UNIVERSITE DE

UNIVERSITE DE TOULON

FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION

L2LICENCE "ECONOMIE"

EPREUVE DE « MACROECONOMIE » PROFESSEUR PHILIPPE GILLES

PREMIERE SESSION (DECEMBRE 2018) DUREE :1 HEURE 30

Aucun document et aucune calculatrice ne sont autorisés

Répondez aux deux questions suivantes :

1). Après avoir défini le "multiplicateur keynésien", dérivez, par les voies graphique et algébrique, la fonction (IS). Exposez et expliquez les situations de déséquilibres et les sentiers d'ajustement susceptibles de les corriger. (10 points)

2). Après avoir défini la notion de "préférence pour la liquidité", dérivez, par les voies graphique et algébrique, la fonction (LM). Exposez et expliquez les situations de déséquilibres et les sentiers d'ajustement susceptibles de les corriger. (10 points)

UNIVERSITE DE TOULON

FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION

L2LICENCE "ECONOMIE"

EPREUVE DE « MACROECONOMIE 1 » PROFESSEUR PHILIPPE GILLES

SESSION DE JUIN 2019 DUREE :1 HEURE 30

Aucun document et aucune calculatrice ne sont autorisés

Répondez aux deux questions suivantes :

1). Ecrivez et expliquez les fonctions de Demande agrégée (AD) sans Etat puis avec Etat.

Montrez les différences et expliquez les effets expansifs et récessifs en termes de croissance de ces différences. Quelles conclusions peut-on en tirer ? (10 points)

2). Définissez les notions de "préférence pour la liquidité" et du taux d'intérêt comme "prix de renonciation à la liquidité". Sur cette base, dérivez par les voies graphique et algébrique la fonction (LM) et expliquez la signification économique de cette fonction. (10 points)

Université de Toulon

Licence de Sciences économiques - L2 Microéconomie

Contrôle Terminal - Décembre 2018 - F. Aprahamian

I)Soit un consommateur dont les préférences sont représentées par la fonction d’utilité suiv- ante:

U(x₁,x₂)=x₁−1

2x²₂+10x₂ Le bien 1 sera considéré comme numéraire par la suite (p₁=1).

1 - Déterminez les fonctions de demande du consommateur. Déduisez de ces fonctions la contrainte qui assure la positivité des utilités marginales.

2 - Déterminez l’expression de la fonction d’utilité indirecte.

3 - En supposant que le revenuR=100, déterminez la variation équivalente (VE) du revenu que ce consommateur est prêt à accepter pour éviter une augmentation du prix du bien 2 de p₂=2 à p₂=4.

II)Soit deux consommateurs AetB. Une économie comportant deux biens 1 et 2.

Les dotations initiales du consommateurA sont: e^a=(e^a₁,e^a₂)=(2, 8) Les dotations initiales du consommateurBsont: e^b=(e^b₁,e^b₂)=(6, 4)

Les préférences du consommateur Asont représentées par la fonction d’utilité:

U_a(x^a₁,x^a₂)=x^a₁x^a₂

Les préférences du consommateurBsont représentées par la fonction d’utilité:

U_b(x^b₁,x^b₂)=x₁^bx^b₂

4 - Supposons que l’on propose aux deux consommateurs de répartir à égalité l’ensemble des ressources de l’économie. Pensez-vous qu’ils accepteraient ?

5 - Déterminez les fonctions de demande des deux consommateurs.

6 - Déterminez l’équation de la courbe des contrats de cette économie. La répartition à égal- ité des ressources est-elle un optimum de Pareto?

Barème: 3 points par question et 2 points pour la présentation de la copie.

Université de Toulon

Faculté de Sciences économiques et de gestion Année 2018-2019 ; semestre 1 – session 1

Licence 2 - Economie bancaire Nicolas HUCHET

Durée : 1h30 – téléphone et calculatrice strictement interdits

1/ (6 points) Un banquier décide d’accorder de nombreux prêts à taux d’intérêt particulièrement élevé.

- quelle est la conséquence sur le risque de taux (d’intérêt) de la banque ? - quelle est la conséquence sur le risque de crédit de la banque ?

- si l’information arrive dans les média, quelle peut être la conséquence sur le risque de liquidité ?

