Calcul d erreur (ou Propagation des incertitudes)

TravauxPratiquesdePhysique vers.septembre2014

Calcul d’erreur (ou Propagation des incertitudes)

1) Introduction

Lemot"erreur"seréfèreàquelquechosedejusteoudevrai.Onparled’erreursurune mesure physique lorsqu’on peut la comparer à une valeur de référence qu’on peut considérercomme"vraie"(parex:mesuredelavitessedelalumière,delatempératuredu zéroabsolu).

Généralement,pourlesmesureseffectuéesaulaboratoire,onnepossèdepasdevaleurde référenceetonneconnaîtpaslavaleurexactedelagrandeurmesurée(parex.vitessed’un projectile(tir)).Onparlealorsd’incertitude.

LerésultatYd’unemesuredépendgénéralementdeplusieursgrandeursmesuréesx1,x2,….

On parle alors d’une grandeur composée. Chaque grandeur mesurée a une certaine incertitude'x1,'x2,…etcesdernièresvontsecombinerpourproduirel’incertitudetotale 'YsurlerésultatY.Lafaçondontl’incertitudedechaqueparamètreindividuelcontribueà l’incertitudetotaleestdécriteparlapropagationdesincertitudes.

Lapropagationdesincertitudesestdoncletermecorrectpourl’expressionimproprement maiscourammentutiliséedecalculd’erreur.

2) Mesure

Parmesureonentendsoitledénombrementd'unensembled'objetsoud'évènements(par ex.lecomptagedeprocessusdedésintégrationradioactive)soitlacomparaisond'une grandeuràmesureravecuneunitédemêmeespèce(parex.comparaisond'unedistance avecl'unitédelongueur).Lerésultatd'undénombrementestdéterminédefaçonunivoque parunnombresansdimension,parcontrelerésultatd'unemesureparcomparaison,c'estͲ àͲdirelenombremesuré,dépendduchoixdel'unité.Ilestdonctoutaussiimportant d'indiquerl'unitéchoisiequelenombreobtenu.

LeSystèmeinternationald’unités(abrégéenSI),inspirédusystèmemétrique,estle systèmed’unitéslepluslargementemployéaumonde,quiestdéfiniparlaConférence généraledespoidsetmesures.Ils’agitd’unsystèmedécimal(onpassed’uneunitéàses multiplesousousͲmultiplesàl’aidedepuissancesde10),saufpourlamesuredutemps.On parleaussidesystèmeMKSA,enréférenceauxunitésprincipalequilecompose:lemètre (longueur),lekilogramme(masse),laseconde(temps)etl’ampère(courantélectrique).Ce systèmeestcomposéde7unitésdebase;enplusdesquatreprécédentes,ilyaencorele kelvin(température),lamole(quantitédematière)etlacandela(intensitélumineuse).

Touteslesautresunitéssontdéduitesdecesunitésdebase,maiscertainespossèdentun nomparticulier(parexempleleNewtonpourlaforce,1[N]=1[kgͼmͼs^Ͳ2]).

Ilestessentiellementimpossiblededéterminerlavraievaleurd'unegrandeurphysique(par ex.ladéterminationdelamassed'uncorpsparpesée).Celas'expliqueparlefaitqueles instrumentsdemesureutilisés,demêmequelesorganesdessensdontonnepeutse passer,nepossèdentpasunesensibilitéinfinie.Lalimitedesensibilitésetrouveimposéeen dernierlieuparlastructureatomiquedelamatièreetlesphénomènesdefluctuations statistiquesquiysontliés(parex.lemouvementbrownien).Unrésultatdemesureaurapar conséquentplusoumoinsdechancesdes'approcherdelavraievaleurdelagrandeurà mesurer,suivantlafinessedel'instrumentdemesureetl'habiletédel'expérimentateur.

3) Lesincertitudesdemesure

Ondistinguedifférentessortesd'erreursdonttoutemesurepeutêtreaffectée:leserreurs systématiques,leserreursaccidentellesetladispersionstatistique.

i) Leserreurssystématiquesseproduisentparexemplelorsqu'onemploiedesunitésmal étalonnées (échellefausse, chronomètre mal ajusté) ou lorsqu'on négligecertains facteursquiontuneinfluencesurlamarchedel'expérience(parex.l'influencedu champmagnétiqueterrestredansunemesuremagnétique).Celamèneàundécalage (biais)durésultatsil‘erreurcommiseesttoujourslamême.Leserreurssystématiques influencentl’exactitude(oujustesse)delamesure(voirFig.1.c).

