15) et (12) on obtient :

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( )

[

f g c s

]

c T T

e e Qe e Pb f x f x g x g x u g xu

V =− + × ˆ θ − + ˆ θ − −

2

& 1

( ) ( ) ( ) ( )

[

f g c c

]

c T

TQe e Pb f x f x g x u g xu

e + × + + +

−

≤ ˆ θ ˆ θ

2 1

( ) ( ) ( ) ( )

[

^f^ˆ ^x^θ^f ⁺ ^f ^x ⁺ ^g^ˆ ^x^θ^g ^u^c ⁺ ^g ^x^u^c

]

⁻^e^T^Pb^c^g

^{( )}

^x^u^s ⁽¹⁶⁾

Pour concevoir la commande us tel que le dernier terme de (16) soit négatif, on a besoin de connaître les limites des fonctions f et g. Pour ce faire on considère la supposition suivante :

3.1 supposition 1

On détermine f^u(x), g^u(x) et gL(x) tels que

( )

x f

( )

x

f ≤ ^u et g_L

( ) ( )

x ≤g x ≤g^u

( )

x pour x∈U_c, où f^u

( )

x <∞, g^u

( )

x <∞ et g_L

( )

x >0.

Sachant ces limites, le superviseur us est choisi comme suit [18] :

( ) _{( )}

x Pb g e I u

L c T s

sgn 1

1

= ∗

( ) ( ) ( ) ( )

[

^f ^x ^f ⁺ ^fû ^x ⁺ ^g ^x ^g û^c ⁺ ^gû ^xû^c

]

× ˆ θ ˆ θ (17)

où I₁^∗ =₁ si V_e >V , I₁^∗ = ₀ si _V_e _≤ _V , et

( ) ( )

1 1

sgn y = − si y≥0

( )

<0 .

En substituant (17) dans (16) et en considérant le cas V

Ve> , on à :

[

^c ^c

]

c T T

e e Qe e Pb f f gu gu

V ≤ − + × ˆ + + ˆ +

2 1

&

La prochaine étape consiste à remplacer f^ˆ etg^ˆpar leurs expressions floues données par (1).

Soient les paramètres optimaux suivants [18],

( ) ( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

= ∈

∗ f x _f f x

U f

c

θ θ min sup ˆ

x

(19)

( ) ( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

∈

∗ gx _g g x

U g

c

θ θ min supˆ

x

(20) et l’erreur minimale d’approximation

( ) ( )

[

f x f f x

] [

g

( )

x g g

( )

x

]

uc

w= ˆ θ^∗ − + ˆ θ^∗ − (21)

avec gˆ

(

xθg

)

>0.

L’équation dynamique de l’erreur peut être réécrite comme suit :

( )

⁺ ^×

−

= _ce b_cg xu_s b_c

e& Λ

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

[

^fˆ ^xθf −^fˆ ^xθf^∗ + ^gˆ ^xθg −^gˆ ^xθg^∗ ^uc+^w

]

(22) Si fˆ et gˆ sont du type (1), alors (22) peut être réécrite de la façon suivante :

( )

^x ^u ^b ^w

g b e

e_&=Λ_c − _c _s + _c

[ ( ) ( )

c

]

T g T

f

c x xu

b Φ ξ +Φ ξ

+ (23)

où :

Φ

f

= θ

f

− θ

^∗f, Φg=

θ

g−

θ

g^∗, et

ξ ( )

x représente les fonctions floues de base (3).

Considérons la fonction de Lyapunov : g T

g f

T f TPe

e

V = + Φ Φ + Φ Φ

2 2 1

1

2 1 2

1

γ

γ ⁽²⁴⁾

où : 1

γ

_{et 2}

γ

sont des constantes positives.

La dérivé de

V

par rapport au temps est :

( )

xe Pbu e Pbw g

Qe e

V =− ^T − ^T _c _s+ ^T _c

2

& 1

[ ^e ^Pb

c

( ) ^x ]

T f

T

f

θ γ ξ

γ

₁ ¹

1 Φ +

+ &

[

c

( )

c

]

T g

T

g

θ γ

e Pb

ξ

xu

γ

₂ ²

1 Φ +

+ & ₍₂₅₎

avec Φ& _f =θ&_f ,Φ& _g =θ&_g . A partir de (17) et g

( )

x >0 on a :

( )

x e^TPb_cu_s ≥ 0

g .

Si on choisit les lois d’adaptation [2], [18]

( ) ^x

Pb e

^T _c

f

γ ξ

θ & = −

₁ ₍₂₆₎

[

^ˆ ⁺ ⁺ ^ˆ ⁺

]

^≤⁻₂¹ ^≤⁰⁽¹⁸⁾

×

− e Pb f f gu g u e Qe

g

g _T

c u c u c

T L

(4)

et

( )

c c T

g γ e Pbξ xu

θ& =− ₂ (27)

alors, à partir de (25) on a : w Pb e Qe e

V&≤−₂¹ ^T + ^T _c (28)

Le terme e^TPb_cw est de l’ordre de w, qui est négligeable devant l’erreur e. Ce qui permet de conclure que la loi de commande synthétisée garantit la stabilité du système au sens de Lyapunov (V&≤0).

