Algèbre linéaire et bilinéaire (S5) 6 crédits
Horaire : Cours 36h TD 36h TP 6h
1. Réduction des endomorphismes. Théorème de Cayley-Hamilton, diagonalisation, triangulation,polynôme annulateur, décomposition de Dunford-Jordan.
2. Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques, dualité. Rang d'une telle forme, forme non dégénérée. Matrice d'une forme, formule de changement de base, matrices congruentes, orthogonal d'une partie, formule sur la dimension de l'orthogonal. Un espace et son orthogonal, existence d'une base orthogonale.
3. Classification des formes quadratiques sur R, signature. Décomposition d'une forme quadratique en sommes et différences de carrés (algorithme de Gauss).
4. Espaces euclidiens : inégalité de Cauchy-Schwartz. Procédé d'orthonormalisation.
Endomorphisme adjoint.Diagonalisation des endomorphismes symétriques. Réduction des endomorphismes orthogonaux.
5. Espaces hermitiens : endomorphisme adjoint, endomorphisme hermitien.
Diagonalisation des endomorphismes normaux dans une base orthonormale.
6. Caractérisation min-max de Courant-Fischer. Normes matricielles, rayon spectral.
Approximation spectrale, cercles de Gershgorin, théorèmes de perturbation, suites de Sturm, méthodes de puissance, QR et Jacobi, sous-espaces de Krylov.
Analyse Numérique (S6) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h TP 12h
On analyse les principales méthodes pour la résolution des systèmes linéaires et donne des compléments sur l'approximation spectrale. Ces méthodes, largement utilisées par les chercheurs et ingénieurs, soulèvent des problèmes théoriques nécessitant une connaissance solide de l'algèbre matricielle:
- Matrices symétriques et hermitiennes, théorème de Schur, othonormalisation, quotient de Rayleigh
- Normes matricielles, rayon spectral, matrices positives, théorème de Perron-Frobenius.
- Systèmes linéaires carrés: conditionnement, méthodes directes de résolution, transformation de Householder, factorisations, profils, méthode itératives, méthodes variationnelles (gradient, gradient conjugué).
- Systèmes surdéterminés, moindres carrés.
- Compléments en approximation spectrale: méthodes des sous espaces de Krylov.
Application au cas non-linéaire: point fixe, méthode de Newton-Raphson.
- Intégration numérique et compléments sur l'analyse numérique des équations différentielles (méthodes à un pas, multipas, à pas adaptatif).
Anneaux et arithmétique (S6) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h
1. Premières définitions : anneau, morphisme d'anneaux, noyau, image, idéaux, quotient, théorème de factorisation, éléments irréductibles, groupe des éléments inversibles.
2. Exemples d'anneaux et d'idéaux : Z, Z/nZ, A[X], corps, anneaux de fonctions continues, séries formelles.Notion d'algèbre (définition, morphisme). Etude des algèbres k[X]=(P) et des algèbres Z/nZ (endomorphismes de ces algèbres, résolution d'équations dans ces algèbres). Corps finis et applications en cryptographie (codes cycliques, protocoles El Gamal, Die-Helmann).
3. Anneau intègre, corps, diviseur de zéro, idéal premier, idéal maximal (résultat admis : tout idéal strict est contenu dans un idéal maximal). Théorème des restes chinois général.
4. Localisation (propriété universelle et existence). Exemple: corps des fractions d'un anneau intègre.
5. Anneaux euclidiens. Algorithme d'Euclide étendu. (exemples fondamentaux : Z et k[X], les entiers de Gauss, théorème des deux carrés).
6. Anneaux principaux. PGCD et PPCM dans un anneau principal, traduction en termes d'idéaux. Exemples d'anneaux non principaux.
Épistémologie et histoire des sciences (S6) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h
Ce module propose une initiation à l'épistémologie et à l'histoire des sciences. Ouvert aux étudiants de tous les cursus, il propose une réflexion sur les sciences à partir de l'étude de leur histoire.
Il ne suppose pas de connaissances préalables particulières. Il vise principalement à entretenir chez les étudiants scientifiques la pratique de la lecture et de l'écriture, à développer leur capacité d'analyse et de réflexion sur les sciences par l'étude de textes divers et la rédaction d'analyses et de résumés.
La période couverte va essentiellement de l'Antiquité grecque jusqu'au développement de la science moderne (17e siècle). La lecture de textes fondamentaux pour l'histoire des sciences donnera à l'étudiant des repères historiques et les bases pour une réflexion sur les principes et le développement des sciences.
Nous étudierons dans cette perspective diverses représentations de l'univers, les recherches d'un traitement rationnel du mouvement et sa mathématisation, et le statut de ces théories. L'examen des rapports de ces théories à la philosophie, à la physique, aux mathématiques, etc. contribuera à mieux apprécier les enjeux, les exigences et la portée des connaissances scientifiques actuelles.