- si le risque de crédit se concrétise, quelle est la conséquence sur le risque de solvabilité ?

2/ (4 points) Pourquoi la faillite d’une banque est-elle néfaste pour l’économie ? Présentez ensuite le « ratio de fonds propres réglementaire » encore appelé « ratio de solvabilité ».

3/ (6 points) Une Banque centrale décide de mener une politique monétaire accommodante.

- Donnez les trois principaux outils dont elle dispose et indiquez comment elle va les faire évoluer pour mener sa politique accommodante.

- Que doit-elle faire si elle souhaite aller plus loin, c’est-à-dire mener une politique monétaire non conventionnelle ?

- Quelle sera selon vous la conséquence sur l’inflation ? sur la croissance ?

4/ (4 points) Listez trois façons de mobiliser les fonds publics pour le sauvetage d’une banque.

Pour les Etats, quel est l’intérêt du Mécanisme de résolution unique prévu dans le cadre de l’Union bancaire européenne ?

Université de Toulon

Faculté de Sciences économiques et de gestion Année 2018-2019 ; semestre 1 – session 2

Licence 2 - Economie bancaire Nicolas HUCHET

Durée : 1h30 – téléphone et calculatrice strictement interdits

Barème : 4 points par question

1/ Présentez le risque de taux d’intérêt pour une banque et les différents éléments qui compliquent sa gestion.

2/ Présentez le ratio de liquidité bancaire : mode de calcul, intérêt pour la politique monétaire, intérêt pour la stabilité bancaire.

3/ Qu’est-ce que le Mécanisme de Surveillance unique ? L’assurance des dépôts européenne ?

4/ Comment et pourquoi identifier les établissements bancaire et d’assurance qui ont une dimension systémique ?

5/ Présentez la règle de Taylor et les différents outils dont dispose le banquier central pour mener la politique monétaire.

EXAMEN DE DÉMOGRAPHIE Première session 2018-19

A. La Suède : étude de cas

Tableau 1 : Suède, population moyenne en milliers, naissances et décès

Année Population Naissances Décès

1990 8527 123938 95161 1992 8644 122848 94710 1994 8781 112257 91844 1996 8841 95297 94133 1998 8851 89000 93300 2000 8866 87773 94866

Tableau 3 : Suède, décès dans la génération 1991

, '

se Ion l'âqe révolu et l'annee du decès

Année du décès Age au décès Nombre de décès

1992 o 92

1992 1 18

1993 1 17

1993 2 17

1994 2 7

a) A partir des données du tableau 1, calculez pour chaque année, les taux bruts de natalité et de mortalité et l'accroissement naturel en Suède. (1 p)

Tableau 2 : Suède, décès selon la génération et I'~ age revo u au eces e ' I d' ' nregistrés en 1994 Générations Age Décès

1994 o ⁴³⁷

1993 o 62

1993 1 25

1992 1 14

1992 2 13

1991 2 7

Tableau 4 : Suède, effectifs au premier janvier selon l'âge révolu

Année Age Effectifs

1992 o 123353

1993 o ¹²²⁵⁸²

1993 1 124040

1993 2 124819

1994 o 117373

1994 1 122968

1994 2 124505

1995 o ¹¹¹⁹⁸⁴

1995 1 117570

1995 2 123547

b) Portez les tableaux 2, 3 et 4 et les naissances du tableau 1 sur un diagramme de Lexis.(5 p) c) Estimez les décès à O an en 1991 dans la génération 1991, sachant que les naissances

vivantes de l'année 1991 étaient au nombre de 123 737 et en faisant l'hypothèse d'un solde migratoire nul. (1 p)

d) Calculez le taux de mortalité à un an révolu pour l'année 1994; la génération 1991 (2 p) O femmes)

Tableau 5: Suède, taux de fécondité qénérale par âge (pour 100

Ace 1960 1980 1990 1995

15-19 34,5 15,8 14,1 8,6

20-24 128,7 95,6 98,6 66,3

25-29 136,7 124,2 155,6 125,7

30-34 82,6 70,7 110,3 99,1

35-39 38,9 24,9 41,4 40,6

40-44 12,2 4,3 7 7,1

45-l!9 0,8 0,2 0,3 0,2

e) A partir des données du tableau 5, calculez la somme des naissances réduites ou indice synthétique de fécondité pour les années 1960, 1995 ( 1 p)

B. Démographie au sens large

1- Après avoir défini les deux indicateurs de fécondité cités dans le texte ci-dessous (3 points), vous décrirez les principaux arguments et les acteurs de la polémique évoquée par le texte (2 points).

