Circuit RLC série. Oscillations libres dans un circuit RLC série. 1. Décharge d un condensateur chargé dans une bobine: a. Etude expérimentale:

1. Décharge d’un condensateur chargé dans une bobine:

 On réalise le montage de la figure ci-contre.

- On charge totalement le condensateur en plaçant le commutateur K en position 1.

- On bascule le commutateur K en position 2.

 On visualise la tension u_C(t) aux bornes du condensateur ; à chaque fois on fait varier la résistance totale (

R=r+r’

 Oscillations libres dans un circuit RLC série.

Chapitre 3: Circuit RLC série.

a. Etude expérimentale:

b. Les régimes des oscillations libres dans le circuit RLC en série:

 Régime périodique : Valeur de R ≃ 0

Pour des très faibles valeurs de R , l’amplitude des oscillations reste constante avec le temps, u

^(t) varie selon une fonction périodique. Elle est Caractérisée par la période propre T

.

T

 Régime pseudo-périodique: Valeur de R faible

Pour des faibles valeurs de R, l’amplitude des oscillations décroît progressivement avec le temps,

u

(t) est Caractérisée par la pseudo- période T ^.

T

 Régime apériodique: Valeur de R très grande

pour des valeurs très grande de R , les oscillations

disparaissent , la tension u

(t) tend lentement vers zéro .

lorsqu’on bascule K en position 2 on obtient un circuit RLC série.

L’amplitude de la tension

u

^(t)

Puisque ces oscillations sont obtenues sans qu’on lui fournit une énergie de l’extérieur on dit qu’elles sont libres .

La période propre To dépend de L et de C.

La pseudo période 𝐓 ≅ To le période propre ( R est faible)

la pseudo- période T, est indépendante de R.

 lorsqu’on fait varier la résistance totale du circuit l’amplitude de oscillation varie aussi .

c. Constatations et conclusion:

 la cause de l’ amortissement des oscillations du circuit RLC série,

est l’effet Joule du à la présence de la résistance R

 Lorsque la résistance du circuit RLC série est nulle , on dit que circuit est idéal, on l’appelle circuit LC car on ne peut pas le réalisé

 On considère Le circuit de LC la figure ci-contre:

 On applique la loi d’additivité des tensions on a:

- On a :

- On remplace et on trouve :

2. Etude analytique du circuit idéal LC en cas d’amortissements négligeables (R = 0) :

a. L'équation différentielle de la tension

u

et

2 C

L 2

u LC. d u

 dt

Donc:

𝒖

+ 𝒖

= 𝟎

𝑳𝑪 𝒅

𝒖

①

𝒅𝒕

+ 𝒖

= 𝟎

b. Solution de l’équation différentielle : 𝑳𝑪^{𝒅𝟐𝒖𝑪}

𝒅𝒕^𝟐 + 𝒖_𝑪 = 𝟎

 Mathématiquement la solution s’écrit sous la forme suivante :

C m

0

u (t) U .cos 2 t T

  

   

 

0

2 t T

   

 

 

-π ≤ φ ≤+π

U_m > 0 :Amplitude des oscillations (V)

T₀ : Période propre (s) :Phase à l’instant t (rad.)



 L’expression de la période propre des oscillations To

On reporte la solution dans l’équation différentielle :

On a: _{C m}

0

u (t) U cos 2 t T

  

   

 

C

m

0 0

du (t) 2 2

U sin t

dt T T

 

 

    

 

0

2 2

C

2 m 2

0

d u (t) 4 2

U cos t

T

dt T

 

 

    

  ⁰

2 2

C

2 2 C

d u (t) 4

u (t)

dt T

  

𝐜𝐨𝐬 ( 𝒂𝒙 + 𝒃) ^′ = −𝒂 𝒔𝒊𝒏 𝒂𝒙 + 𝒃 et 𝒔𝒊𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) ^′ = 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒙 + 𝒃 Rappel:

Donc on trouve :

2

C C

2 0

4 1

u (t) u (t) 0 T LC

   

