CINEMATIQUE D'UN MOUVEMNT DE ROTATION.

CINEMATIQUE D'UN MOUVEMNT DE ROTATION.

I- BUT :

établir l'équation horaire d'un mouvement circulaire uniformément varié

II- Description du dispositif.

L'appareil est constitué de deux poulies de rayon r1 et r2

solidaires l'une de l'autre et sur lesquelles est fixée une barre comportant des plots situés de part et d'autre de l'axe de rotation et dont les entre-axes sont de 200,300 et 400 mm. Sur ces plots on peut fixer des surcharges cylindriques de masses m (50, 100 et 200 g).

Les poulies sont munies d'une gorge sur laquelle on peut enrouler un fil fin à l'extrémité duquel on peut suspendre une masse M dont la chute entraîne la mise en mouvement de l'ensemble.

L'axe des poulies est fixé à un support et on peut régler la hauteur de chute h de la masse M en déroulant plus ou moins de fil. La hauteur h est mesurée à l'aide d'un mètre ruban.

Le temps de chute t (entre le moment où l'opérateur lâche la masse M et le moment où la masse M touche la surface de la table ou du sol) est mesurée à l'aide d'un chronomètre manuel.

N.B. : Refaire trois fois chaque mesure et faire la moyenne des temps obtenus pour un maximum de précision.

I II- Manipulation 1

On enroule le fil sur la poulie de petit rayon (r1) et on accroche une masse M de 20 g.

Pour cette expérience on ne fixe aucune surcharge sur la barre.

* Déterminer la durée de chute t pour des hauteurs de chute h variant par intervalles de 10 cm de 20 cm à 1 m. La vitesse initiale du système doit être nulle.

Faire un tableau résumant les mesures effectuées

* L'abscisse angulaire α est reliée à la hauteur de chute par la relation

h = r

1

.α

Dans le tableau, ajouter une ligne pour les valeurs de α.

* Tracer la graphe de α en fonction du temps t

* Tracer le graphe de αen fonction du temps t en déduire la valeur de l'accélération angulaire α&& et préciser la nature du mouvement.

* Donner l'équation de α en fonction du temps.

IV- Manipulation 2

Trouver une méthode pour déterminer la valeur de l'accélération angulaire α à partir du temps de chute pour une seule hauteur h (on fera la moyenne de trois mesures). &&

1 2

2a.t On rappelle que l'équation horaire d'un mouvement rectiligne uniformément varié est h =

ETUDE DE LA DYNAMIQUE DE LA ROTATION.

I- But :

vérification de la relation fondamentale de la dynamique pour la rotation et détermination du moment d'inertie d'un solide en rotation.

Le matériel est le même que celui du TP "Cinématique de la rotation", mais la hauteur de chute h est maintenue constante et on fait varier la valeur de la masse M de 20 g à 60 g par intervalle de 10 g.

On ne met aucune surcharge sur la barre.

Compléter le tableau suivant :

Valeur

approchée Valeur exacte

La dernière colonne du tableau devrait être une constante et représente le moment d'inertie du solide.

Comparer les deux dernières colonnes : quelle est l'erreur relative si l'on utilise l'expression approchée au lieu de l'expression exacte pour le calcul de J

Δ

?

* On pourra refaire une série de mesure en enroulant le fil sur la plus grande poulie.

On fera un nouveau tableau et on calculera la valeur du moment d'inertie (on devra retrouver la même valeur que précédemment)

Remarque :

l’expression exacte du moment d’inertie (dernière colonne) est obtenue en tenant compte du fait que la force agissant sur le disque est en fait la tension du fil et non pas le poids de la surcharge M. On peut écrire que T = P – m.a , donc MΔ(Tr

) = JΔ.α&&

CONCLUSION :

Pour les mouvements rectilignes, nous avions établi la relation fondamentale de la dynamique :

F = m.a r r

Pour les mouvements de rotation, nous montrons une relation semblable :

M

_Δ

( ) = J

^Fr Δ

. α &&

Le moment (par rapport à l'axe Δ) de la force appliquée au solide est égal au produit de l'accélération angulaire par le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation.