Parmi les thèmes abordés :
- la physique et la cosmologie d'Aristote et la notion de mouvement local ; - l'Almageste, la description mathématique des mouvements des astres ; - l'univers de Copernic et les trois lois de Kepler ;
- l'astronomie et la physique de Galilée ;
- la physique et la gravitation universelle dans les Principia Mathematica de Newton.
Équations différentielles (S5) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h
1. Introduction aux équations différentielles, le problème à deux corps, équations linéaires scalaires du premier ordre. exemples d'équations non-linéaire s scalaires. Méthode de séparation des variables, équations homogènes, facteurs intégrants, exemples: équations de Riccati, de Bernouilli, de Lagrange-Clairaut.
2. Théorèmes généraux. Théorème de Cauchy-Lipschitz, Lemme de Gronwall, théorème
3. Systèmes et équations linéaires. Coefficients constants, coefficients variables, solutions développables en séries entières.
4. Stabilité. Systèmes linéaires autonomes dans le plan. Méthode de Lyapounov.
Systèmes dynamiques dans le plan.
5 . Champs de vecteur, flot, équations aux dérivées partielles du premier ordre.
6. Méthodes numériques, généralités sur les méthodes à un pas. Consistance, stabilité, convergence Méthode d'Euler et du point milieu. Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.
Espaces vectoriels normés et calcul différentiel (S6) 6 crédits
Horaire: cours 36h TD 36h
1. Espaces vectoriels normés, rappels de topologie des espaces métriques, dual topologique, continuité des formes linéaires, rappel des résultats en dimension finie.
2. Complétude, espaces de Banach, exemples classiques, théorème du point fixe (rappel), série d'opérateurs (éventuellement, existence et unicité du complété)
3. Théorème de Baire et applications (théorèmes de Banach...)
4. Calcul différentiel (dans les Banach), théorèmes des fonctions implicites et d'inversion locale, différentielles d'ordres supérieurs, formules de Taylor, changement de variables dans les intégrales multiples. Extrema et extrema liés.
Fonctions Holomorphes (S6) 6 crédits
Horaire: cours 24h TD 24h
- Fonctions holomorphes, exemples, série entières, logarithme et exponentielle, équations de Cauchy-Riemann, fonctions harmoniques
- Théorème et formule de Cauchy. Applications, fonctions analytiques, principe du Maximum, théorème de l'image ouverte. Théorèmes de Liouville et d'Alembert
- Développement en séries de Laurent, points singuliers, fonctions méromorphes.
- Théorème des résidus, calculs d'intégrales.
Fondements des probabilités (S6) 6 crédits
- Variables aléatoires, lois, fonctions caractéristiques, indépendance.
- Convergence de suites de variables aléatoires : lemme de Borel-Cantelli, convergence presque sûre, convergence en probabilité, convergence dans L^1, convergence en loi.
- Lois faible et forte de grands nombres, Théorème de la limite centrale.
- Vecteurs gaussiens : théorème de Cochran, échantillons gaussiens.
- Lois faibles et fortes des grands nombres. Théorème de la limite central - Vecteurs gaussiens: théorème de Cochran, échantillons gaussiens
Géométrie et isométries (S5) 6 crédits
Horaire: cours 36h TD 36h
L’objectif est de maîtriser les notions standard en géométrie euclidienne et de présenter quelques rudiments de géométrie sphérique et hyperbolique.
Espaces affines euclidiens. Orthogonalité. Théorème de Pythagore.
Intersection de sphères et de plans. Triangles. Isométries. Projections et symétries orthogonales. Groupes des isométries.
Décomposition canonique. Classification en petite dimension.
Groupe des rotations. Angles et mesure d’angles dans le plan. Similitudes.
Géométries sphérique, hyperbolique et leur groupe d'isométries.
Groupes, actions de groupes (S5) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h
Prérequis : vocabulaire de la théorie des ensembles.
Groupes: définitions et exemples:Z,Q,R,C,Q(a), groupes de congruences.
Sous groupes de Z, sous groupes fermés de R, le groupe S¹, k* (k corps) Théorème de Lagrange.
Morphismes, noyau, image. Sous groupes normaux, quotients. Isomorphisme entre le quotient G/Ker et l’image Im.
Sous groupes d'indice 2, exemples.
Groupes cyclique, théorème Chinois.
Groupes finis de petit cardinal.
Conjugaison, rappels d'algèbre linéaire et de géométrie; étude détaillée de groupes linéaires, de groupes d'isométries en petites dimensions.
Groupes diédraux.
Description d'actions classiques, orbites, stabilisateurs, invariants sur des exemples explicites (actions de GL(k) (sur les Matrices, sur les formes quadratiques, action du groupe Aff(R) sur les trinômes du second degré).
