Maquette du portail Mathématiques et applications (L1-L2) et de la licence de Mathématiques (L3) UFR Mathématiques de l Université de Rennes 1

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Maquette

du portail Mathématiques et applications (L1-L2) et de la licence de Mathématiques (L3)

UFR Mathématiques de l’Université de Rennes 1

Ce document donne une description indicative et non contractuelle des trois années de licence de mathématiques de l’Université de Rennes 1 pour la période 2017-2022.

Chaque année le projet de formation pourra évoluer en fonction des effectifs étudiants, des moyens d’encadrement et des nécessités pédagogiques : le volume horaire, les ECTS, le titre, le programme, le semestre de rattachement et l’ouverture d’une UE peuvent ainsi varier d’une année à l’autre.

Table des matières Introduction

I. Schéma du portail Mathématiques et applications (L1, L2) et de la licence de Mathématiques (L3)

II. Présentation des six semestres, du portail MA (L1, L2) à la licence de Mathématiques (L3)

II. Descriptif des principaux cours Les cours de L1

Les cours de L2 Les cours de L3

Les cours issus de l’ancienne maquette Les cours rénovés

Les cours spécifiques du parcours Sciences et professorat des écoles

1 2 3 5 5 25 48 48 58 64

Introduction

Le portail Mathématiques et applications est la voie d’accès à la licence de Mathématiques de l’Université de Rennes 1 en première ou en deuxième année d’études supérieures. Il mène aussi aux licences d’Informatique et de Physique pour celles et ceux qui souhaitent accéder à ces licences en ayant acquis un solide bagage mathématique.

Les enseignements du premier semestre sont communs à tous. Ensuite du 2^e au 3^e semestre seuls les enseignements de mathématiques et de langue restent

communs et chacun pourra privilégier soit l’informatique, soit la physique.

Le 4^e semestre est composé de trois cours de mathématiques et d’un cours de langue communs, d’un cours de mathématiques à choix et d’un cours à choisir entre informatique et physique.

Ce portail compte une voie classique, non sélective et deux voies sélectives, le Défi mathématiques et le Défi mathématiques-physique. Celles et ceux qui sont admis dans ces défis bénéficient chaque semestre de 24 heures d’enseignements

spécifiques.

Les étudiants ont donc une orientation progressive en L1 et en L2. Ceci leur permet de choisir un parcours de manière réfléchie en L3. Ce choix s’opère entre quatre possibilités :

- Parcours Sciences et professorat des écoles (L3) (SciPE)

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I. Schéma du portail Mathématiques et applications (L1, L2) et de la licence de Mathématiques (L3)

Math+Phys+Info

Math+Phys+(Info) Math+Info+(Phys)

Math+Phys Math+Info

L 3 Mathématiques L1

S1

L1 S2

L2 S1

L2 S2

L3

L2 Phys

L3 Phys

L2 Info

L3 Info

SciPE MES GM MR

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II. Présentation des six semestres, du portail MA (L1, L2) à la licence de Mathématiques (L3), et leur coût

L1 du portail Mathématiques et applications (MA) Le S1 (* l'UE défi, de 3 ECTS, est surnuméraire)

Le S2 (* l'UE défi, de 3 ECTS, est surnuméraire)

L2 du portail Mathématiques et applications (MA) Le S3 (* l'UE défi, de 3 ECTS, est surnuméraire)

Le S4 (* l'UE défi, de 3 ECTS, est surnuméraire)

ECTS h UE S1

5 48 Physique et mécanique 1 (22-18-8)

6 50 Informatique 1 (10-20-20)

8 84 Algèbre et géométrie 1 (30-48-6 + 10 FOAD)

8 84 Analyse 1 (30-48-6 + 10 FOAD)

3 16 Mathématiques et culture (15-0-0)

PPPE (1-0-0) ou Lecture scientifique (1-0-0)

0 15 LV1 - UE annuelles (crédit ECTS au S2) (0-15-0)

30 297 Total

3* 24* Mathématiques et modélisation (UE commune aux deux défis)*

6 60 Physique et mécanique 3 (26-26-8) Informatique 3 (20-20-20)

3 24 Outils informatiques B (8-8-8) Physique B (12-12-0)

9 84 Analyse et probabilités 3 (36-48-0 + 10 FOAD)

4 36 Algèbre appliquée (12-12-12 + 10 FOAD)

0 15 LV1 (0-15-0)

30 291 Total

3* 24* Préparation aux concours 2 (défi Maths) ou Phys. Stat. et Méca. Quant. (défi Maths-Phys)*

UE S4

ECTS h Maths-physique Maths-info

6 60/48 Physique et mécanique 4 (26-26-8) Informatique 4 (24-6-18)

5 48 Algèbre 4 (24-24–0 + 10 FOAD)

5 48 Analyse 4 (24-24–0 + 10 FOAD)

5 48-52

6 48 Analyse et proba appliquées (12-12-24 + 10 FOAD)

3 15 LV1 (0-15-0)

1 UE au choix parmi

Didactique (mathématiques pour l'enseignement secondaire) (20-20-12) Compléments maths (génie mathématique) (24-24-0 + 10 FOAD) Compléments maths (mathématiques pour la recherche) (24-24-0 + 10 FOAD)

UE S2

ECTS h Maths-physique Maths-info

6 60/48 Physique et mécanique 2 (26-22-12) Informatique 2 (6-22-20)

3 24 Outils informatiques A (12-0-12) Physique A (10-10-4)

9 84 Analyse et probabilités 2 (30-48-6 + 10 FOAD)

3 15 LV1 (0-15-0)

30 255-267 Total

3* 24* Préparation aux concours 1 (défi Maths) ou De l'Espace à la Terre (défi Maths-Phys)*