N.B. : on remarquera que le moment d'inertie JΔ joue le même rôle dans la rotation que la masse pour les mouvement de translation.

M

(kg) t

(s) a=2.h/t

^{2 α&&}

^=a/r

¹

Μ

Δ

(

Fr

)

= r

1

.M.g

J

Δ

=

Μ

_Δ

(

Fr

)/

^α&&

J

Δ

=

1 2 1

M.g.r - M.r α&&

0,02 0,03

…

MOMENT D'INERTIE D'UN SOLIDE I- But :

*déterminer la valeur du moment d'inertie d'un solide en rotation.

* Vérifier le théorème de HUYGHENS

II- Description du matériel.

Le dispositif est identique à celui utilisé pour le TP "ETUDE DE LA DYNAMIQUE DE LA ROTATION". Cette fois on utilisera des surcharges de forme cylindrique et de masses différentes pour modifier le moment d'inertie du système.

III- Manipulation.

La méthode pour déterminer le moment d'inertie sera celle utilisée lors du TP précédent : on mesure le temps de chute de la masse suspendue à l'extrémité du fil enroulé autour du cylindre et qui met tout le système en mouvement. On complètera le tableau suivant :

M (kg)

t (s)

a=2.h/t

²

Μ

_Δ

( )

^Fr

= r

1

.M.g

J

Δ

=

α&&

=a/r

₁

1 2 1

M.g.r - M.r α&&

…

On prendra une seule valeur de masse m choisie judicieusement (le temps de chute ne doit pas être trop court sinon il serait difficile à mesuré avec un chronométrage manuel).

On prendra toujours la même hauteur h (50 cm par exemple)

* Par contre chaque opération sera répétée 5 fois et on calculera la valeur moyenne du moment d'inertie JΔ et on évaluera l'incertitude absolue sur le résultat en appliquant la méthode statistique (q = 0,51 pour 5 mesures et niveau de confiance de 95 %).

On déterminera 5 moments d'inertie différents :

* Le système sans aucune surcharge (JΔ )

* Système + 4 combinaisons les plus différentes possibles de surcharges (varier la valeur de la masse des disques et leur distance à l'axe). Les moments d'inerties seront appelés JΔ1 , JΔ2 , JΔ3 et JΔ4.

N.B. : les surcharges seront toutefois toujours placées symétriquement par rapport à l'axe.

IV- Vérification du théorème de HUYGHENS.

Ce théorème permet de calculer le moment d'inertie d'un système par rapport à un axe Δ' différent de Δ (mais parallèle à Δ) :

J

_Δ'

= J

_Δ

+ M.d

²

M = masse de l'objet en kg

d = distance entre les deux axes en m

Appliquée à la présente situation cette relation s'écrit :

.( ^{2 2})

1 1 1

J J 2 1M R M d

Δ = Δ + 2 + _{1 1}

M1 = masse de la surcharge cylindrique de rayon R1 et située à une distance d1 de l'axe Δ

On comparera les valeurs calculées des moments d'inerties à celles obtenus

expérimentalement.

(N.B. : on tiendra compte des incertitudes de mesure)

ETUDE D'UN MOUVEMENT CIRCULAIRE NON-UNIFORME

I- Description de l'appareil.

Une barre métallique horizontale est accrochée en son milieu à un fil de torsion vertical. La barre est écartée de sa position d'équilibre d'un angle α0, puis abandonnée. Par la suite, la barre est animée d'un mouvement pendulaire dont seul le premier battement est enregistré sur le document ci-joint.

L'intervalle de temps entre deux positions successives est θ = 0,02 s.

II- Préparatifs.

1- Déterminer avec soin le centre O de la trajectoire circulaire. Pour cela, tracer la médiatrice de 3 cordes (par ex.

entre les points (10,16) (14,20) et (18,24).

Quelle est la valeur R du rayon du cercle ? 2- Tracer tous les rayons OMn.