Dessiner des objets géométriques en utilisant des actions de groupes :coniques, quadriques, cubique gauche. Lien avec les équations différentielles linéaires. Quaternions.
Intégrale de Lebesgue (S5) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h
1. Théorie de la mesure: algèbres, sigma-algèbres, mesures, mesures extérieures et extension de Lebesgue, classes monotones
2. Intégrale de Lebesgue: fonctions mesurables, convergence en mesure, presque partout, intégrale pour des fonctions étagées, définition et propriétés élémentaires de l'intégrale de Lebesgue, espace L^1 et sa complétude, théorème de Beppo-Levi, lemme de Fatou, théorème de convergence dominée de Lebesgue, critères d'intégrabilité, lien avec l'intégrale de Riemann
3. Théorème de Fubini
4. Théorème de Radon-Nikodym
5. Espaces L^p, inégalités de Holder et Minkowski, intégrales à paramètres, transformation de Fourier dans L^1
6. Convolution, fonctions C^infini et régularisation, partitions de l'unité, théorème de Féjer pour les séries de Fourier
Mathématiques et multimedia (S6) 3 crédits
Horaire : Cours 12h TD 12h
L'objet de ce cours est d'apprendre à utiliser au mieux les différents outils électroniques et informatiques pour la communication mathématique.
Horaire : Cours 12h TD 12h
L'objet de ce cours est d'illustrer les relations entre les différentes théories mathématiques qui auront été abordées pendant les trois années de licence.
Mécanique des fluides (S6) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h TP 12h
Fondements : Rappels de Mécanique classique, différences fluide versus solide, hypothèse de milieu continu, modélisation des efforts, vecteur contrainte, tenseur des contraintes, calcul indiciel et tenseur d'ordre 2. Cinématique : Description lagrangienne et eulérienne d'un écoulement, volume matériel et volume de contrôle, dérivée particulaire, trajectoire, ligne de courant, décomposition du gradient du champ des vitesses et analyse du mouvement relatif. Dynamique : Conservation de la masse, de la quantité de mouvement. Modèle du fluide Newtonien : Loi de comportement, Navier-Stokes, Navier et Euler,conditions aux limites cinématiques sur une paroi et sur une interface entre deux fluides non-miscibles. Mécanique des fluides pour l'ingénieur : Théorème de Bernoulli, d'Euler, conservation des débits. Analyse dimensionnelle et similitude : Observables, quantités physiques et dimension, Théorème de Vaschy-Buckingham.
Mécanique des milieux continus (S5) 6 crédits
Horaire: cours 24h TD 18h TP 6h
L’objectif de cette formation est d’introduire les concepts de base propres à la mécanique des milieux continus sans se restreindre en particulier à la mécanique des fluides ou à l’élasticité.
À l’issue de ce cours, l’étudiant maîtrisera les éléments suivants :
Il maîtrisera parfaitement les notations et le calcul indiciels et les écritures tensorielles.
Il connaîtra le sens et la formulation des opérateurs différentiels : rotationnel, gradient et divergence, en maîtrisant leurs écritures indicielles et intrinsèque (opérateur nabla). Il connaîtra, en particulier, les règles de bases liées à la combinaison de ces opérateurs.
Il connaîtra les limites associées à l’hypothèse de milieu continu.
Il aura une introduction des représentations eulérienne et lagrangienne.
Il saura distinguer correctement les concepts de transformation et déformation, taux de déformation, déplacement. Il maîtrisera en particulier les conséquences de l’hypothèse des petites perturbations pour ces grandeurs d’un point de vue théorique, physique et leur représentations géométriques.
Les formulations énergétiques seront introduites : potentiel élastique, loi de comportement, énergie mécanique.
Il connaîtra les lois de comportement de l’élasticité linéaire isotrope. Il aura été initié aux formulations propres des problèmes viscoélastiques simples et au cas anisotrope.
Outils informatiques pour le calcul scientifique (S6) 6 crédits
Horaire : Cours 20h TD 20h TP 20h
Ce cours s'adresse aux étudiants désireux d'approfondir leurs connaissances en matière d'informatique scientifique et plus particulièrement à ceux qui souhaitent s'inscrire dans un master d'ingénierie où la programmation scientifique joue un rôle important.
Ce cours a pour but de présenter les notions informatiques essentielles liées à la transcription d'un algorithme numérique en une version codée en un langage de programmation. Différentes notions intervenant dans le contexte général du calcul scientifique sont abordées, de manière plus ou moins approfondie en fonction des buts visés et des connaissances préalables de l'auditoire.