"Il était de notoriété publique que l'INED avait été fondé en 1945 dans une perspective « nataliste ». Calot ne cachait pas son inquiétude devant la baisse de la fécondité amorcée en 1965. Mais il avait été d'une loyauté impeccable envers Simone Veil pendant la bataille de

!'IVG (1974), injurié par l'extrême-droite, et combattant sans relâche les outrances de I 'historien Pierre Chaunu. Il était indigne de le soupçonner de sympathies pour l'extrême- droite, ce que fit Le Bras en mai 1990, accusant Calot de privilégier, dans un but de dramatisation, l'usage de « l'indice conjoncturel de fécondité », alors de 1,8 enfant par femme, au détriment de la «descendance finale», 2,0 enfant par femme. C'était absurde. mais Le Bras avait des appuis dans I' intelligentsia, autour du Nouvel Observateur et des ministres Claude Allègre et Hubert Curien." ML Lévy, Commentaire, Nº 154, Été 2016, p. 439-440 2- Comparez la situation démographique en Chine et en Inde (5 points)

UNIVERSITE DE TOULON-VAR

Examen L2math

Ann´ee Universitaire 2017/2018 - Leopold Dur´ee 2h

Ex1.

1)(6 pts)D´eterminer une primitive de :

f1(x) =x⁴+2x²−x+2,f2(x) =e^4x−1,f3(x) = _2x+1¹ ,f4(x) = ^x+1_x+5;f5(x) =x¹³ et f₆(x) = ln(x−1).

2)(4 pts)D´eterminer:

R3 1

√dx

x−1,^R₁²ln(x−1)dx, ^R₀^+∞xe^−3xdx et^R₁^+∞_2x+1^dx . 3)(6 pts)

3-1)Montrer que les int´egrales suivantes sont divergentes (par exemple par

´

equivalent ou par minoration):

R2 1

ln(x²+1)

x−1 dx, ^R₁^+∞√ xe^xdx.

3-2)Montrer que les int´egrales suivantes convergent(par exemple par majo- ration):

R3 1 √dx

x²−1 et^R₁^+∞

√x x³+1dx.

Ex2.(4 pts)

Soit a et b des r´eels et la suite d´efinie par U0 =a, U1 =b,

∀n∈N:U_n+2 =−2

3U_n+1+1 3U_n.

1)D´eterminer le polynˆome caract´eristique P associ´e `a cette suite.

2)En d´eduire l’expression deU_n en fonction den,a etb.

3)Montrer que cette suite est convergente si et seulement si a= 3b.

NB: on tiendra le plus grand compte de la pr´esentation. Bien s´eparer les questions entre elles. Les documents et les calculatrices sont formellements interdits

1

Examen 2018-2019, session 2 (L2 Math.Appli.) Dur´ee 1h30 -Mr Leopold

Ex1 (8 pts)

D´eterminer les d´eriv´ees de:

f₁(x) =x⁵+ 2x³ −1,f₂(x) = ^x_x−1²⁺¹, f₃(x) = ln(x³+ 1) et f₄(x) =e^x2+x−1 Ex2 (8 pts)

1)D´eterminer une primitive de:

g₁(x) = x³+ 2x+ 1, g₂(x) =√

x+ 1, g₃(x) =e^4x+1 et g₄(x) = _x+2¹ . 2)´Etudier la convergence de : ^R₁^+∞_e^x2x²dx (on pourra ´etudier limx→∞ x²

e^x et d´eduire une majoration de _e^x2x²).

Ex3 (6 pts)

Soit la suite d´efinie par :U₀ = 1, U₁ = 2 et∀n ∈N U_n+2 = 3U_n+1−2U_n 1)D´eterminer le polynˆome caract´eristique associ´e `a cette suite.

2)En d´eduire en fonction de n l’expression de cette suite.

