Exercices de cours
Exercice 1 : Résonance d'un circuit (R, L, C) parallèle - Niveau 1/4 On considère le circuit suivant :
1. Donner l'expression complexe de la tension s aux bornes de l'association en parallèle R, L, C.
2. Établir qu'il y a un phénomène de résonance pour la tension s. On précisera la pulsation à laquelle ce phénomène se produit.
3. Donner l'expression du facteur de qualité.
Exercice 2 : Recherche d'un circuit résonant - Niveau 1/4
On dispose d'une inductance L = 40,0mH, d'une résistance R variable entre1,00kV et 100kV et d'une capacité variable entre 10,0nF et 1,00µF. On veut réaliser un circuit résonant à la fréquence f0 = 2,00kHz de gain 1 à cette fréquence. Pour cela, R est en série avec l'association parallèle de Let C. La tension s est prise aux bornes de l'association parallèle.
1. Donner l'expression complexe de la tensions.
2. Déterminer l'expression dew0 qui permette d'avoir un gain de 1. En déduireC. 3. Déterminer l'expression deQ et en déduire la valeur deR.
Exercice 3 : Étude d'une résonance (1) - Niveau 1/4
On considère le circuit ci-dessous alimenté par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. e(t) = E√
2 cos(ωt).
1. Établir l'expression complexe deu en fonction deE, L, R, C etω.
2. Donner le module deuet son argument en fonction deω. Tracer qualitativement les courbes.
Exercices d'application
Exercice 1 : Étude d'un circuit en régime sinusoïdal - Niveau 3/4
1. On considère le dipôle constitué d'une résistance R en parallèle avec une capacité C. Déter- miner la résistance R0 et la capacité C0 qui, en série, ont la même impédance que ce dipôle pour une pulsation ω donnée de la tension appliquée.
2. Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de R/R0 et C/C0 en fonction du rapport ω/ω0 oùω0 = RC1 .
3. On considère désormais le dispositif constitué de l'association en série des dipôles formés d'une résistance R et d'une capacitéC respectivement associées en série et en parallèle. On alimente l'ensemble par une tension sinusoïdalee(t)d'amplitudeE, de pulsationωet de phase initiale nulle. Déterminer le rapport ue oùu(t) désigne la tension aux bornes de l'association en parallèle de R et C. Même question pour v(t) la tension aux bornes de l'association en série deR etC.
4. Exprimer l'amplitude de u.
5. Tracer et justier l'allure du rapport entre l'amplitude de u et celle de e en fonction de la pulsation ω. On donnera toutes les valeurs particulières.
6. Déterminer l'intensité complexe circulant dans le générateur.
Exercice 2 : Reconstitution de l'équation diérentielle en régime quelconque - Niveau 4/4
1.
Pour démarrer : Déterminer le courant parcourant la résistance R. Vous pourrez utiliser ce que vous avez appelé dans votre cours le potentiel d'un point à un noeud, que l'on appelle aussi théorème de Millman. On se place en RSF.
2. Circuit RLC série
On note e la tension aux bornes de la source idéale de tension qui alimente un circuit RLC série, ets la tension aux bornes du condensateur. On pose ω0 = √1
LC et Q= R1 qL
C.
(a) Le régime sinusoïdal forcé étant établi à la pulsation ω, donner la fonction de transfert H= ES,S et E étant les amplitudes complexes des tensions s ete respectivement.
On pourra faire intervenir avec prot la quantité adimensionnelle x= ωω
0.
(b) Montrer que l'expression du quotient ES permet de reconstituer l'équation diérentielle vériée par la tensions, pour un régime d'évolution quelconque du circuit.
3. Association de condensateurs et de résistances en régime libre
Le circuit ci-dessus oscille à une pulsation donnée ω, pulsation imposée au circuit.
(a) En utilisant la valeur du potentiel à un noeud (il sut de faire une loi des noeuds et de passer aux tenions), établir deux relations entre S et E, amplitudes complexes des tensionsset erespectivement. En déduire une équation algébrique d'ordre 2 associée à la tension complexeS.
Exercice 3 : Étude de l'impédance d'entrée d'une cellule d'une ligne à retard - Niveau 3/4
Une ligne à retard est un composant utilisé dans les téléviseurs SECAM comme "mémoire analo- gique". Il est nécessaire à la reproduction de couleurs. Elle doit retarder un signal électrique d'une durée égale à celle du balayage d'une ligne. Dans tout le problÃme, on se place dans l'A.E.Q.S et on suppose le RSF de pulsation ω établi. On considère le dipôle AB suivant constitué d'une bobine et de deux condensateurs identiques :
1. On noteZ1 l'impédance du condensateur, etZ2 l'impédance de la bobine. ExprimerZAB en fonction deZ1 etZ2. En supposant condensateurs et bobines idéaux, en déduire l'expression deZAB en fonction de L, C etω.
2. Montrer queZAB s'annule pour une pulsation ω0 que l'on exprimera en fonction de L etC. 3. Montrer que pour des pulsations ω faibles devant ω0, le dipôle AB est équivalent à un condensateur dont on donnera la capacité. Retrouver ce résultat par une étude qualitative.
4. On souhaite caractériser expérimentalement l'impédanceZAB en fonction deω. Proposer un montage détaillé permettant de caractériser ZAB et expliquer le protocole expérimental des mesures.
La courbe ci-dessous représente l'évolution correspondante de |ZAB| en fonction de la fréquance :
5. Commenter le graphe obtenu en comparant le comportement du dipôle pour quatre limites particulières de la fréquence avec celui prévu par l'expression deZAB obtenue précédemment.
6. Discuter la validité du modèle théorique.
7. Déduire des données la valeur de ω0, Let C. Commenter
Exercice 4 (supplémentaire) : Résonance parallèle - Niveau 2/4
1. Écrire l'impédanceZ d'un circuit composé de l'association en parallèle d'un condensateur de capacité C et d'une bobine d'inductance Len série avec une résistance R.
2. Exprimer Z en fonction deQ= LωR0, ω,ω0, Z0 - impédance du RLC série, C etR. 3. Montrer que pourQ >> 1, on peut écrire Z = R2ZQ02.
4. Quelle est la valeur deZ lorsque la pulsation tend vers ω0? Que conclure ?