Pour une meilleure précision des tracés, faire pivoter la règle en la maintenant contre la pointe d'un crayon placée exactement au point O.

Tracer la position d'équilibre OA de la barre (bissectrice de l'angle de sommet O et formé par les positions extrêmes de la barre).

3- Mesurer les angles αn correspondant à tous ces rayons OMn.

(αn est l'angle entre OA et OMn). Pour une meilleure précision, placer le rapporteur de façon à ce que le "0" soit sur OA et noter la valeur des différents angles sans déplacer le rapporteur.

Noter la valeur des angles en degrés.

4- Rentrer ces valeurs dans un tableur (Regressi) avec la valeur du temps t qui leur correspond, puis calculer la vitesse angulaire ω en rad.s^-1.(nouvelle variable, dérivée, ω = Δα/Δt)

III- Etude du mouvement.

1- Tracer le graphe de αn en fonction de t.

2- Tracer le graphe de ω en fonction de t.

* Vérifier que ω est maximum pour α = 0. Si ce n'était pas le cas il faudrait faire un changement d'origine et corriger la position du rayon OA.

* Que constate-t-on en comparant les graphes de αn(t) et ω(t) ?

3- Tracer le graphe de l'accélération angulaire α&& en fonction de t. Comparer aux graphes précédents.

4- Proposer une modélisation pour ces graphes.

IV- Vérification du Théorème de l'énergie cinétique

1- Tracer le graphe de ω² en fonction de α².

2- Modéliser le graphe et noter les coefficients proposés.

3- Le Théorème de l'énergie cinétique permet d'établir la relation suivante :

2 n 2 1 2 0 2 1 2 n

1Jω = Cα - Cα

4- Déduire la valeur de C/J à partir des coefficients donnés par la modélisation..

(C est la constante de torsion

V- Représentation d'un vecteur accélération

1- Pour le point M10, calculer la valeur des accélérations normale, tangentielle et totale

2- Représenter les vecteurs correspondants ainsi que le vecteur vitesse linéaire au point M10 sur le document. On précisera les échelles de représentation.

ETUDE D’UN MOUVEMENT PENDULAIRE

I- Manipulation.

Sur une table à air inclinée, on procèdera à l’enregistrement du mouvement d’un mobile retenu par un fil. Le mobile a un mouvement pendulaire dont on n’enregistrera qu’un battement (correspondant à une demi période.

II- Mesures

• Déterminer les abscisses angulaires α de chaque point

• Déterminer les vitesses linéaires v pour chaque point.

• En déduire les valeurs des vitesses angulaires (ω).

• Mesurer l’angle d’inclinaison β de la table à air.

• Déterminer la masse du mobile

III- Exploitation

• Tracer le graphe des abscisses angulaires en fonction du temps

• Tracer le graphe des vitesses angulaires en fonction du temps.

• Déterminer la période des oscillations et vérifier que T = 2 ^L g.sin

π β

• Calculer l’énergie potentielle Ep pour chaque point (on prendra pour référence le point le plus bas de la trajectoire) On rappelle que Ep = m.g.y.sinβ

y

• Calculer l’énergie cinétique pour chaque point

• Calculer l’énergie mécanique Ep + Ec. Vérifier que celle ci est bien constante.

• Pour quatre points calculer les accélérations normales et tangentielles Représenter les vecteurs accélération sur le document.

DETERMINATION de MOMENTS D'INERTIE

Mettre en place le dispositif expérimental comme l'indiquent les figures ci-dessous. En mesurant le temps de chute (d'une hauteur constante) de la surcharge de masse connue, calculer la valeur de l'accélération linéaire de celle-ci, puis en déduire l'accélération angulaire.

* En déduire la valeur du moment d'inertie des différentes pièces proposées.

* Comparer les valeurs expérimentales à celles obtenues par le calcul de la question précédente.

On pourra évaluer les incertitudes sur les résultats(calcul détaillé pour le cas du disque seul, placé horizontalement)