I10516. Sauts répétés
Vous partez de l’extrémitéO d’un segmentOI de longueur 1, et vous devez vous rendre en un pointX, à moins d’un millionième près, par une suite de sauts dont chacun, à partir du pointP déjà atteint, aboutit (à votre choix) au milieu deP Oou au milieu deP I. Quelle est la plus courte série de sauts qui vous permet de réussir votre marche ?
Application :OX = 2/π.
Solution
Ecrivons en binaire la distance OP = p; le saut suivant, partant de P, aboutit à la distance p/2 ou 1/2 +p/2 selon qu’on choisit le milieu de P O ou le milieu deP I. Cela revient à repousser d’un rang les décimales (binaires) de pen introduisant 0 ou 1 (selon le cas) juste après la virgule.
Pour atteindre le pointX avec la précision du millionième requise, il suffit d’écrire la distanceOX avec le développement en binaire de 19 bits le plus voisin ; l’erreur sera au plus 1/220<1/106. Partant du dernier 1 de ce déve- loppement, on remonte vers la virgule en retenant à chaque bit la direction P O ou la directionP I selon que ce bit est 0 ou 1.
Application : 19 sauts suffisent dans tous les cas, mais comme
2/π = 0,10100010111110011000. . ., une séquence de 17 sauts répond à la question, en les dirigeant successivement versIIOOIIIIIOIOOOIOI.
