A11144. La guillotine est de retour
Comme dans le probl`eme A10144, on appelle “guillotin´e” d’un nombre entier le nombre obtenu en enlevant le chiffre de gauche et en le r´e´ecrivant `a droite.
– Quel est le plus petit entier ´egal `a 26 fois son guillotin´e ? – Quel est le plus petit entier ´egal `a 27 fois son guillotin´e ? Solution
Si le nombre de d´epart a c chiffres et commence par le chiffre a, il s’´ecrit a·10c−1+b, et son guillotin´e est 10b+a.
S’il est ´egal `a kfois son guillotin´e, cette condition s’´ecrit a·10c−1+b=k(10b+a), ou
(10b+a)(10k−1) =a(10c−1).
Ainsi 10k−1 est le produit d’un diviseurdde a(´eventuellement 1) et d’un diviseurqde 10c−1 ; alorscest multiple de l’ordre multiplicatif de 10 modulo q.
Pourk= 26, 10k−1 = 259 = 7·37, et l’ordre multiplicatif de 10 modulo 37 est 3 car 103−1 = 37·27. Prenant a=d= 7, q = 37 et c= 3, on obtient 10b+a= 27.
Ainsi le plus petit entier ´egal `a 26 fois son guillotin´e est 702 = 26×27.
Pour k= 27, 10k−1 = 269, nombre premier, et l’ordre multiplicatif de 10 modulo 269 est 268. On prend a= 1 pour obtenir le plus petit entier ´egal
`
a 27 fois son guillotin´e. C’est un nombre de 268 chiffres (le guillotin´e n’en a que 266) :
1 003 717 472 118 959 107 806 691 449 814 126 394 052 044 609 665 427 509 293 680 297 397 769 516 728 624 535 315 985 130 111 524 163 568 773 234 200 743 494 423 791 821 561 338 289 962 825 278 810 408 921 933 085 501 858 736 059 479 553 903 345 724 907 063 197 026 022 304 832 713 754 646 840 148 698 884 758 364 312 267 657 992 565 055 762 081 784 386 617.
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