D402-Comment recouvrir une table carrée avec des napperons circulaires.
On ne peut pas recouvrir une table carrée de 1 mètre de côté avec trois napperons circulaires de 1 mètre de diamètre chacun.
Soit OPQR le carré de côté 1 avec coordonnées de P (1,0), de Q (1,1) et coordonnées de R (0,1). Les centres C et 1 C des deux premiers cercles (C1) et (C2) qui couvrent de manière 2 optimale le carré ont pour coordonnées respectives (1/4, 3/4) et (3/4, 3/4). Le cercle (C1) coupe OR au point A de coordonnées (0, 15 /2) tandis que le cercle (C2) coupe PQ au point B de coordonnées (1, 3/2). Le troisième cercle de centre C3devrait donc recouvrir le rectangle ABQR de longueur 1 et de largeur (1- 3/2)=0,1339… Seul un cercle dont le diamètre est égal à 1(1 3/2)2 114 3/21,008934.. permet de le faire.
En gardant le même type de recouvrement de la table carrée par les trois napperons
circulaires, on peut déterminer le diamètre minimum de ces napperons afin que la couverture soit complète.
Si R est le rayon commun des trois cercles, l’ordonnée de A est 2 R2 1/16 AR = 1 - 1/16
R
2 2 et on a l’équation R2 1/4(1/2 R2 1/16)2qui exprime le fait que le
troisième cercle de centre C3 contient le rectangle ABQR. Il en résulte 8
/ 65 D et /16 65
R .
D’où la nouvelle configuration :