Remarques: 0n tiendra le plus grand compte de la pr´esentation. Les docu- ments et calculatrices sont formellements interdits. Bien s´eparer les questions entre elles.

1

2017

L2 Partiel de statistiques-probabilités - Allegret Audrey (durée 2h)

Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation. L'usage de la calculatrice est autorisé. Le barème est approximatif. Les portables sont strictement interdits.

Exercice 1 4 points

Considérons une variable aléatoire U de loi N(0,1).

2 pts Calculez les probabilités suivantes:

P(U ≤1.91) P(U ≤ −1.91) P(0.5< U ≤1.01)

SoitX ∼N(20,36)déterminezP(X ≤22.4) 1.

1.

2 pts Déterminez les quantiles associés à ces probabilités:

P(U ≤u) = 0.8315 P(U ≤u) = 0.2358

Exercice 2 8 points

1.

2 pts Donnez la dénition d'un estimateur sans biais.

2.

2 pts Donnez la dénition d'un estimateur convergent.

3. On considère la fonction de répartition d'une variable aléatoire X suivante:

F_x(x)=





 1−e⁻

√x

a six >0;a >0

0 sinon

(a)

4 pts On veut estimer le paramètre inconnu aau vu d'un échantillon d'observations x1, x2, ..., xn de la variable aléatoireX. On poseY =√

X avecE(Y) =aet E(Y) =a² L'estimateurAˆn =

Pn i=1

√ X

n est-il sans biais ? (b) Est-il convergent ?

Exercice 3 10 points

On eectue une expérimentation sur un échantillon de 32 individus extraits d'une population âgés de 20 à 30 ans. Pour chacun des 32 individus, le temps de réaction X est mesuré en secondes. Les mesures sont résumés ci-après:

32

X

i=1

xi= 1030

32

X

i=1

x²_i = 54778 1.

5 pts Déterminer l'intervalle de conance pour m_x au niveau de conance 0.99 en justiant les diérentes étapes de construction.

On applique ce même test psychologique à un autre échantillon de 15 individus. Voici les valeurs observées (en secondes): 51 −18 −25 −23 −35 −42 −8 −45 −65 −98 −45 −23 −35 −4 −18

1.

5 pts Donner une estimation sans biais de la moyennemxdu temps de réaction moyen puis de la variance du temps de réactionσ_x².

Peut-on construire un intervalle de conance pour la moyennemx en utilisant la même méthode que celle utilisée dans la question précédente ?

1/1

2019

L2 Partiel de rattrapage de statistiques-probabilités - Allegret Audrey (durée 1h30)

Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation. L'usage de la calculatrice est autorisé. Le barème est approximatif. Les portables sont strictement interdits.

Exercice 1 4 points

Considérons une variable aléatoire U de loi N(0,1).

2 pts Calculez les probabilités suivantes:

P(U ≤1.91) P(U ≤ −1.91) P(0.5< U ≤1.01)

SoitX ∼N(20,36)déterminezP(X ≤22.4) 1.

1.

2 pts Déterminez les quantiles associés à ces probabilités:

P(U ≤u) = 0.8315 P(U ≤u) = 0.2358

Exercice 2 8 points

1.

2 pts Donnez la dénition d'un estimateur sans biais.

2.

2 pts Donnez la dénition d'un estimateur convergent.

3. On considère la fonction de répartition d'une variable aléatoire X suivante:

F_x(x)=





 1−e⁻

√x

a six >0;a >0

0 sinon

(a)

4 pts On veut estimer le paramètre inconnu aau vu d'un échantillon d'observations x1, x2, ..., xn de la variable aléatoireX. On poseY =√

X avecE(Y) =aet E(Y) =a² L'estimateurAˆn =

Pn i=1

√ X

n est-il sans biais ? (b) Est-il convergent ?

Exercice 3 9 points

Actuellement, en moyenne 1% des machines à laver vendues en france ont une panne d'origine électrique au cours de leur première année d'origine électrique au cours de leur première année d'utilisation. On considère dans cet exercice un lot de 550 machines récentes vendues dans la région Bordelaise. Soit X le nombre de machines de ce lot ayant présenté une telle panne dans les 12 mois ayant suivi leur mise en service.

1.

