A la chaîne et en boucle
Un algorithme nous fournit le tableau despi+1 possibles en fonction de la valeur depi.
1. On étudie avec plus ou moins d’astuce les différentes chaînes possibles (on évite les nombres comme41,53, 113,149,163,173,193et 227qui n’ont aucun successeur : on en place au plus un en fin de chaîne).
La chaîne suivante est acceptable : 37 → 7 → 2 → 5 → 71 → 83 → 59 → 107→ 11 → 3 → 19→43→139→163
Elle comporte quatorze nombres. N’importe quelle sous-séquence de cette chaîne comportant dix termes répond à la question posée.
Après diverses tentatives, je conjecture que cette chaîne est la plus grande envisageable.
Ce problème peut se ramener à la recherche de la plus longue chaîne dans un graphe orienté à 50 sommets possédant un circuit (comme justifié ci-dessous), ce qui est un problème qui dépasse très largement mes compétences.
2. On repère dans notre liste des nombres qui admettent toujours un prédécesseur et un successeur en biffant successivement tous ceux qui ne vont pas remplir ces conditions.
La liste des nombres avec lesquels il est possible de construire un cycle se restreint à neuf nombres :{3; 11; 19; 43; 59; 83; 107; 131; 179}. Le plus grand cycle possible contient au plus neuf nombres.
Un cycle de huit nombres est effectivement possible :
19→131→179→83→59→107→11→3 et3a pour successeur19.
Un cycle de neuf nombres est toutefois possible :
19→131→179→3→43→83→59→107→11 et11a pour successeur19.