Danslaplupartdescas,leserreurssystématiques,pourautantqu'onconnaisseleur cause, peuvent être prises en considération par une correction correspondante apportéeaurésultatdelamesure.Pourlesmesureseffectuéesdanslecadredetravaux pratiquesdephysique,ellesn'ontengénéralqu'unesignificationdesecondplan.

ii) Leserreursaccidentellesparcontrenepeuventenprincipepasêtreévitées.Leurcause setrouvedansl'expérimentateurluiͲmême.Lasûretéaveclaquellelamainmanieun instrument(parex.l’arrêtd'unchronomètre),l'exactitudeaveclaquellel'œilobserve (parex.lapositiond'uneaiguillesuruneéchelle)oul'acuitédifférentielledel'oreille (parex.pourladéterminationd'unminimumd'intensitésonore)sontlimitées.C'estla tâchedetoutobservateurd'êtreconscientdeserreursaccidentellesdemesure,deles mainteniraussifaiblesquepossibleetd'estimeroucalculerleurinfluencesurlerésultat obtenu.

Leserreursaccidentellesaffectentlaprécision(oufidélité)delamesure(Fig.1.b).

Fig.1: Exactitudeetprécision:(a)Exactetprécis;(b)Exact,pasprécis;(c)Pasexact,maisprécis.

iii) Ladispersionstatistiqueapparaîtlorsqu’onfaitdes mesuresrépétéesdelamêmegrandeur.Sil’on mesureplusieursfoislemêmephénomèneavecun appareil de mesure suffisamment précis, on obtiendraàchaquefoisunrésultatdifférentxi.Ceci estdûàdesphénomènesperturbateurs(parex.

bruit de fond électronique, sensibilité d’un instrumentauxvariationsdetempérature)ou,pour des mesuresextrêmement précises,à la nature aléatoire du phénomène (chaos, incertitude

quantique). ^Fig.2:DistributiondeGauss.

Pourungrandnombredemesuresetphénomènesphysiques,onpeutgénéralement postuler que la distribution des valeurs obtenues suit une distribution de Gauss (distributionnormale).Notonsquecettedistributionn'estpastoujoursvalablecomme lemontrel'exempledesphénomènesdedésintégration(distributiondePoisson).

LadistributiondeGaussestcaractériséepardeuxparamètres(voirFig.2):savaleur moyennexoetsavarianceʍ²(oudéviationstandardV).DansladistributiondeGauss, 68%desmesuressontcomprisesentrexoͲVetxo+V95%entrexoͲ2Vetxo+2Vet99.7%

entrexoͲ3Vetxo+3V

Ladispersionstatistiqueaffectelaprécisiondelamesure(Fig.1b).Lebutderépéterun grandnombredefois(Nfois)lamesuredumêmeparamètreestd'obteniruneestimation aussiprécisequepossibledelavraievaleurcherchéexo.Onconstatequecetteestimation serad'autantplusprécisequeladistributiondeGaussestétroite,c’estͲàͲdirequeʍest petit.Laméthodedemesure,lesappareilsutilisésainsiquel'habiletédel'expérimentateur contribuentchacunàlagrandeurdeʍ(parex:unchronomètreélectroniqueestplusprécis qu'unchronomètremécanique,unfaisceaulumineuxassociéàunecellulephotoélectrique seraplusprécisquel'œiletlamaindel'expérimentateurpourdétecterlepassaged’un projectileenunpoint).

Lemeilleurestimateurdelavraievaleurxoestlamoyennearithmétiquex desNrésultats individuelsxi:

¦

₁

1 ^N

i i

x x

N (1)

Demême,lemeilleurestimateurdelavariancedeladistributiondexestdonnépar

V

¦

2 2

1

1 ( )

1

N

x i

i

x x

N (2)

Finalement,laprécisionaveclaquelleondéterminexoestdonnéeparlavariancedela moyennexqu’onnoteVx²:

V^x2 _N¹V^x2 ˜_N^{1 ª}«¬_(N¹₁₎

¦

_i^N₁^{(xi x)2º}»¼ ˜_N^{1 ª}«¬_(N^N₁₎ ^{x2x2 º}»¼^{. (3)}

CettevaleurvarieinversementaveclenombredemesuresN.Ainsi,sionveutdiminuerla déviationstandarddelamoyenne V^{xd’unrésultatd'unfacteur2(c’estͲàͲdireréduire} l’incertitudedemoitié),ilfautquadruplerlenombredemesures(oualorsaméliorerla méthodeet/oulesappareils,sansparlerdel'expérimentateur!).