1 pt Quelle est la loi de probabilité suivi par X ? 2.

2,5 pts Calculer:

P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=5), P(X> 1) ? 3.

2 pts Déterminer l'espérance mathématique et la variance deX 4.

3,5 pts Montrer que la loi deX peut être approchée par une loi de poisson dont on déterminera le paramètre.

En utilisant cette approximation, évaluer les probabilités P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=5), P(X> 1) ?

1/1

Université de Toulon

Faculté de Sciences économiques et de Gestion Année 2018-2019 ; Licence 2 ; semestre 2 ; session 2

Macroéconomie 2 Nicolas HUCHET

Téléphone, documents et calculatrice interdits Barème : 4 points par question

QUESTIONS

1/ Présentez les différentes étapes de la libéralisation financière. Ensuite, expliquez la principale conclusion du triangle des incompatibilités de R. Mundell.

2/ Présentez les déterminants du solde commercial, en incluant le taux de change réel.

DEMANDE GLOBALE

Vous disposez des éléments suivants :

Yd = Y – T Revenu disponible, fonction du revenu Y et des recettes d’Etat T C = C0 + cYd Fonction de consommation (0<c<1)

I = I0 – a.r Fonction d’investissement (a>0), fonction du taux d’intérêt r G = G0 Dépenses d’Etat

T = T0 + t.Y Recettes de l’Etat (0<t<1)

M = m1Y – m2er Fonction d’importation (m1, m2 > 0), avec er le taux de change réel X = x1Y* + x2er Fonction d’exportation (x1, x2 > 0), avec Y* le revenu étranger

3/ Présentez l’équation de demande globale, puis développez pour faire apparaitre l’expression de la courbe IS. Représentez-là graphiquement et indiquez ce que représente un point sur cette courbe.

AJUSTEMENT ET POLITIQUE ECONOMIQUE

4/ Dans le plan (Y ; r), représentez une situation d’équilibre interne mais de déficit extérieur. Sachant que le régime de change est flexible et la mobilité des capitaux positive mais imparfaite, représentez sur le même graphique le mécanisme de retour à l’équilibre et commentez.

5/ A partir d’une situation d’équilibre global, représentez graphiquement l’impact d’une politique monétaire expansionniste en régime de change flexible sachant que la mobilité des capitaux est positive mais imparfaite, et commentez.

UNIVERSITE DE TOULON

FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION

L2LICENCE "ECONOMIE"

EPREUVE D'« HISTOIRE DE LA PENSEE ECONOMIQUE » PROFESSEUR PHILIPPE GILLES

PREMIERE SESSION (2019) DUREE :1 HEURE 30

Aucun document et aucune calculatrice ne sont autorisés

Répondez aux deux questions suivantes :

1). Enoncez et expliquez la "Loi des débouchés" de J.-B. Say en insistant sur sa conception de la monnaie. Quelle conclusion majeure en résulte ? Comment Malthus et Sismondi se situent- ils théoriquement par rapport à cette conclusion ? (10 points)

2). Montrez et expliquez l'accumulation du "capital individuel" et celle du "capital social"

chez Marx en insistant sur la distinction entre "plus value" et "profit". Expliquez et démontrez les conditions de la "reproduction simple" et de la "reproduction élargie" du "capital social"

(10 points)

UNIVERSITE DE TOULON

FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION

L2LICENCE "ECONOMIE"

EPREUVE D'« HISTOIRE DE LA PENSEE ECONOMIQUE » PROFESSEUR PHILIPPE GILLES

SESSION DE JUIN 2019 DUREE :1 HEURE 30

Aucun document et aucune calculatrice ne sont autorisés

Répondez aux deux questions suivantes :

1). Exposez et détaillez les analyses de Malthus et de Sismondi. En quoi s'opposent-elles à la

"loi des débouchés" de J.-B. Say ? (10 points)

2). Exposez et détaillez l'analyse de Ricardo en insistant sur "la loi de gravitation des profits"

(10 points)

Licence 2 Economie

Mondialisation et développement

Christophe Van Huffel Session 1 - Examen d’avril 2019

Documents et téléphones portables interdits Durée : 1h30

La présentation et l’orthographe seront notées sur 2 points

Répondez aux deux questions suivantes :

Question 1 (9 points)

La mondialisation est-elle bénéfique pour les pays en développement ?

