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G151– Surréservation

Un restaurateur avec les 20 couverts de sa salle, une compagnie aérienne avec 200 sièges à bord de ses avions moyen-courrier et le gérant d’un stade contenant 2000 places constatent que 5% en moyenne des personnes qui ont pris des réservations font faux bond le jour venu. Ils délivrent respectivement 21, 210 et 2100 réservations.

Quel est celui des trois qui a la plus forte probabilité de ne pas pouvoir accueillir tous ses clients ?

Solution par Patrick Gordon

Le nombre de défections suit, dans chaque cas, la loi binomiale.

Sur une population de n (= 21, 210 et 2100 respectivement), la probabilité de k défections est

Pour le restaurateur, n = 21 et l'événement "ne pas pouvoir accueillir tous ses clients" se réduit à "k = 0" (pas de défections). Sa probabilité est donc :

p_r = C₂₁⁰ 0,05⁰ 0,95²¹= 0,3405.

Pour la compagnie aérienne, n = 210 et l'événement "ne pas pouvoir accueillir tous ses clients" se compose des 9 éventualités "k = 1 à 9". Sa probabilité peut donc être calculée au moyen d'un tableur. On trouve :

p_a = 0,3925.

Pour le stade, n = 2100 et l'événement "ne pas pouvoir accueillir tous ses clients" se compose des 99 éventualités "k = 1 à 99". On peut là encore calculer la probabilité au moyen d'un tableur. On trouve :

ps = 0,2945.

Mais on peut aussi recourir à l'approximation "normale" de la loi binomiale. Ici, le nombre de défections suit la loi binomiale de moyenne 2100 × 0,05 = 105 et d'écart-type √ (2100 × 0,05 × 0,95) = 9,98. La probabilité de moins de 100 défections, c’est-à-dire une valeur centrée et normée de (99,5 – 105) / 9,98 = – 0,5511 se lit sur les tables de ladite loi normale, où l'on trouve une valeur moins préciseⁱ (notamment parce que l'on peut hésiter, dans le passage du discret au continu, sur la valeur seuil à prendre – nous avons pris 99,5) :

p's =0,2912

Quoi qu'il en soit de la précision, on peut conclure que celui des trois qui a la plus forte probabilité de ne pas pouvoir accueillir tous ses clients est la compagnie aérienne.

L'intérêt de cet exercice est qu'il va à l'encontre de l'intuition selon laquelle cette probabilité serait une fonction monotone de la taille.

i encore que la précision des calculs en EXCEL sur de très grands et très petits nombres ne soit pas garantie non plus