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L3 licence domaine sciences technologue santé mention mathématiques

Le S5 (En bleu les mutualisations MES-GM ou SciPE, en rouge celles de GM-MR, et en vert celles internes à SciPE)

Le S6 (En bleu les mutualisations MES-GM ou SciPE, en rouge celles de GM-MR, et en vert celles internes à SciPE) UE S6

ECTS h Génie mathématique

6 48

6 48-60

6 48-66

6 48-72 Épistémologie et histoire des sciences (24-24-0)

3 24 Mathématiques générales ou Mathématiques et multimedia (12-12-0)

3 12 LV1 (0-12-0)

30 ^228-282Total

Sciences et professorat des écoles

Mathématiques pour l’enseignement secondaire

Mathématiques pour la recherche Littérature et grammaire

françaises (24-24-0)

Courbes et surfaces paramétrées

(24-24-0)

Outils informatiques pour le calcul scientifique

(20-20-20) 4 UE au choix parmi Analyse numérique

(24-24-12) Anneaux et arithmétique

(24-24-0) Fonctions holomorphes

(24-24-0)

Fondements des probabilités (36-24-6)

EVN et calcul différentiel (36-36-0) Physique-chimie pour le

professorat des écoles (36-24-0)

Probabilités (24-24-0)

Probabilités et statistique pour l'ingénieur 2 (24-24-0) Mathématiques pour le

professorat des écoles 2

(15-17-0) (3 ECTS) Méthodes numériques en analyse (24-24-0)

2 UE au choix parmi Analyse numérique

(24-24-12) Anneaux et arithmétique

(24-24-0) Fonctions holomorphes

(24-24-0) Mécanique des fluides

(24-24-12) Paléontologie et médiation

scientifique (10-6-8) (3 ECTS)

UE S5

ECTS h Génie mathématique

6 30-78

6 48

6 48-72

6 48-60

0 12 LV1 - UE annuelle (crédit ECTS au S6) (0-12-0)

30 258-306Total

Sciences et professorat des écoles

Mathématiques pour l’enseignement secondaire

Mathématiques pour la recherche Initiation aux métiers de

l’enseignement (16-6-8)

Calcul matriciel (36-36-6)

Algèbre linéaire et bilinéaire (36-36-6)

Calcul différentiel en dimension finie (24-24-0)

Équations différentielles (24-24-0) Sciences et didactique en

physiologie humaine (22-28-10)

Géométrie et isométries (36-36-0)

Probabilités et statistique pour l'ingénieur 1 (24-24-0)

Intégrale de Lebesgue (24-24-0) Mathématiques pour le

professorat des écoles 1 (24-36-0)

Groupes et actions de groupes (24-24-0)

2 UE au choix parmi

Équations différentielles (24-24-0)

Groupes et actions de groupes (24-24-0)

Suites et séries de fonctions (24-24-0)

Mécanique des milieux continus (24-18-6)

Topologie générale (24-24-0) Suites et séries de fonctions

(24-24-0)

Théorie des groupes (24-24-0)

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III. Descriptif des principaux cours

Programmes des cours de L1

S1-UE1 Algèbre et géométrie 1

ECTS CM TD TP Acronyme AG1

8 30 48 6 Volume étudiant 84 h

FOAD 10 h

Portail Mathématiques et applications

Semestre S1

Parcours Tronc commun Composante UFR maths Mutualisation Non

Modules 1

Nombres complexes 8h

Définition de l’ensemble des nombres complexes. Parties réelle et imaginaire. Module. Argument.

Équations du second degré à coefficients complexes. Racines énièmes. Exponentielle complexe et applications à la trigonométrie.

Raisonnement et vocabulaire ensembliste 30h

Méthodologie mathématique: Connecteurs logiques. Calcul propositionnel. Quantificateurs, variables. Démonstration : récurrence, contraposée, absurde.

Bases de la théorie des ensembles : Éléments, parties, intersection, réunion, complémentaire, produit cartésien, applications injectives, surjectives et bijectives.

I ntroduction aux notions d'application , d'image, d'antécédent, d'injection, de surjection, de bijection, de composition, de restriction, de prolongement.

Manipulation des signes sommes, des indices.

Géométrie élémentaire 22h

Vecteurs dans le plan et dans l’espace. Notion de vecteurs colinéaires. Parallélisme.

Produit scalaire et orthogonalité dans le plan et dans l’espace. Théorème de Pythagore. Distance à une droite, à un plan. Produit vectoriel dans R³. Angles non-orientés. Théorème : Somme des angles d’un triangle. Barycentre dans le plan. Définition, associativité. Application à des problèmes d’alignement et de concours. Utilisation des nombres complexes en géométrie plane. Définitions (via les nombres complexes) : similitude, isométrie, translation, rotation, réflexion, symétrie glissée.

Définition des angles orientés. Mesure d’un angle orienté. Équations de droites dans le plan, de droites et de plan dans l’espace : obtention d’une description paramétrique à partir d’équations et inversement. Systèmes linéaires (avec ou sans second membre) ; signification géométrique (intersection de deux plans dans R3. Ecriture matricielle, résolution par la méthode du pivot.

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Relations d'équivalence et relations d’ordre 6h Arithmétique des entiers 18h

Entiers naturels. Entiers relatifs, division euclidienne, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Théorème de Bézout

Nombres premiers. Décomposition en facteurs premiers, critères simples de primalité. Petit théo- rème de Fermat.Congruences. Bases de numération

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S1-UE2 Analyse 1

ECTS CM TD TP Acronyme AN1

FOAD 10 h

Portail Mathématiques et applications Semestre S1

Modules 1

Inégalités dans R 6h

Inégalités larges (relation d’ordre total) et strictes.Valeur absolue. Valeur absolue. Majorant, mino- rant. Maximum, minimum

Fonctions réelles (techniques fondamentales de calcul en analyse) 18h

Fonctions classiques : polynômes (et leur division euclidienne), fractions rationnelles, logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques et trigonométriques hyperboliques.

