Enoncé A1735 (Diophante) Ecriture universelle
Démontrer que tout nombre entier strictement positif peut s’écrire comme la différence de deux entiers strictement positifs qui ont le même nombre de facteurs premiers.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Si n, entier pair, a f facteurs premiers distincts, 2 en fait partie et 2na f facteurs premiers aussi.
Ainsin= 2n−nest une différence répondant à la question.
Sinest un entier impair, c’est la différence de deux entiers de pa- rité contraire. Pour l’obtenir comme différence de deux multiples consécutifs den, celui qui est pair a au moins f+ 1 facteurs pre- miers, car 2 ne fait pas partie des f facteurs de n; l’autre terme de la différence doit aussi avoir plus def facteurs premiers.
Soit p le plus petit nombre premier impair qui n’est pas diviseur den; comme pest premier avecn,pna exactementf+ 1 facteurs premiers. Orp−1 a pour facteurs premiers 2 et des facteurs< p, donc déjà diviseurs de n, par le choix qui a été fait de p. Ainsi (p−1)na f+ 1 facteurs premiers, 2 et ceux de n.
Alorsn=pn−(p−1)nest une différence répondant à la question.
Remarque. Un même entier peut admettre plusieurs de ces écri- tures : par exemple
1 = 3−2 = 5−4 = 8−7 = 9−8 = 17−16 = 32−31, 3 = 5−2 = 7−4 = 8−5 = 11−8 = 15−12 = 19−16.
