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Academic year: 2022

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Questions

Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 7 (1868), p. 335-336

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1868_2_7__335_1>

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(2)

QUESTIONS.

888. Démontrer, sans admettre aucun postulatum, que l'angle du quadrilatère ayant pour sommets les milieux des distances du centre d'un quadrilatère régu- lier à ses quatre côtés excède les neuf dixièmes d'un

angle droit. (LIOJNNET.)

889. Démontrer que le nombre des solutions entières et positives de l'équation

•* - h X "+* z = N

sous les conditions

z -4- est

suivant que N est pair ou impair. (CH. HERMITE.)

(3)

( 336 )

890. En désignant par X„ le polynôme de Legendre, on propose de démontrer que l'équation de degré 2/2, savoiri

a toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre

— 1 et 4- 1. (CET. HERMITE.)

891. On considère un hyperboloïde à deux nappes et un point de l'hyperbole focale de cette surface; on con- struit les différents cônes ayant pour sommet ce point et pour bases les sections circulaires de Thyperboloïde : trou- ver le lieu formé par les focales de ces cônes.

(LAGUERRE.)

892. Une sphère variable coupe le plan dune conique suivant un cercle fixe; la développable circonscrite à cette sphère et à la conique a trois lignes doubles, outre la conique fixe. Chacune de ces lignes doubles, qui est une conique, décrit, lorsque la sphère varie, une surface du second degré ayant pour focale la conique donnée (*).

(LAGUERRE.)

893. Si Ton coupe un tore, ou plus généralement une cyclide, par une série de sphères ayant pour centre un point fixe donné, toutes les courbes d'intersection ainsi obtenues peuvent être placées sur un même cône du

deuxième degré. (LAGUERRE.)

(*) M. Chasles a démontré que les trois coniques doubles dont il s'agit sont sur trois surfaces homofocales. B.

Références

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