Composition de fonctions. Continuité et opérations algébriques

Dérivation en un point. Dérivation et opérations avec composition et inverse. Application à l'étude du sens de variation d'une fonction.

Fonctions de 2 ou 3 variables. Définition, composition, dérivées partielles Primitives et intégrales 18h

Quelques primitives classiques. Intégration par partie. Changement de variable..

Linéarité de l'intégration. Lien entre intégrale et primitive. Application à la définition du logarithme et de l’exponentielle.

Suites réelles ou complexes 42h

Présentation de la droite réelle et notion de borne supérieure, définition axiomatique du corps des réels : corps totalement ordonné contenant les rationnels et vérifiant la propriété de la borne supé- rieure. Propriété d'Archimède.

Définition d'une suite ; suites arithmétiques, géométriques, puissances de n. Suites croissantes, dé- croissantes, monotones.

Suites extraites, en particulier les sous-suites des termes pairs et impairs.

Limites de suites (avec les epsilon). Propriétés de stabilité : somme, produit, quotient, composition avec une fonction continue. Si la suite des termes de rang pair et celle des termes de rang impair convergent et ont même limite, la suite converge vers cette limite. Axiome : toute suite croissante et majorée est convergente. Suites adjacentes.

Suites récurrentes définies par l'itération d'une fonction continue f qui est croissante ou décrois- sante. Suites implicites (f(u )=0)

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S1-UE3 Physique et mécanique 1

ECTS CM TD TP Acronyme PM1

FOAD 0 h

Semestre S1

Parcours Tronc commun

Composante UFR SPM et UFR maths Mutualisation Non

Modules 2

Module Nom Horaires

Mutualisation Composante

CM TD TP

1 Mécanique 12 10 0 Non UFR math

1 bis Mécanique 4 Non Section physique

2 Optique 10 8 4 Non Section physique

• Cours Mécanique

- Cinématique : Repérage dans le plan, dans l’espace et repérage temporel. Notions de vitesse et d’accélération. Coordonnées cartésiennes, polaires et cylindriques. Cas de la rotation sur un cercle autour d’un axe fixe.

- Dynamique du point matériel : 3 lois de Newton. Notion de forces. Force du poids. Forces de frot- tement solide et liquide.

- Aspect énergétique : Notion de travail, pour une force constante et une trajectoire rectiligne, puis pour une force quelconque sur une trajectoire quelconque. Notion d’énergie cinétique, théorème de l’énergie cinétique. Force conservative, énergie potentielle. Théorème de l’énergie mécanique Optique

- Optique géométrique : Réflexion et réfraction de la lumière. Lois de Snell-Descartes. Lentilles et miroirs. Formation des images, foyers, Grandissement, grossissement. Vision et instruments optiques. Œil et ses défauts, instruments optiques (microscope, télescope).

- Optique ondulatoire : Célérité, longueur d’onde, double périodicité. Éléments d’optique physique.

Polarisation, photométrie.

• Travaux dirigés Mécanique

- Calcul du vecteur vitesse dans différents systèmes de coordonnées. Cas de la rotation à vitesse an- gulaire constante autour d’un axe fixe.

- Chute libre, portée. Glissement sur un plan incliné. Cas du ressort à une dimension.

- Calcul de travail dans différents cas simples. Cas du poids. Introduction du potentiel. Montagnes russes, conservation de l’énergie mécanique.

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- Tracé de rayons et passage aux interfaces planes. Cas de la réflexion totale. Dioptre sphériques, tracé de rayons sur des lentilles. Associations de lentilles, avec tracé de rayons.

- Calcul de fréquences et de longueurs d’ondes. Puissance lumineuse et nombre de photons.

• Travaux pratiques - Chute libre

- Plan incliné

- Lois de Snell-Descartes

- Lentilles et associations de lentilles

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S1-UE4 Informatique 1

ECTS CM TD TP Acronyme INF1

FOAD 0 h

Semestre S1

Parcours Tronc commun Composante ISTIC

Mutualisation Oui

Modules 1

Prérequis : programme de maths de terminale S Objectifs

• capacités à construire un raisonnement informatique

• maîtrise des structures conditionnelles et itératives, des fonctions et passage de paramètre et des structures de données simples (types construits)

• connaissance des fonctionnalités impératives du langage JAVA

• capacité à utiliser un environnement de développement intégré (Eclipse)tégré.

Programme

A – Introduction à la programmation impérative 1. pseudo langage impératif pour les robots 2. conditionnelle, variable et itérative B – Langage JAVA

1. Types simples, tableaux et variables 2. Conditionnelles

C – Itératives

1. Raisonnement par récurrence 2. Conditions de terminaison

3. Itératives à conditions simples et complexes 4. Autres formes conditionnelles

D – Fonctions et paramètres

1. Structures de programme et fonctions 2. Représentation mémoire

3. Passage par valeur/passage par référence E – Structures de données

1. Types primitifs et types construits

2. Construction et manipulation de structures 3. Structures complexes

Évaluation

2 contrôles continus (CC) en TD / salle TP.

1 CC rendu de TP

Examen final de deux heures en session 1 et session 2 Note finale en session 1 : (CC + T1) / 2

Note finale en session 2 : Max(T2, (CC + T2) / 2 )

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S1-UE5 Culture générale et professionnalisation

ECTS CM TD TP Acronyme CGP

FOAD 10 h

Semestre S1

Modules 3

Cette UE est constituée d'un module obligatoire et d'un module à choix.