Lerésultatdelamesureestfinalementdonnésouslaforme: xrVx

Acôtédel'erreurabsolueVxd'unrésultatdemesure,ilestsouventcommoded'indiquer l'erreurrelativeVx x.L'erreurabsolueatoujourslamêmedimension(mêmeunité)quele résultatdelamesureluiͲmême.L'erreurrelativen'apasdedimensionets’exprimeen%ou en‰.

Chiffressignificatifs:Lenombredechiffressignificatifsàindiquerdansunrésultatest égalementfixéparlecalculdesincertitudes.Endonnertropesttoutaussifauxqued'en donnertroppeu!Laconventionadmiseestlasuivante:toutrésultatdoitcomporterun nombredechiffressignificatifstelquelederniersoitaffectédel'erreurfixéeparlecalcul deserreurs;l'avantͲdernierparcontreestcertain.AinsiunemasseMpeséeà±2mget trouvéeégaleparexempleà25.3873gseradonnéepar:M (25.387r0.002)g.

4) Incertitudessurunemesurecomposée;loidepropagation

Lesmesureseffectuéesenphysiquesontleplussouventindirectes,c'estͲàͲdirequele résultatfinald'uneexpérienceneconsistepasenlamesure(répétéeounon)d'unseul paramètre,maisdeplusieursgrandeursqui,liéesparuneloiphysique,conduisentau résultatcherché.Chacune decesgrandeurs a une certaineincertitude; lerésultatde l’expérienceencomporteraaussiunequidépenddesincertitudesindividuelles.Onveut déterminerdequellemanièrechacunedecesincertitudesserépercutesurlagrandeur finale.

4.1)Propagationdesincertitudes

Illustronscelaparunexemplesimple(Fig.3).Sionveutdéterminerlasurfaced’unepièce, onmesuresalongueurletsalargeurdetlasurfaceestdonnéeparlafonctionS=ld.Les distancesmesuréescomportentuneincertitude'lsurlalongueuret'dsurlalargeur.

Commentdéduirel’incertitude'Ssurlasurfacecalculée?

Envisageonslecasleplusdéfavorableetconsidéronsquelesincertitudesaugmentent chaquefoislesgrandeursmesurées.L’incertitude'Ssurlasurfacecorrespondalorsà l’accroissementtotaldelasurface(voirFig.3a):

( ) ( )

S l l d d ld d l l d l d

' ' ˜ ' ' ' ' ' . (4)

Lederniertermepeutêtrenégligélorsquelesincertitudessurlesgrandeursmesuréessont petitesparrapportauxgrandeursellesͲmêmes('x<<x),cequipermetdesimplifierlecalcul d’erreurenconsidérantladifférentielle(variation)delafonctionparrapportauxdifférentes variables(Fig.3b):

S S

S d l l d l d

l d

w w

' ' ' ' '

w w (5)

Fig.3: Accroissementtotal(a)etdifférentielle(b)delasurfaced’unrectanglede

longueurletdelargeurdcomportantdesincertitudes.Ladifférenceentreces deuxgrandeursestlepetitrectanglerougedontlasurfacepeutêtrenégligée.

Plusgénéralement,onaurapourunefonctiondeplusieursvariablesf(x1,x2,x3,…):

1 2 3

1 2 3

f f f ...

f x x x

x x x

w w w

' ' ' '

w w w ⁽⁶⁾

Fig.4: L’incertitude'fsurunegrandeurfrésultantdel’incertitude'xsurunevariablex dépenddelapentelocaledelacourbef(x),donnéeparladérivéepartiellew wf x. Leprincipeconsistedoncàcalculerladérivéepartielle(notéew wf xi)delafonctionfpar rapportàchaquevariablexi,quireprésentel’accroissementdelafonctionfpourunepetite variationdelavariablexi(voirFig.4).