Pour que l'équation aura une solution , il suffit que :

2 2 0

4 1

T LC

 

2 2

T

  4 .LC

T

  2 . LC

    ^{t  RC}

  ^{t L}

R

      

    ^t

^{RC . L}

R

       ^   ^LC   ^{t }  ^LC 

T

  2 LC   ^T

^  ^LC 

    ^T

^{ t T}

: a la dimension du temps en (s)

 Equation de dimension de To:

On sait que: et

Donc: Puisque:





De





 Détermination des constantes U

et ϕ :

Pour déterminer les valeurs de U_m et φ₀ , on exprime les valeurs de u_c(t) à t = 0:

A l’instant t = 0 on a: u

(0) = E et U

=E

Donc: 𝐜𝐨𝐬 𝝋 = 𝟏 d’où 𝝋 = 𝟎 D’où pour:

𝒖

𝟎 = 𝑼

𝒄𝒐𝒔(𝝋)

𝒖

𝒕 = 𝑬 𝒄𝒐𝒔( 𝟐𝝅

𝑻

. 𝒕)

𝑻_𝟎 . 𝒕 + 𝝋)

𝑳𝑪 𝒅

𝒖

𝒅𝒕

+ 𝒖

= 𝟎

c . L’expression de q(t) et i(t) :

On sait que la charge du condensateur :

et on a: q(0) = C U

= Q

donc l’expression de la charge :

d’où l’expression de l’intensité du courant i(t) :

L’intensité maximale du courant est:

𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖_𝒄 𝒕 = U_m 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝝅

𝑻_𝟎 . 𝒕)

𝒒 𝒕 = 𝑪𝒖

(𝒕)

𝒒 𝒕 = Q_m 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝝅

𝑻_𝟎 . 𝒕)

Q

=CU

𝒊 𝒕 = 𝒅𝒒

𝒅𝒕 = −𝑸_𝒎 𝟐𝝅

𝑻_𝟎 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝝅

𝑻_𝟎 . 𝒕)

𝑰

= 𝑸

𝟐𝝅 𝑻

𝒊 𝒕 = −𝑰

𝒔𝒊𝒏( 𝟐𝝅

𝑻

. 𝒕) d’où

𝒊 𝒕 = 𝑰

𝒄𝒐𝒔 ( 𝟐𝝅

𝑻

. 𝒕 + 𝝅

𝟐 )

ou

3. les échanges d’énergie dans un circuit oscillant RLC:

 Dans les chapitres précédents , nous avons vu que le condensateur peut stocker de l’énergie électrique :

 La bobine peut stocker de l’énergie magnétique:



Soit E l’énergie totale du circuit RLC:

𝑬

= 𝟏

𝟐 𝑪𝒖

(𝒕) 𝑬

= 𝟏

𝟐 𝑳𝒊

(𝒕)

𝑬

= 𝑬

+ 𝑬

= 𝟏

𝟐 𝑪𝒖

𝒕 + 𝟏

𝟐 𝑳𝒊

(𝒕)

3.1. Energie totale dans un circuit RLC:



On considère un circuit idéal LC série , à l’aide d’un système d’acquisition on visualise l’évolution de E

, E

et E

en fonction du temps et on obtient le graphe suivant :

 Remarque : La période de l’énergie est: 𝑻

=

 Pour : i =0 ; U

= U

donc E

= E

=

𝟐

𝐂. 𝑼

 Pour : U

=0 ; i = I

donc E

= E

=

𝟐

𝐋. 𝐈

 D’ou : E

= 𝑬

= 𝑬

; E

=

𝟐

𝑪𝑼

=

𝟐

𝑳𝑰

= 𝑪

a . Régime périodique: (circuit LC )

b . Régime pseudo- périodique: (circuit RLC )



Au cours d’une étude expérimentale d’un circuit RLC série où la

résistance R globale du circuit n’est pas nulle, on visualise à l’aide

d’un système informatisé convenable les courbes d’évolution des

énergies E

; E

; E

en fonction du temps et on obtient le graphe

suivant :



Lorsque l’énergie emmagasinée dans le condensateur diminue, l’énergie de la bobine augmente et inversement , donc il y a un

échange d’énergie entre le condensateur et la bobine au cours d’une période 𝑻

=

𝟐

(T la pseudo-période des oscillations amorties).



