E674- Les prisonniers d’Ithaque 1 Problème proposé par Jean-Marie Breton
Antoine, Bernard, Christian, Daniel, Etienne, Fabrice, Gérard, Hector et Isidore sont prisonniers d 'Ulysse Roi d' Ithaque 1.
Ce dernier les a emprisonnés dans une prison composée de neuf cellules formant un carré de trois sur trois (et pour cause !).
Les prisonniers sont introduits et extraits des cellules par le haut.
Il n'y a pas de communication avec l'extérieur mais chaque cellule est séparée
individuellement de chacune des cellules adjacentes par une grille qui est soit levée soit abaissée selon les règles suivantes :
1. Quand une cellule est vide toutes les grilles de cette cellule la séparant des cellules adjacentes sont levées.
2. Dès qu'une cellule contient un prisonnier toutes les grilles de cette cellule la séparant des cellules adjacentes non vides sont abaissées.
(Une cellule ne peut contenir qu'un seul prisonnier).
La situation de départ est la suivante :
Le Roi dit aux prisonniers :
« Je vais extraire le détenu que vous me désignerez afin de l'interroger (laissant ainsi sa cellule vide), pendant ce temps vous pourrez vous déplacer. Quand je ramènerai votre camarade je le placerai dans la cellule que vous aurez laissée libre.
Si alors la situation est celle ci-dessous :
Je vous libérerai tous. »
Qui doivent désigner les prisonniers pour avoir une chance de recouvrer la liberté ? Combien de choix ont-ils ?
Solution proposée par Paul Voyer Il s'agit d'une variation du jeu de Taquin.
Les configurations gagnantes sont celles où les permutations ont la même parité que la configuration cible.
Remplaçons les noms par des chiffres de 1 (Antoine) à 9 (Isidore).
On compte dans la configuration de départ (le prisonnier-hypothèse en étant retiré) le nombre de cas où un chiffre trouve en aval un chiffre qui lui soit supérieur.
Si ce nombre est pair, le choix est bon, sinon, il y a impossibilité.
Il y a 2 choix gagnants possibles :
Antoine et Hector , tous deux avec 12 "anomalies de permutation", nombre pair.
Gérard a 13 anomalies et tous les autres en ont 11.
Exemple de mouvements possibles pour Antoine :
7 4 9 2 8 1 3 6 5
7 4 9 2 8 3 6 5
7 4 9
2 8
3 6 5
7 9 2 4 8 3 6 5
7 9 2 4 8 3 6 5
7 9 8 2 4 3 6 5
7 9 8
2 4
3 6 5
7 9 8 2 4 3 6 5
9 8 7 2 4 3 6 5
9 8 7 2 4 3 6 5
9 8 7 2 4 3 6 5
9 8 4 7 2 3 6 5
9 8 4
7 2
3 6 5
9 8 4 7 2 3 6 5
8 4 9 7 2 3 6 5
8 4 9 7 2 3 6 5
8 7 4
9 2
3 6 5
8 7 4 9 6 2 3 5
8 7 4 9 6 2 3 5
8 7 4 9 6 3 5 2
8 7 9 6 4 3 5 2
8 7 9 6 4 3 5 2
8 7 9 6 4 3 5 2
9 8 7 6 4 3 5 2
9 8 7
6 4
3 5 2
9 8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1
