G122 Libérez ma place [*** à la main]
Solution pour n=2
Il est inutile de se lancer dans des calculs probabilistes compliqués….Du bon sens suffit.
Quand Diophante arrive bon dernier pour prendre place, il y a seulement deux possibilités : le siège disponible est soit celui qu’il avait réservé soit celui qui avait été réservé par le premier spectateur.
En effet quand le premier spectateur prend une place au hasard, il y a trois possibilités : - il choisit la place qu’il avait réservée (coïncidence heureuse !). Dans ces cas les 2004
spectateurs qui s’installent après lui prennent normalement les places qu’ils avaient réservées et Diophante trouve lui aussi la place qu’il avait réservée,
- il prend la place de Diophante (coïncidence malheureuse !). Comme précédemment les 2004 spectateurs suivants s’installent normalement aux places qu’ils avaient réservées tandis que Diophante trouve sa place occupée, la place libre étant celle du premier spectateur,
- il prend la place du spectateur n° p distincte des deux précédentes. Jusqu’à l’arrivée du spectateur n° p, tout le monde s’installe normalement. Quand le spectateur n° p
constate que sa place est occupée, il y a à nouveau trois possibilités :
o il choisit la place réservée du premier spectateur. Tout rentre ainsi dans l’ordre et Diophante s’installe à la place qu’il avait réservée,
o il choisit la place réservée par Diophante. Les spectateurs suivants s’installent normalement et Diophante trouve finalement sa place occupée, la place libre étant celle du premier spectateur,
o il choisit la place du spectateur n° q distincte des deux précédentes.
o et ainsi de suite… On vérifie aisément qu’avec le jeu de taquins opéré par les spectateurs n° p, q, r,…. Diophante constatera toujours que la dernière place libre est toujours la sienne ou celle du premier spectateur.
Comme on a fait l’hypothèse que toutes les places étaient « bonnes », il n’y a aucune préférence affichée par l’un quelconque des spectateurs qui choisit sa place au hasard et la place réservée par Diophante a donc une chance sur deux d’être libre. La probabilité demandée vaut donc
2 1.
Si on fait l’hypothèse plus réaliste que les places appartiennent à des catégories variables, par exemple Diophante moins bien placé que le premier spectateur, on peut affirmer que
Diophante a les plus grandes chances de retrouver sa place libre. En effet, lors du jeu de taquins précédemment décrit, la place du premier spectateur a de fortes chances d’être prise par l’un quelconque des spectateurs n° p, q, r,… de préférence à celle de Diophante. La probabilité demandée vaut alors 1ε avec 1ε voisin de 0 !