Module obligatoire : mathématiques générales (15h CM)

Cet enseignement aborde des aspects à la fois divers et fondamentaux des mathématiques. Il permet de découvrir différentes facettes des mathématiques qui justifient que l'on s'y intéresse. Le choix et le traitement des thèmes abordés, adaptés aux étudiants de L1, sont laissés à l'appréciation de l'enseignant.

Le cours pourra par exemple comprendre une initiation à l’"axiomatique moderne" à partir des axiomes de la Géométrie. Les notions de démonstration logique (sans formalisme), de modèle d'un système d'axiomes, des preuves d'indépendance et de non contradiction pourront aussi être abordés.

La notion de proposition indécidable à partir de plusieurs exemples et les théorèmes d'incomplétude de Gödel (sans démonstration) pourront être introduits. On pourra ainsi ensuite présenter la notion de décidabilité, de machines de Turing, la "thèse de Turing", dont les enjeux pourront être expli- qués.

Un module parmi les deux suivants

Projet Professionnel Personnel de l'Étudiant (1h CM + projet)

Construction d'un bilan personnel, d'un projet, travail en groupe, recherche documentaire.

Recherche dans le monde professionnel, entretiens.

Présentation orale. Rédaction de dossier.

Lecture scientifique (1h CM + projet)

Lecture d'un livre ayant trait aux sciences - Rédaction d'un rapport

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S1-UE6 Langue vivante 1

ECTS CM TD TP Acronyme LV1

FOAD 0 h

Semestre S1

Parcours Tronc commun Composante SCELVA Mutualisation Non

Modules 1

Anglais, allemand ou espagnol

L'enseignement des langues est organisé par le SCELVA. Il est annuel mais compte pour le semestre 2 en L1.

Savoir : objectif B2 du CECRL (cadre européen commun de référence pour les langues)

• acquisition d'un lexique de science généraliste

• perfectionnement des compétences de compréhension orale et compréhension écrite (grâce à l'analyse de documents authentiques)

• entraînement régulier à l'expression orale et l'expression écrite

• préparation au CLES Savoir-faire

• effectuer des recherches documentaires

• réaliser des présentations

• travailler en groupes

• améliorer sa prise de notes

• classer l’information dans l’optique d’une synthèse

• réactiver ses acquis linguistiques pour argumenter ou exprimer une opinion

• développer des compétences d'interactivité (animer des oraux interactifs, participer à des jeux de rôle...)

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S1-UE7 Mathématiques et modélisation

ECTS CM TD TP Acronyme MOD

FOAD 0 h

Semestre S1

Parcours Défi maths et défi maths-physique Composante UFR math

Mutualisation oui

Modules 1

Module Nom Horaires

CM TD TP

1

Mathématique et modélisa-

tion

12 0 12 oui UFR math

Objectifs

L’objectif de cet enseignement est de sensibiliser les étudiants aux outils numériques permettant d'illustrer un phénomène ou un résultat, d'appliquer une approche numérique à des notions abordées dans des cours de mathématiques ou de physiques.

Compétences acquises

L'idée n'est pas d'acquérir une compétence forte en programmation ou en simulation. Il ne s'agit pas non plus d'aborder des concepts mathématiques ou physiques nouveaux. En pratique, on ne s'ap- puiera que sur les notions mathématiques et physiques abordées au lycée et éventuellement au début du S1. L'objectif est surtout que les étudiants aient connaissance, dès l'entrée à l'Université, de la possibilité de mettre en œuvre numériquement les concepts, théorèmes et phénomènes qu'il décou- vriront tout au long de leur formation.

L'outil numérique le plus adapté semble être du type matlab ou scilab. L'étudiant acquerra donc les compétences nécessaires pour effectuer des calculs simple dans l'un de ces langages. Il sera égale- ment sensibilisé à toutes les options possibles à travers les appels à « l'aide en ligne ».

Programme des enseignements :

• Comment poser un problème de manière numérique ? Variables, paramètres, données d'en- trée et de sortie.

• Une initiation à la programmation avec matlab (ou scilab) : fenêtre de commande, script, workspace, sauvegarde. Illustration avec des calculs simples.

• L'analogique et le numérique : discrétisation, échantillonnage, liste et tableau (la notion de matrice n'est pas introduite).

• Représentation graphique : simple, puis superposition de courbes, surface, courbe en trois

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• Faire vivre une simulation : étude paramétrique, choix des variables, boucles « if », « for ».

• Les dangers de la simulation : programmation rapide (test, bac à sable) et finale (structurée et avec commentaires). Compromis entre sensibilité des résultats et temps de calculs.

Quelques exemples qui peuvent servir de support au cours et aux travaux pratiques. Cette liste n'est pas exhaustive et pourra être complétée en fonction de la sensibilité de l'enseignant.

• Étude paramétrique de la chute d'un corps : modéliser le « tir » et le « pointé » à la pétanque.

• Simuler le rebond d'une balle de tennis (effet de l'amortissement, de la vitesse et position initiale).

• Représenter la position des planètes du système solaire (problème supposé plan). Tracer le champ de gravité en tout point (utilisation de l'échelle logarithmique).

• Trajectoire d'une boule de billard, comment simuler ce problème à moindre coût ?

• Comment simuler la propagation d'une onde, en temps ? en espace ? Sous la forme d'un film ?

• Mettre en valeur la différence entre la vitesse d'une particule et d'une onde durant la propagation

• Quelles sont les grandeurs qui gouvernent l'oscillation d'un pendule : formulation d'un pro- blème, choix des paramètres, analyse de sensibilité.