- On s'attache notamment à décrire l'articulation entre un langage informatique et un système informatique lorsqu'on se place du point de vue du programmeur d'une application de calcul scientifique, à travers la présentation de différentes notions caractérisées par les mots-clés suivants : architecture d'un ordinateur, système d'exploitation, gestion des ressources et des tâches, système de fichiers, compilation et édition de liens, type d'une information et son codage, zones de mémoire, contrôle de l'exécution du programme, transmission des arguments, allocation de mémoire, entrées-sorties.
- Un chapitre spécial porte sur l'arithmétique des ordinateurs et l'analyse des erreurs liées a l'utilisation des "nombres flottants".
- Des outils couramment employés dans le domaine du génie logiciel sont aussi introduits : debugger, gestionnaire de bibliothèque.
- Quelques éléments d'algorithmique (structures de données) sont évoqués.
Les notions décrites sont illustrées dans le cas du langage C et des travaux pratiques sur ordinateur dans l'environnement Linux sont réalisés. On y met en oeuvre en particulier des algorithmes issus du domaine de l'analyse numérique. Les séances de travaux dirigés sont destinées a préparer les séances de travaux pratiques, en fournissant les principaux éléments utiles du langage C et au besoin des compléments de cours.
Probabilités (S6)
Horaire : Cours 24h TD 24h - Dénombrements
- Espaces probabilisés - Probabilités conditionnelles
- Variables aléatoires : généralités. Variables aléatoires discrètes.
- Variables aléatoires discrètes classiques - Variables aléatoires à densités
- Variables aléatoires à densités classiques - Inégalités classiques
- Loi faible des grand nombres et théorème central limite - Statistiques à une et deux variables
- Estimation de paramètres : intervalles de confiances et de fluctuations
Probabilités et statistique pour l'ingénieur 1 (S5) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h
Tribus, mesure, intégrale de Lebesgue. Espaces de probabilités, espérance mathématique. Variables aléatoires, lois, fonctions caractéristiques. Calculs de lois, changement de variables. Notion d'indépendance. Notions d'espérance conditionnelle et de loi conditionnelle. Vecteurs Gaussiens, théorème de Cochran, lois du Chi-2, de Student et de Fisher. Lemme de Borel-Cantelli, convergence presque sûre, dans Lp, en probabilité, en loi. Théorèmes limites : Loi des grands nombres, théorème-limite central.
Suites et séries de fonctions (S5) 6 crédits ECTS
Horaire : Cours 24h TD 24h
1. Convergence simple et convergence uniforme pour les suites de fonctions réelles de variable réelle. Continuité pour les fonctions complexes de variable complexe, exemples.
Continuité d'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues.
2. Séries de fonctions, convergence normale, convergence simple et semi-convergence.
Séries et primitives, application à la dérivation de séries.
3. Séries entières, rayon de convergence, critères de Hadamard et de Cauchy. Fonctions holomorphes définies comme égales à leur développement en série sur un petit disque.
4. Application des séries à la résolution d'équations différentielles.
5. Séries de Fourier. Cas d'une fonction continûment différentiable. Lien avec les séries entières dans le disque.
Théorie des groupes (S5) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h
Prérequis. Vocabulaire de la théorie des ensembles.
1. Groupes, sous-groupes, théorème de Lagrange, ordre d'un élément. Exemple du groupe diédral.
2. Homomorphismes et isomorphismes de groupes ; propriété universelle du groupe (Z;+).
3. Sous-groupes distingués, groupes quotients, propriété universelle du quotient.
Exemples(Z/nZ). Correspondance entre sous-groupes d'un groupe et d'un de ses quotients.
4. Produits de groupes : groupe produit de sous-groupes. Produits semi-directs.
5. Groupes cycliques : générateurs, sous-groupes, groupe multiplicatif d'un corps fini.
6. Groupe symétrique. Conjugué dune permutation, décomposition en cycles disjoints, signature. Groupe alterné.
7. Actions de groupe : orbites, stabilisateurs, formule des classes, formule de Burnside, exemples (groupe agissant sur lui-même ou sur ses parties par translation, par conjugaison), applications (groupe d'indice p minimal, théorème de Burnisde, sous-groupes finis de SO(3;R), nombre d'orbites).
8. Théorèmes de Cauchy et de Sylow. Applications : classification des groupes d'ordre 12, 30, etc. Groupes définis par générateurs et relations.
9. Groupes abéliens de type fini.
Topologie générale (S5) 6 crédits
Horaire : Cours 24h TD 24h
Distances et espaces métriques. Espaces normés. Topologie d'un espace métrique.
Notion d'espace topologique : ouverts, fermés, voisinages; intérieur, adhérence et frontière d'une partie. Topologie induite, topologie produit, topologie quotient. Notion de limite.
Continuité, applications linéaires continues. Compacité; cas métrisable. Complétion.