Rappel:ladérivéepartielled’unefonctionparrapportàunevariablexiconsisteàdériverla fonctionparrapportàxienconsidéranttouteslesautresvariablescommedesconstantes.

Quelquescassimples:

L’applicationdelapropagationdesincertitudesdécriteparlaformulegénérale(6)devient particulièrementsimpledanslescasparticulierssuivants,souventrencontrésenpratique: Somme/différence:lorsquelagrandeurcomposéen’estconstituéequedesommesoude différences:

y r r rx1 x2 x3 ...,alors ' ' ' ' y x1 x2 x3 ... (7) Dansunesomme(différence),leserreursabsoluess’additionnent.

Produit/quotient:lorsquelagrandeurcomposéen’estconstituéequedeproduitsoude quotients:

y ˜x x1 2 /x3˜...,alors ^{1 2 3}

1 2 3

x ...

x x

y

y x x x

' ' '

' (8)

Dansunproduit(quotient),leserreursrelativess’additionnent.

Produitdepuissances:lorsquelagrandeurcomposéen’estconstituéequed’unproduitde puissances

1 2 3 ...

y x^D ˜x ^E˜x^J ˜ …,alors ^{1 2 3}

1 2 3

x ...

x x

y

y D ^'x E ^'x J ^'x

' (9)

Danstouslesautrescas(parex.enprésencederelationstrigonométriques,delogarithmes, deracines,etc…),laformulegénérale(6)doitêtreutiliséeencalculanttouteslesdérivées partielles.

Exemple:lapérioded’oscillationTd’unpendulesimpledépenddelalongueurldupendule:

2

T S l g ^{.Enmesurantlalongueurdupenduleetsapériode(doncicideuxmesures),on} obtientdefaçonsimplel'accélérationdelapesanteurg:g 4S²l T^2.L’incertitudesurgest obtenueàpartirdesincertitudessurletTpar:

g g

g l T

l T

w w

' ' '

w w

2

2 3

1 2

4 l

l T

T T

S ^§¨© ' ' ^·¸¹ (10)

Méthodesimplifiée:selon(8), 4 ² l g S T T

˜ (quotientїerreursrelativess’ajoutent)

2 2

2 2

g l T T l T 4 l l T

g g

g l T T l T S T l T

' ' ' ' §' ' · §' ' ·

Ÿ Ÿ ' ¨© ¸¹ ¨© ¸¹

2

2 3

4 l 2l T

T T

S ^§¨©^{' ' ·}¸¹

4.2)Propagationdeladispersionstatistique

Silesvaleursdesdifférentesgrandeursxiontétéobtenuesparunemoyennestatistiquesur unnombredemesuresrépétées,l’incertitudesurchaqueparamètreestdonnéeparla dispersionstatistiqueoudéviationstandardV^{x(voir§3.iii).Siles}différentesvariablessont indépendantes,lesincertitudessecombinentaléatoirementdesortequelavariancesurla grandeurcombinéeestdonnépar:

1 2 3

2

2 2

2 2 2 2 2

1 2 3

... et

x x x

f f f

f f f

x x x

V ^§¨©w^{w ·}¸¹ V ^§¨©w^{w ·}¸¹ V ^§¨©w^{w ·}¸¹ V V V ⁽¹¹⁾

5) Loiphysiqueàvérifierexpérimentalement;régressionlinéaire

Dansdenombreusesexpérienceseffectuéesenphysique,ladéterminationd'unegrandeur seréaliseenvérifiantuneloifaisantintervenirlagrandeurenquestion.Lavérification expérimentale d'uneloi théorique reliant plusieurs grandeurs physiques peut se faire simplementens'efforçantdemettrelaloisousuneformelinéaireparunchangementde variableapproprié.

Rappel:laformeanalytiqued'unedroiteesty=px+h;p=pente,h=ordonnéeàl'origine.

Exemple:danslependulesimple,lapérioded’oscillationdépenddelalongueurdupendule delamanièresuivante: T 2S l g ^{.Onpeutdécrirecephénomèneparunerelation} linéaireenreprésentantT²enfonctiondel:^T2

^{4S2 g l}

^.