Question 2 (9 points)

Comment expliquer le développement très rapide de la Chine depuis la fin des années 1970 ?

___

Licence 2 Economie

Mondialisation et développement

Christophe Van Huffel Session 2 - Examen de mai 2019

Documents et téléphones portables interdits Durée : 1h30

La présentation et l’orthographe seront notées sur 2 points

Répondez à la question suivante en structurant votre réponse sous la forme d’une dissertation.

Comment et avec quels résultats la Chine s’est-elle insérée dans la mondialisation ?

___

Examen - Math´ematiques appliqu´ees 4 Dur´ee: 2h00

Les documents et t´el´ephones portablessont interdits. Lescalculatrices non con- nect´ees et non programmables sont autoris´ees. On tiendra compte de la pr´esentation dans la notation. Toute r´eponse doit ˆetre justifi´ee.

Exercice 1. On consid`ere la fonction f :R³ →R³ d´efinie par f(x, y, z) = x−z,2y+z,2x+ 2y+z (1) (0,5pt) Pourquoif est-elle une application lin´eaire?

(2) (0,5pt) Soit Bla base canonique de R³. ´Ecrire explicitement cette base.

(3) (1pt) Donner la matriceM = MatB(f) de f dans la base B.

(4) (1pt) soitC=









 1 0 1



,



 3 2 0



,





−2

−2 2











. Montrer queC est une base deR³. (5) (0,5pt) Donner la matrice de passage Qde la baseB vers la base C.

(6) (1,5pt) Donner la matriceM⁰ = MatC(f) de l’applicationf dans la base C.

Exercice 2. On consid`ere la matrice A=

3 −2 6 −4

(1) (2pt) D´eterminer les valeurs propres de A.

(2) (1pt) Donner un crit`ere qui relie les valeurs propres de A et sa trace. Donner un crit`ere qui relie les valeurs propres deA et le d´eterminant deA. V´erifier ce crit`ere avec les valeurs propres trouv´ees `a la premi`ere question.

(3) (1pt) La matriceAest-elle inversible (justifiez votre r´eponse)?

(4) (1pt) Pourquoi la matriceA est-elle diagonalisable?

(5) (1pt)Soient λ1 < λ2 les deux valeurs propres deA. Montrer qu’un vecteur propre associ´e `aλ₁estu₁ =

1 2

. Montrer qu’un vecteur propre associ´e `aλ₂ estu₂ = 2

3

. (6) (1pt) A l’aide de ce qui pr´ec`ede, donner une matrice P ∈ M_2,2 telle que

−1 0

0 0

=P⁻¹AP

(7) (2pt) CalculerP⁻¹ (expliquer votre calcul). Montrer que Aⁿ= (−1)ⁿ

4 −2 6 −3

. (8) (1pt) On consid`ere deux suites r´ecurrentes (x_n)n∈N et (y_n)n∈N donn´ees par

x_n+1 = 3x_n−2y_n

yn+1 = 6xn−4yn et x₀ = 2 y0= 1 En utilisant les questions pr´ec´edentes, calculer x30 ety30.

Exercice 3. On consid`ere le couple de variables al´eatoires (X, Y) dont la loi conjointe est donn´ee par:

H HH

HH H X

Y 0 1 2

−1 1/12 0 3/12

1 α 2/12 2/12

(1) (0,5pt) D´eterminerα pour que ce tableau donne la loi conjointe de (X, Y).

(2) (1,5pt) Donner les loi marginales deX et de Y. CalculerE(Y).

(3) (1pt) CalculerE(XY).

(4) (1pt) Montrer queX etY ne sont pas des variables al´eatoires ind´ependantes.

(5) (1pt) D´eterminer la loi deY sachant que X=−1. Calculer E(Y |X =−1).

(6) (0,5pt) Que vaut E E(Y|X) .

Examen - Math´ematiques appliqu´ees 4 Dur´ee: 1h30

Les documents et t´el´ephones portablessont interdits. Lescalculatrices non con- nect´ees et non programmables sont autoris´ees. On tiendra compte de la pr´esentation dans la notation. Toute r´eponse doit ˆetre justifi´ee.

