D1941 – Une jolie miniature
Solution proposée par Dominique Roux
D₁ et D₂ sont deux droites perpendiculaires sécantes en H. Elles coupent les côtés respectifs de ABC en A₁,B₁ et C₁ pour D₁ et en A₂,B₂ et C₂ pour D₂.
Notons A’, B’ et C’ les milieux des couples (A₁,A₂), (B₁,B₂) et (C₁,C₂). On va prouver que A’, B’ et C’ sont alignés.
Pour cela considérons les cercles (A’) de diamètre [A₁,A₂], (B’) de diamètre [B₁,B₂] et (C’) de diamètre [C₁,C₂] . Ils passent tous par l’orthocentre H de ABC et ils passent
respectivement par les points Ha,Hb et Hcsecondes intersections des hauteurs de ABC avec le cercle circonscrit à ce triangle, car le symétrique de H par rapport à chaque côté de ABC est sur le cercle circonscrit.
Effectuons une inversion de pôle H. Les lettres majuscules sont remplacées par des minuscules (sauf pour H).
Les inverses des côtés de ABC sont trois cercles passant par H, dont les centres qui sont les milieux des diamètres passant par H, sont les points ha,hbet hcinverses des points
Hc
et H ,
Ha b .
Les inverses des cercles (A’), (B’) et (C’) sont des droites passant par ha,hbet hc. Soit p l’intersection de deux d’entre elles, disons (a₁a₂) avec (b₁b₂).
Lorsque d₁ tourne d’un angle orienté θ autour de H, d₂ tourne du même angle et (a₁a₂) tourne de l’angle orienté 2θ . Donc l’angle entre (a₁a₂) et (b₁b₂) est constant, donc p décrit un cercle passant par haet hb.
Dans le cas particulier où d₁ passe par a (ou b), on voit que p est en un de ces points. Donc le lieu de p est le cercle contenant les points a, b, c, ha,hb,hc, inverse de (ABC). De même pour l’intersection de (b₁b₂) avec (c₁c₂). Donc les 3 droites (a₁a₂),(b₁b₂) et (c₁c₂) sont sécantes en p, d’où, par inversion, les cercles (A’), (B’) et (C’) sont sécants en H et P inverse de p.
Il en résulte que les centres des cercles (A’), (B’) et (C’) sont alignés sur la médiatrice de [HP]
– cqfd – et que la projection orthogonale de H sur la droite (A’B’C’), milieu de [HP], décrit le cercle d’Euler Γde ABC. Donc la droite (A’B’C’) enveloppe l’ellipse de foyer H de cercle principal Γ. L’autre foyer est le symétrique de H par rapport au centre de Γ : c’est O, centre de (ABC).