Lespointsdemesures(xi,yi)sontalorsreportésavecleursbarresd’incertitudessurun systèmed'axesorthogonaux,cequipermetdereconnaîtreimmédiatementsilaloiest vérifiée en examinant l'alignement des points expérimentaux (voir Fig. 5). Les barres d’erreurconsistentendessegmentshorizontauxetverticauxdelongueur'xiet'yiportés departetd’autredechaquepoint(x_i,yi).Onvoitqu'ilestdepremièreimportancede reporterlespointsdemesuresavecleurdomained'erreurpréalablementàtoutediscussion concernantlavaliditédelaloiàvérifier.

Fig.5: Principedelavérificationexpérimentaled’uneloiphysiquesousformegraphique.

Régressionlinéaire:

Pourvérifierlalinéaritéd’unerelation,onchercheàfairepasserla"meilleuredroite"

(appeléeaussidroitederégression)partouslespointsdemesure(avecleursbarres d’erreur).Cecisefaitmanuellement("àl’œil")ouparcalcul(méthodedesmoindrecarrés).

Méthodemanuelle:

Lameilleuredroitepassantparlespointsdonnelapentepodelarelationentreyetx.

L'erreursurlapenteestobtenueenconsidérantlesdroites"extrêmes"depentep_maxetp_min passantàpeuprèspar2/3despointsexpérimentaux(avecleurserreurs).L’erreursurla penteestalorsdonnéepar:' p (pmaxpmin) / 2.

Moindrescarrés:

Uneméthodecourammentutiliséepourobtenirladroitereprésentativeduphénomène décritparlespoints(x_i,yi)estbaséesurlaméthodedesmoindrescarrés,quiminimalisela sommedesécartsverticaux _théo ²

1

( )

N i i

y y

¦

^{entrelespoints}expérimentauxetladroite,où ythéoreprésentel’ordonnéedespointssurladroiteoptimale.Lescoefficientsdeladroitede régression(pentepetordonnéeàl’origineh)peuventêtreobtenusparcalculavecun tableurouautrelogicieldédié.Ilfauttoutefoisnoterquelarégressionlinéaireainsiobtenue (parexempleenutilisantunecourbedetendancestandarddulogicielExcel)netientpas comptedesincertitudessurlespointsdemesures,cequifaitqu’onpointconnuavecune grandeprécisionalemêmepoidsdanslecalculdeladroitequ’unpointentachéd’une grandeimprécision.Deplus,ilseraitpluscorrectdeconsidérerlesdistancesabsoluesentre lespointsetladroiteplutôtquelesdistancesverticalesquisontplusfacilesàtraiter.Pour cesraisons,lesrégressionslinéairesseronteffectuéesauxTPdePhysiqueavecunemacro spécialeimplémentéedansExceletnonpasavecl’outilstandarddecourbedetendance.

Celapermettraenparticulierdedéterminerlesincertitudes'pet'hsurlesparamètresde ladroite.

Danstouslescas,lerésultatestindiquésouslaforme p r 'p0 p

Exemple:VérificationdelaloidupenduleT 2S l g ^etdéterminationdel'accélération terrestre g. On met d'abord la formule à vérifier sous la forme linéaire appropriée

2 2

4

T S l g^.

Lesvariablesmesuréesexpérimentalementsontlescouples(l_i±ȴl_i,T_i±ȴT_i),oùȴl_ietȴT_isont lesincertitudessurlesmesuresdel_ietdeT_i.Lareprésentationlinéaireexigedetransformer

cescouplespourobtenirlesgrandeursadéquates(l_i±ȴli,Ti2

±ȴ(T_i²))quisontalorsreportées graphiquementcommeindiquésurlaFig.6.

Lapentepdeladroitederégressioncorrespondà p 4S² g^{d’oùl’ondéduit}l’accélération terrestreg 4S² p^{.L’erreursurgs’obtientàpartirdel’erreursurlapenteparlaformule} générale(6): g 4 ₂²

g p p

p p

S ' ww ' '

Remarque:Danscecas,onpeutappliquerdirectementlaformulesimplifiée(8)caronaici unquotientdesortequeleserreursrelativess’ajoutentsimplement:

2 2

( ) 4

g g p p g p p g p

p

' ' Ÿ ' ' S '

Fig.6: Vérificationexpérimentaledelaloidupenduleetdéterminationdel’accélération terrestregparlapentedugraphique.