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D371. Passons de 2D ` a 3D

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Academic year: 2022

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(1)

D371. Passons de 2D ` a 3D

P est un point de la m´edianeM C. M appartient `a l’axe radical de (AP C) et de (BP C), donc

M A×M E= M B×M F, et comme M A=M B, on aA0N =N B0.

C0 et le milieu deA0B0appartiennent `a la m´ediatrice deAB : les m´edianes de A0B0C0 sont donc concourantes enO.

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(2)

En 3D, on reprend le mˆeme raisonnement en l’adaptant :

- le plan M CD (M milieu de AB) contient le barycentre Gt du t´etra`edre ABCD puisqu’il contient la m´ediane DGt. L’intersection de ce plan et des sph`eres (BCDG) et (CADG) est le cercle commun (DCGt). Par cons´equent M a mˆeme puissance par rapport aux 2 sph`eres : les centres A0 et B0 des sph`eres sont dans 2 plans ´equidistants deM et perpendiculaires `aAB.

Le barycentre deA0B0C0D0est dans le plan ”m´ediateur” de chacune des arˆetes deABCD; c’est donc le centre de la sph`ere circonscrite `aABCD.

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