Évaluations

Contrôles continus et TP Pré-requis

Sans

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S2-UE1 Analyse et probabilités 2

ECTS CM TD TP Acronyme AP2

FOAD 10 h

Modules 1

Limites, continuité, dérivabilité 42h

Fonctions réelles : limites, continuité. Dérivabilité. Fonction k fois continûment dérivables et infiniment dérivables.

Caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction en un point.

Propriétés des fonctions continues sur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires. Théo- rème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Image d'un intervalle fermé borné.

Dénombrements 12h Probabilités 12h Espaces probabilisés

Probabilités conditionnelles Variables aléatoires : généralités.

Équations différentielles 18h

Équations différentielles linéaires du premier ordre.

Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre, avec second membre simple

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S2-UE2 Algèbre et géométrie 2

FOAD 10 h

Modules 1

Calcul matriciel 24h

Matrices à coefficients réels et complexes. Addition de matrices, produit de matrices, puissance d'une matrice carrée (quelques calculs simples par récurrence).

Systèmes linéaires de n équations à p inconnues Groupes 12h

Groupes : Premières définitions, théorème de Lagrange, exemples (groupes cycliques, permuta- tions).

Exemples d’a nneaux : Premières définitions, diviseurs de zéro. Exemples : Z, Z/nZ, k[X], Z[i]

Exemples de c orps : Z/pZ, Q, R, C Algèbre linéaire 48h

Espaces vectoriels : définitions, exemples, sous-espaces vectoriels (dont sous-espace vectoriel en- gendré, sous-espaces vectoriels supplémentaires), opérations sur les sous-espaces vectoriels (intersection et somme de sous-espaces vectoriels), produit d'espaces vectoriels.

Applications linéaires : définitions, exemples, composition, inverse, image, noyau. Ensembles L(E,F) et L(F).

Dépendance linéaire : famille libre, famille génératrice, base, dimension d'un espace vectoriel, rang d'une application linéaire.

Dimension finie. Matrice d'une application linéaire (opérations algébriques, transposée). Dimension d'un sous-espace vectoriel. Théorème de la base incomplète, théorème du rang. Caractérisation des applications linéaires injectives, surjectives, bijectives. Image et noyau

Matrices et applications linéaires

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S2-UE3 Physique et mécanique 2

FOAD 0 h

Modules 3

Module Nom Horaires

CM TD TP

1 bis Mécanique 0 Non Section physique

2 Oscillateur

mécanique 6 6 Non UFR math

2 bis Oscillateur

mécanique 4 Non Section physique

3 Électrostatique

- Électricité 10 8 4 Non Section physique

• Cours

Électrostatique-électricité

- Électrostatique : Charges, électrisation, phénomène d’influence. Loi de Coulomb, force électrosta- tique. Champ électrostatique, lignes de champ, potentiel. Mouvements de particules chargées dans un champ uniforme (E et B).

- Électricité: Courant continu. Notion de courant, de tension et de dipôle. Association de dipôles, point de fonctionnement. Résolution des circuits linéaires. Courant alternatif. Diagramme de Fres- nel. Résolution complexe. Association de dipôles.

Mécanique

- Chocs : Notions de Barycentre. Quantité de mouvement. Choc, problème physique. Choc élas- tique. Choc inélastique.

- Moment cinétique : Définition. Théorème du moment cinétique. Mouvement à force centrale. Ex- périence de Rutherford.

- Force en 1/r² : Équations du mouvement. Trajectoires. Lois de Kepler.

Oscillateur Harmonique amorti

- Oscillations libres : Établissement des équations. Résolution. Régime oscillant, critique et apério-

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- Résonance : Résonance en courant. Résonance en position. Variation de phase. Acuité de la réso- nance. Aspect énergétique. Antirésonance.

• Travaux dirigés Mécanique

- Calculs de barycentres. Choc élastique contre une paroi. Choc inélastique. Coefficient de restitu- tion.

- Calcul de moment cinétique et applications du théorème du moment cinétique à des cas simples.

Cas d’un mouvement de rotation uniforme.

- Calcul du paramètre d’impact d’un astéroïde. Mouvement d’un satellite autour de la terre.

Électricité

- Courant continu. Associations de résistances en parallèle et en série. Association de générateur.

Exemples de résolution de circuits avec les différents outils.

- Même chose en courant alternatif.

Oscillateur harmonique amorti

- Calcul de réponse impulsionnelle de l’oscillateur suivant la valeur de l’amortissement.

- Calcul de facteurs de qualité en résonance. Filtres en électricité et en mécanique. Circuit bouchon

• Travaux pratiques - Chocs table soufflante

- Illustration du moment cinétique.

- Montages électrique en continu

- Détermination d’impédance en continu et en alternatif (ponts).

- Oscillateur électrique - Oscillateur Mécanique.

Pré-requis

Module PM1 du S1, module de mathématiques sur les nombres complexes, sur la résolution des équations différentielles.

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S2-UE4 Informatique 2

ECTS CM TD TP Acronyme INF2

FOAD 0 h

Semestre S1

Mutualisation Oui Modules

Prérequis

- avoir suivi une UE de programmation impérative

- avoir déjà utilisé un environnement de développement intégré, comme Eclipse Objectifs

• À l’issue de ce cours, les étudiants auront acquis une première expérience en programmation et algorithmique fonctionnelles.

• Ils sauront construire un modèle de données adapté à un problème simple posé.

• Ils connaîtront des techniques de programmation permettant d’améliorer la concision, la modularité et la robustesse de leurs développements (immutabilité, ordre supérieur, types abstraits).

• Ils auront renforcé leur expérience avec un environnement de développement intégré.