Le schéma synoptique de synthèse de la loi de commande est donné par la figure 1.

Système

uc (.)

θ_f(.) θ_g(.)

u_s(.) +

I1*

x

x y_m

u

- +

Figure 1: Synthèse de la loi de commande adaptative floue.

3.2 Supposition 2

On dispose de descriptions linguistiques pour les fonctions inconnues f et g sous la forme :

( ) r

n n r

2 2 r 1

1isA and x isA and...and x isA x

:IF R_f^r

( )

x C^r f is

THEN (29)

B is x and and...

B is x and B is x

: ₁ ^s₁ ₂ ^s₂ _n ^s_n

)

( IF

R_g^s

( )

x isD^s g THEN

(30)

avecA_i^r ,B_i^s ,C^r et D^s sont des ensembles flous dans R, r=1,2,L,L_f et s=1,2,L,L_g.

4. ALGORITHME

Dans cette partie, ^f^ˆ

(

^x ^θ _f

)

^etgˆ

(

x θg

)

sont de la

forme (1).

Etape 1 : processus autonome

spécifier les k_i,_i =₁_;_n , telles que les racines de sⁿ + k₁sⁿ⁻¹+L + k_n = 0 soient dans le demi-plan gauche. Spécifier une matrice Q symétrique définie positive.

résoudre l’équation de Lyapunov, pour obtenir la matrice symétrique P > 0.

spécifier les paramètres Mf, Mg,

ε

et V , basés sur des contraintes pratiques.

Etape 2 : conception du contrôleur initial

définir les mi ensembles flous _F_i^lⁱ dont les fonctions d’appartenances sont l_i

Fi

µ , où li=1,2,...,mi et i = 1,2,...,n.

construire les bases de règles floues de base pour les systèmes f^ˆ

(

x ϑf

)

et gˆ

(

x θ g

)

, chacune consiste en m1×m2 ×L×m_n règles dont les parties IF comprennent toutes les combinaisons possibles des F_i^lⁱ . Spécifiquement les règles floues de base de fˆ etgˆsont constituées de règles de la forme :

(1 ) ₁ ₂ l_n

n n l

2 2 l 1 1 ,

, ^lⁿ :IF x isF and x isF and...and x isF

l

Rf ^L

THEN fˆ

( )

xθf isG⁽^l¹^,^L^,^lⁿ⁾ (31)

(1 ) 1 2 ln

n n l

2 2 l 1 1 ,

, ^lⁿ :IF x isF and x isF and...and x isF

l

Rg ^L

THENgˆ

( )

xθg isH⁽^l¹^,^L^,^lⁿ⁾ (32) où

i

i m

l =1,2,_L, , i=1,2,L,n, et G⁽^l^1L^, ^,^lⁿ⁾, H⁽^l¹^,^L^,^lⁿ⁾ sont des ensembles flous dans R

construction des fonctions flous de base

( )

( ) ( )

∑ ∑ ∏ ( )

∏

= = =

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛

=

1 1 1

, 1 ,

m l

n

i F i

n

i F i

l l

n

n li

i li n i

x x

x µ

ξ µ

L

L (33)

les fonctions fˆ

( )

xθf et gˆ

( )

xθg sont construites comme suit :

( )

x

( )

x

fˆ θ_f =θ^T_fξ (34)

( )

^x

( )

^x

gˆ θ_g =θ_g^Tξ (35)

Etape 3 : Adaptation on line

Appliquer la commande par retour d’état (14) au système (4), où uc est donnée par (8), us

(5)

est donnée par (17), fˆ etgˆ sont donnée par (34) et (35) respectivement.

Utiliser les lois d’adaptation suivantes pour ajuster le vecteur de paramètres θ_f

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ( ) )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<

= +

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ = ≥

<

−

=

0 et

si

) 0 et

ou

si

1 2 1

1

x Pb e M

Pb x e x Pb e

x Pb e M

M x

Pb e

T f c T f f

f T f f c T c

T

T f c f

f

f f c

T

f

T

ξ θ θ

θ ξ θ γ θ

ξ γ

ξ θ θ

θ ξ

γ

θ^& (36)

Utiliser les lois d’adaptation suivantes pour ajuster le vecteur de paramètres θ_g.

pour le vecteur θ_g : chaque fois qu’un élément θ_gi de θ_g est proche de zéro θ_g = ε utiliser :

( ) ( )

⎪⎩

( )

⎪⎨

⎧

≥

<

= −

0

si 0

0

si

2

c i c T

c i c T c

i c T

gi e Pb xu

u x pb e u

x Pb e

ξ ξ ξ

θ^& γ (37)

où ξ_i

( )

x est le i^eme composant de ^ξ

( )

^x ^.