L’énergie globale 𝑬

diminue à cause de l’existence de la résistance R ( l’effet de Joule).



A cause du phénomène d’amortissement , une partie d’énergie

globale se transforme, par effet joule, en énergie thermique.



L’expression de l’énergie totale à chaque instant est:

Donc :

𝑬_𝑻 = 𝟏

𝟐 𝑪𝒖_𝑪^𝟐 𝒕 + 𝟏

𝟐 𝑳𝒊^𝟐 𝒕 𝒅𝑬_𝑻

𝒅𝒕 = 𝟏

𝟐𝑪𝒅𝒖_𝑪^𝟐

𝒅𝒕 + 𝟏

𝟐𝑳𝒅𝒊^𝟐 𝒅𝒕

𝒅𝑬_𝑻

𝒅𝒕 = 𝑪𝒖_𝑪 𝒅𝒖_𝑪

𝒅𝒕 + 𝑳𝒊 𝒅𝒊 𝒅𝒕 𝒅𝑬_𝑻

𝒅𝒕 = 𝑪𝒖_𝑪 𝒅𝒖_𝑪

𝒅𝒕 + 𝑳𝑪^𝟐 𝒅𝒖_𝑪 𝒅𝒕

𝒅^𝟐𝒖_𝑪 𝒅𝒕^𝟐

𝒅𝑬_𝑻

𝒅𝒕 = 𝑪 𝒅𝒖_𝑪

𝒅𝒕 (𝒖_𝑪 + 𝑳𝑪 𝒅^𝟐𝒖_𝑪 𝒅𝒕^𝟐 )

②

3.2. L’équation différentielle de la tension

𝒖

o On considère le circuit RLC en série suivant : o On applique la loi d’additivité des tension on a:

𝒖

+ 𝒖

+ 𝒖

= 𝟎

On a :

On remplace et on trouve :

On pose R=r + r’ et on trouve :

③

𝒅𝑬

𝒅𝒕 = 𝑪 𝒅𝒖

𝒅𝒕 (𝒖

+ 𝑳𝑪 𝒅

𝒖

𝒅𝒕

) 𝑳𝑪 𝒅

𝒖

𝒅𝒕

+ 𝑹𝑪 𝒅𝒖

𝒅𝒕 + 𝒖

= 𝟎



D’après l’équation différentielle

vérifiée par u

entre les bornes du condensateur et l’équation

:

On trouve :

𝒅𝑬

𝒅𝒕 = 𝑪 𝒅𝒖

𝒅𝒕 −𝑹𝑪 𝒅𝒖

𝒅𝒕 = −𝑹 𝑪 𝒅𝒖

𝒅𝒕

𝟐

= −𝑹𝒊

 Ce qui montre que l’énergie globale du circuit RLC série, diminue

à cause de la résistance R ( l’effet de Joule).

 On réalise le montage électrique suivant :

 À chaque instant , on peut appliquer la loi d’additivité des tensions :

 Les oscillations d’un circuit comportant une bobine et un condensateur sont toujours amorties , car le circuit possède toujours une résistance ( bobine, fils de connexion ) . Il en résulte des pertes d’énergie, par effet Joule, qui doivent être compensées si on veut entretenir les oscillations .

4. Entretien des oscillations amorties:

 Le dispositif de maintenance agit comme un générateur G, donnant une tension proportionnelle à l'intensité du courant:

U

= R

.i

𝒖

+ 𝒖

+ 𝒖

= 𝒖

 Pour R

= R on obtient l’équation différentielle suivante :

 C’est l’équation qui caractérise un oscillateur LC de résistance négligeable.

 Donc le montage étudié nous a permis d’entretenir des oscillations .

𝑳𝑪 𝒅

𝒖

𝒅𝒕

+ 𝒖

= 𝟎