Programme

Le contenu du module est structuré en 5 grands chapitres.

Chaque chapitre comprend un cours, et des séances de mini-projets associés (TP) illustrant les notions importantes. Des séances de renforcement/perfectionnement/tutoriels auront lieu sur papier (TD) et sur machine (TP semi-encadrés).

• Ingrédients de base de la programmation fonctionnelle

• Types énumérés et algébriques : modéliser des données simples

• Récursivité : données et calculs

• Ordre supérieur : abstraction, concision et réutilisation de code

• Types abstraits : modularité et données complexes Évaluation

Durant le semestre, plusieurs notes de Quiz sur le cours (QCM) et une note de TP (TP).

À la fin du semestre 2, un examen final de première session de deux heures (T1).

En session de rattrapage, un examen final de seconde session de deux heures (T2).

Documents interdits pour QCM. Tous documents autorisés pour TP, T1 et T2.

Note de contrôle continu : CC = (QCM+TP)/2 Note finale en session 1 : (CC + T1) / 2 Note finale en session 2 : (CC + T2) / 2

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S2-UE5 Physique A

ECTS CM TD TP Acronyme PMA

FOAD 0 h

Semestre S2

Modules 1

Module Nom Horaires

CM TD TP

1 Oscillateur

mécanique 6 6 0 Non UFR Mathématiques

1bis Oscillateur

électrique 4 4 4 Non Section physique

• Cours

Oscillateur Harmonique amorti

- Quelques rappels d’électricité et de mécanique : Principe fondamental de la dynamique. Lois de l’électricité. Courants alternatifs.

- Oscillations libres : Établissement des équations. Résolution. Régime oscillant, critique et apério- dique. Portrait de phase.

- Oscillations entretenues : Équations. RLC série. Problème mécanique.

- Résonance : Résonance en courant. Résonance en position. Variation de phase. Acuité de la réso- nance. Aspect énergétique. Antirésonance.

• Travaux dirigés Oscillateur Harmonique amorti

- Quelques calculs sur les circuits et sur la mécanique.

- Calcul de réponse impulsionnelle de l’oscillateur suivant la valeur de l’amortissement.

- Calcul de facteurs de qualité en résonnance. Filtres en électricité et en mécanique. Circuit bouchon.

• Travaux pratiques - Oscillateur électrique - Oscillateur mécanique.

Pré-requis

Physique de terminale. Module de mathématiques sur les nombres complexes, sur la résolution des équations différentielles.s

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S2-UE6 Outils informatiques A

ECTS CM TD TP Acronyme OIA

FOAD 0 h

Semestre S2

Mutualisation Non

Modules 1

Objectifs :

• Se familiariser avec les techniques algorithmiques et les outils classiques.

• Apprendre à modéliser des problèmes et à évaluer la complexité algorithmique de leur réso- lution.

Prérequis : avoir suivi l'UE informatique 1 Programme :

Calculs de complexité

• Complexité en moyenne, au pire

• Complexité linéaire, polynomiale, exponentielle Les conteneurs

• Piles, listes, tas, arbres binaires, …

• Opérations d'insertion, de suppression, d'accès Les algorithmes de tri

• Tri par insertion, à bulle, fusion, quick sort, ...

Techniques algorithmiques

• Programmation dynamique

• Recherche de collisions Travaux pratiques

Les travaux pratiques seront structurés autour de la résolution de quelques problèmes issus de la physique et des mathématiques pouvant donner lieu à des prolongements sous forme de projets.

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S2-UE7 Langue vivante 1

FOAD 0 h

Semestre S2

Modules 1

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S2-UE8 De l'Espace à la Terre

ECTS CM TD TP Acronyme E.T.

FOAD 0 h

Semestre S2

Parcours Défi maths-physique Composante UFR SPM

Mutualisation oui

Modules 2

Module Nom Horaires

CM TD TP

1 Astrophysique 18 0 0 Portail PCGS UFR SPM

2 Mécanique cé-

leste 0 6 0 Portail PCGS UFR SPM

Astrophysique

• introduction : de l’infiniment petit à l’infiniment grand, du système solaire à l’Univers loin- tain, du Big Bang à aujourd’hui (le calendrier cosmique)

• l’échelle des distances dans l’univers (méthodes de mesure des distances, précision et rac- cordement).

• la lumière, véhicule de l’information (éléments de spectroscopie, interaction matière-rayon- nement).

• les constituants de l’Univers, leur formation, histoire et évolution (système solaire, étoiles et exoplanètes, galaxies, notions de cosmologie et grands problèmes de l’astrophysique moderne, par exemple le problème de la matière noire, de l’énergie noire).

Introduction à la mécanique céleste

Deux corps massifs en interaction gravitationnelle : lois de Kepler, effet de marée, limite de Roche ; perturbations du mouvement képlérien, application aux mouvements de la Terre.

Pré-requis

Bases de la mécanique

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S2-UE8 Préparation aux concours 1

ECTS CM TD TP Acronyme PC1

3 24 Volume étudiant 24 h

FOAD 0 h

Semestre S2

Parcours Défi Maths Composante UFR maths Mutualisation oui

Modules

Cette UE est une préparation aux oraux et aux écrits des concours (magistères de mathématiques, écoles d'ingénieurs …).

Chaque étudiant est mis trois fois en situation de passage d'un oral de mathématiques. L'ensemble du groupe assiste à tous les oraux pour profiter des critiques et suggestions de l'enseignant.

Les étudiants passent aussi une épreuve de synthèse écrite de 4h qui sera corrigée en classe. Des compléments de cours en lien seront proposés.

Le programme des différentes épreuves est celui des enseignements de mathématiques du ly- cée et du premier semestre.