- Sinon, utiliser :

( )

( ( ) )

( ) ( )

( ( ) )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<

=

+

−

≥

=

<

=

0

si

0 et

ou

si ) (

2 2 2

2

c T g c T g g

g c T g g c T c c T

c T g c T g g

g g c c T

g

u x Pb e et M

u Pb x

e u x Pb e

u x Pb e M

M u

x Pb e

ξ θ θ

θ ξ θ γ θ

ξ γ

ξ θ θ

θ ξ

γ

θ& (38)

5. EXEMPLE DE SIMULATION

Il s’agit de développer un contrôleur adaptatif flou pour commander un pendule inversé dont la description est donnée par la figure 1.

mg sin θ

l

x

2

θ ^& = x

1

θ =

u

Figure 2: Pendule inversé

L’équation dynamique du pendule inversé est donnée par [18] :

u m

x cos -m

m x cos

m x cos -m

x sin x cos -mlx sin x

c 1 2 3

4 c

1

c 1 2 3

4

1 1 2 2 1 2

2 1

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+ + +

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+

= +

=

l m

m l m

m g m

x x x

& c

&

avec x₁=θ et x₂=θ^&. où

g = 9.8 m/s² la gravité universelle.

mc=1kg la masse du chariot.

m =0.1kg la masse du pendule.

l = 0.5m la longueur du pendule.

5.1 Paramètres d’initialisation Le signal de référence ( ) sin(t)

30

= Π

t

y_m .

Les limites des fonctions f et g sont

(

x1^,x2

)

=^15.78+^0.0366^x²2

f^U ,g_L

(

x1^,x2

)

=¹^.¹²

( )

1.46

g ¹ ²

U x, x =

. Les états et la commande

180 u et 6

,

6 ₂

1 ≤ Π x ≤Π ≤

x .

En plus les constantes Mf = 16, Mg = 1.6, ε = 0.7, γ1 = 50, γ2 = 1 et v=0.267 .

5.2 Mise en œuvre de l’algorithme

On considère le vecteur de gain k = [2 1 ] assurant la stabilité du système. La résolution de l’équation de Lyapunov donne (pour Q = diag (10,10))

5. 5

5 15 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ P

Les fonctions d’appartenance sont choisies de forme gaussiennes (m1=m2=5 et i=1,2 et j=1,..,5).

24 /

12 / ) 1 ( 6 / - x

exp ) (

2 i

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

π

−

− π

= +

µ j

x_i

F_i^j

5.3 Résultats de simulation

Les variations, en fonction du temps, de l’angle

)

θ (t

et de la vitesse angulaire

θ & (t )

sont représentées, pour deux conditions initiales différentes, par les figures 3 et 4.

Les figures 3 et 4 mettent en évidence les capacités du contrôleur conçu sur un pendule inversé. En effet, ce régulateur est capable d’assurer la poursuite en un temps très court (≈3 s) avec une erreur de poursuite très faible. (moins de 2%).

(6)

Figure 3: Evolution de l’angle (x1) pour les conditions initiales (x1=-π/60, x2=0)

Figure 4: Evolution de l’angle (x1) pour les conditions initiales (x1=π/10, x2=0).

6. CONCLUSION

Dans ce travail, nous avons développé un contrôleur flou adaptatif indirect, qui (i) ne nécessite pas un modèle mathématique du système sous contrôle, (ii) est capable d’incorporer directement des règles floues IF-THEN décrivant le fonctionnement du système, et (iii) garantit la stabilité globale du système en boucle fermée dans le sens que tous les signaux impliqués soient uniformément bornés. Le contrôleur ainsi développé est utilisé pour une commande en poursuite d’un pendule inversé. Les résultats de simulation obtenus montrent que (i) le contrôleur flou adaptatif peut réaliser une bonne poursuite sans aucune information linguistique, et (ii) l’incorporation de quelques règles floues dans le contrôleur permet d’améliorer la vitesse d’adaptation et l’erreur de poursuite.

REFERENCES

[1] H. Bühler «Réglage par logique floue», Presses universitaires polytechniques romandes, Suisse

1994.

[2] B.S. Chen, H.J. Uang, and C.S. Tseng “Robust tracking enhancement of robot systems including motor dynamics : A fuzzy-based dynamic game approach,” IEEE Trans. Fuzzy Syst. vol. 6, pp.

538-552, Nov. 1998.

[3] R. Hartani, H.T. Nguyen et B. Bouchon- Meunier,

“Sur l’approximation universelle des systèmes flous,” RAIRO-APII-JESA, vol. 30, n°5, pp. 645- 663 , 1996.

[4] A. Isidori, Nonlinear Control Systems. Springer – Verlag London, 1995.

[5] A. Isidori, Nonlinear Control Systems II. Springer –Verlag London, 1999.

[6] F. Khaber, A. Hamzaoui, K. Benmahammed &

J.L. Sculfort, “Contrôle flou et stabilité d’un portique avec masse suspendue,” CNR-IUT 09-10 juin 2000.

[7] F. Khaber, A. Hamzaoui, K. Benmahammed,

“Commande floue d’un système non linéaire,”

CIP’2001, 09-11 juin 2001.

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