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Programmes des cours de L2

S3-UE1 Analyse et probabilités 3

ECTS CM TD TP Acronyme AP3

FOAD 10 h

Semestre S3

Modules 1

Intégrales définies 24h

Continuité uniforme. Théorème de Heine.

Fonctions continues par morceaux

Intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment.

Sommes de Riemann

Intégrale fonction de sa borne supérieure Formules de Taylor

Développements limités 12h

Équivalents. Comparaisons locales de fonctions, introduction des O et o.

Développements limités : définition et calculs Exemples de calcul asymptotique.

Intégrales sur un intervalle quelconque 12h Intégrales généralisés sur [a,+∞[, [a,b[

Séries numériques. 21h

Définitions : série, somme partielle, reste.

Séries à termes positifs.

Comparaison séries-intégrales dans le cas monotone Série absolument convergente.

Probabilités 15h

Couple de variables aléatoires, variables aléatoires indépendantes Probabilités discrètes

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S3-UE2 Algèbre et géométrie 3

FOAD 10 h

Semestre S3

Modules 1

Généralités sur les isométries 4h Homothéties et translations 4h

Isométries planes directes et indirectes 8h Similitudes planes directes 8h

classification, éléments caractéristiques ; composition ;

effet sur l’alignement, le barycentre, les angles orientés, les aires, les configuration usuelles ; triangles isométriques et semblables ;

Structures algébriques usuelles 16h Groupes et sous-groupes

Morphismes de groupe. Groupes monogènes et cycliques Ordre d’un élément dans un groupe

Anneau. Idéaux d’un anneau commutatif Polynômes à coefficients dans un corps 14h

Anneau des polynômes à une indéterminée. Divisibilité et division euclidienne Fonctions polynomiales et racines. Dérivation

Arithmétique dans K[X]

Formule d’interpolation de Lagrange Fractions rationnelles 6h

Le corps K[X]. Forme irréductible

Degré, partie entière, zéros et pôles, multiplicités Décomposition en éléments simples sur C et sur R Espaces préhilbertiens réels 12h

Produit scalaire, norme associée Bases orthonormales

Projections orthogonales Groupe orthogonal

Retour sur les isométries vectorielles et les similitudes

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S3-UE5 Algèbre appliquée

ECTS CM TD TP Acronyme ALGAP

FOAD 10 h

Semestre S3

Modules 1

Prérequis : Algèbre – géométrie 1 et Algèbre – géométrie 2 Objectifs

• connaître la notion de coût d’un algorithme à travers les exemples de l’algorithme d’Euclide et de l’exponentiation binaire rapide

• s'initier à la cryptographie et au codage

• maîtriser l’algèbre linéaire de base sur des corps finis à travers l’exemple des codes correcteurs d’erreurs (essentiellement sur F2)

Algorithme d'Euclide

Algorithme d'Euclide, algorithme d'Euclide étendu Application : inverse modulaire ; coût

Exponentiation binaire rapide Exponentiation binaire rapide Cryptosystème RSA, coût

Initiation aux codes correcteurs d'erreur

Codes correcteurs d'erreurs, décodage des codes binaires 1-correcteurs d'erreurs.

Exemple du code de Hamming Introduction aux graphes Graphes, matrice d'adjacence Première notion de valeurs propres

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S3-UE6 Physique et mécanique 3

FOAD 0 h

Semestre S3

Modules 3

Module Nom Horaires

CM TD TP

2 Thermodyna-

mique 8 8 4 Non Section physique

3

Électrostatique - Magnétosta-

titque

6 6 4 Non Section physique

• Cours Thermodynamique

- Gaz Parfait : Fonction d’état. Équation d’état. Coefficients thermo-élastiques.

- Premier principe de la thermodynamique : Travail d’une force de pression. Différentielle totale exacte.

- Second principe de la thermodynamique : Notion d’entropie, second principe, cycles.

Électrostatique

- Électrostatique : Notions de flux. Théorème de Gauss. Forme locale.

- Dipôle électrostatique : Calcul du potentiel, du champ, puis dipôle en interaction.

- Magnétostatique : Circulation de B. Théorème d’Ampère. Forme locale.

Mécanique analytique

- Formulation Newtonienne de la mécanique : Forces conservatives. Équation de Hamilton/

- Principe variationnel : Notion de contrainte. Formulation Lagrangienne

- Formalisme Hamiltonien : Translation. Crochet de Poisson. Transformation canonique.

• Travaux dirigés Thermodynamique

- Utilisation de la loi des gaz parfaits. Exemple de gaz réel.

- Utilisation du premier principe de la thermodynamique.

- Exemples de transformation isotherme, isochore, isobare, transformation adiabatique - Utilisation du second principe de la thermodynamique.

(29)

Électrostatique-magnétostatique

- Exemples de calculs de champs électriques et de potentiel avec le théorème de Gauss. Sphère uni- formément chargée. Plans infinis

- Le dipôle dans un champ électrique externe. Hydratation de la molécule d’eau. Forces de Van der Waals.

- Exemples de calculs de champs magnétiques. Fil infini, solénoide.

Mécanique analytique

- Système à un degré de liberté. Portrait de phase.

- Système à deux degrés de liberté.

- Transformation canoniques-oscillateurs couplés.

- Champs de vecteurs et crochets de Poisson.

• Travaux pratiques

- Lignes de champ du dipôle. Pantographe.

- Circulation de B. Champ créé par une spire.

- Illustration du premier principe de la thermodynamique.

- Étude du cycle de Carnot.

Pré-requis

Modules PM1 du S1, et PM2 du S2. Module de mathématiques sur les fonctions à plusieurs variables sur les dérivées partielles et les intégrales multiples

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S3-UE6 Informatique 3 – Programmation objet

ECTS CM TD TP Acronyme Inf3

FOAD 0 h

Semestre S3

Mutualisation Oui

Modules 1

Objectifs

Ce cours introduit les notions de base de la programmation impérative moderne : la programmation objet et les collections. Ces notions seront illustrées dans le langage Java.

Programme

• Rappels Java

◦ Variables, types, tableaux

◦ Conditions

◦ Boucles

◦ Fonctions, paramètres

▪ Debugger

◦ Récursivité

▪ Fractales

• Fichiers

• Objet

◦ Notion d'objet

◦ Encapsulation

◦ Référence

◦ Visibilité

◦ Polymorphisme

◦ Héritage

• Structures de données

◦ Liste chaînées simples et doubles

◦ Arbres

▪ ABR

◦ Tables de correspondance

• Collections

◦ List, Set, Map

◦ Généricité pour les collections

• Introduction à Java 8 stream

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S3-UE7 Outils informatiques B

ECTS CM TD TP Acronyme OIB

FOAD 0 h

Semestre S3

Parcours Tronc commun Composante UFR Mathématiques Mutualisation Non

Modules 1

Premier pas avec Python

• Les caractéristiques du langage Python

• Les types de base : nombre, chaîne de caractères, liste, ensemble, dictionnaire, tuple

• Les conditions et les boucles

• Listes et fonctions

Introduction à la Programmation Objet

• Limites de la programmation impérative

• Principes de la programmation Objet

Présentation de quelques modules additionnels pour le calcul numérique

• NumPy, destiné à manipuler des matrices ou tableaux multidimensionnels

• SciPy, dédié aux méthodes numériques (intégration, interpolation, fonctions spéciales, transfor- mées de Fourier, optimisation, statistique, ...)

• Matplotlib, destiné à tracer et visualiser des données sous formes de graphiques Travaux pratiques

Les travaux pratiques seront structurés autour de la résolution numérique de quelques problèmes issus de la physique pouvant donner lieu à des prolongements sous forme de projets.

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S3-UE7 Physique B

ECTS CM TD TP Acronyme PMB

FOAD 0 h

Semestre S3

Parcours Tronc commun Composante UFR SPM Mutualisation Non

Modules 1

Module Nom Horaires

CM TD TP

1

Thermodyna- mique et physique statis-

tique

12 12 0 Non Section physique

• Cours Thermodynamique

- Notion d’équilibre d’un gaz : Agitation. Pression. Température.

- Gaz Parfait : Fonction d’état. Équation d’état. Coefficients thermo-élastiques.

- Premier principe de la thermodynamique : Travail d’une force de pression. Différentielle totale exacte.

- Second principe de la thermodynamique : Notion d’entropie, second principe, cycles.

- Approche microscopique : Notion d’irréversibilité. Entropie statistique.

• Travaux dirigés Thermodynamique

- Utilisation de la loi des gaz parfaits. Exemple de gaz réel.

- Utilisation du premier principe de la thermodynamique.

- Exemples de transformation isotherme, isochore, isobare, transformation adiabatique - Utilisation du second principe de la thermodynamique.

- Application aux cycles. Exemple du cycle de Carnot.

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S3-UE8 Langue vivante 1

FOAD 0 h

Semestre S3

Modules 1

(34)

S3-UE9 physique statistique, mécanique quantique

ECTS CM TD TP Acronyme PhS-MQ

FOAD 0 h

Semestre S3

Parcours Défi maths-physique Composante UFR SPM et UFR maths Mutualisation non

Modules 2

Module Nom Horaires

CM TD TP

1 Physique sta-

tistique 6 6 0 non UFR SPM

2 Mécanique

quantique 6 6 0 non UFR SPM

• Cours Physique statistique

- Buts de la physique statistique : Microscopie et macroscopie. Fluctuation autour de l’équilibre.

Comportements collectifs. Description d’un macro-état.

- Système isolé à l’équilibre : Ensemble statistique. Entropie. Ensemble micro-canonique.

- Liens avec la thermodynamique : Systèmes à l’équilibre. Gaz parfaits.

Mécanique quantique

- Dualité onde corpuscule : Fentes d’Young. Amplitude de probabilité.

- Fonction d’onde : Indétermination de Heisenberg. Taille d’un atome.

- Équation de Schrödinger : quantification de l’énergie.

• Travaux dirigés Physique statistique

- Calculs de micro-états simples.

- Calculs d’entropie sur des cas simples.

- Gaz parfaits et gaz réels.

Mécanique quantique

- Fentes d’Young. Interférences.

- Mesure de la position et de la vitesse en même temps ? - Exemple de système simple.

Pré-requis

Modules PM2 du S2, et PM3 du S3. Module de mathématiques sur les fonctions à plusieurs variables, sur les dérivées partielles et sur les mathématiques statistiques

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S3-UE9 Préparation aux concours 2

ECTS CM TD TP Acronyme PC2

3 24 Volume étudiant 24 h

FOAD 0 h

Semestre S3

Parcours Défi maths Composante UFR maths Mutualisation non

Modules 1

Cette UE permet aux étudiants de se préparer aux oraux et aux écrits des concours (magistères de mathématiques, écoles d'ingénieurs …).

Chaque étudiant est mis trois fois en situation de passage d'un oral de mathématiques. L'ensemble du groupe assiste à tous les oraux pour profiter des critiques et suggestions de l'enseignant.

Les étudiants passent aussi une épreuve de synthèse écrite de 4h qui sera corrigée en classe. Des compléments de cours en lien seront proposés.

Le programme des différentes épreuves est celui des enseignements de mathématiques du lycée et de première année.