Exercice 1. On consid`ere X et Y deux variables al´eatoires r´eelles. La variable al´eatoire X peut prendre les valeurs−1 ou 1 et la variable al´eatoireY peut prendre les valeurs 0 ou 1. L’arbre de probabilit´e pour ces variables al´eatoires est donn´e par

Sur cet arbre, on a donc par exempleP(X =−1) = 5/8 etP_{X=−1}(Y = 0) = 3/5.

(1) (1pt)Ecrire la formule donnant´ P{X=−1}(Y = 0) en fonction deP(X=−1, Y = 0) etP(X =−1) et en d´eduireP(X =−1, Y = 0)

(2) (2pt) Justifiez que le tableau de la loi conjointe de (X, Y) est le suivant:

H HH

H HH X

Y 0 1

−1 3/8 1/4

1 1/4 1/8

(3) (2pt) Donner les loi marginales deX et de Y. Calculer E(X) et E(Y).

(4) (2pt) CalculerE(XY).

(5) (1pt) Montrer queX etY ne sont pas des variables al´eatoires ind´ependantes.

Exercice 3. On consid`ere une application lin´eaire f :R² → R² dont la matrice dans la base canoniqueB=

1

0

,

0

1

est donn´ee par A=

−3 8

2 6

. (1) (1pt) Donnez l’expression def(x, y).

(2) (1,5pt) Montrer que la matrice Aadmet deux valeurs propres distinctesλ₁ < λ₂. (3) (1pt) Est-ce que la matriceAest diagonalisable (justifiez votre r´eponse)?

(4) (1pt) La matriceAest-elle inversible (justifiez votre r´eponse)?

(5) (1,5pt)Calculez un vecteur propre associ´e `aλ1. Calculez un vecteur propre associ´e

` a λ₂.

(6) (1pt) Soit la familleC=

5

4

,

1

1

. Montrer queC est une base.

(7) (2pt) Donnez (sans justifier) la matrice de passageP de la base canonique B vers la base C. Calculez P⁻¹ en d´etaillant votre calcul .

(8) (1pt) Calculez la matriceA⁰ de l’application lin´eairef dans la base C.

(9) (2pt) ExprimezA⁰ en fonction de A,P etP⁻¹. CalculezA²⁰.

  Licence  2  Économie  

Année  universitaire  2018-­‐2019    

EXAMEN  TERMINAL  DE  1

^E

 SESSION   JEUX  &  STRATEGIES  

 

PARTIE  A  -­‐  QUESTIONS  DE  COURS  (10  POINTS)  

1. Expliquez  la  différence  entre  un  jeu  à  information  imparfaite  et  un  jeu  à  information  incomplète.  

2. Soit  le  jeu  suivant,  dans  lequel  a,  b,  c  et  d  désignent  les  gains  ou  pertes  des  joueurs.  

  G   D  

H   (a,  b)   (0,4)  

B   (2,  1)   (c,  d)  

a. À  quelle(s)  condition(s)  la  stratégie  D  domine-­‐t-­‐elle  strictement  la  stratégie  G  ?  Justifiez   votre  réponse.  

b. À  quelle(s)  condition(s)  la  stratégie  H  est  elle  équivalente  à  la  stratégie  B?  Justifiez  votre   réponse.  

c. Indépendamment  des  questions  (a)  et  (b),  à  quelle(s)  condition(s)  le  couple  de  stratégies     (H,  G)  est-­‐il  le  seul  équilibre  de  Nash  du  jeu  ?  Justifiez  votre  réponse  

3. Expliquez  pourquoi  le  jeu  suivant  est  impossible  :  

 

4. Comment  appelle-­‐t-­‐on  le  jeu  suivant  dans  lequel  «  1  »  et  «  2  »  désignent  les  joueurs  et  «  a  »  et  

«  c  »  les  actions  «  arrêter  »  et  «  continuer  »  ?  Quel  paradoxe  met-­‐il  en  évidence  ?  

 

5. Quels  point(s)  commun(s)  et  différence(s)  existe-­‐t-­‐il  entre  un  équilibre  parfait  en  sous-­‐jeux  et  un   équilibre  de  Nash  ?  

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INTERDITS  

 

2 PARTIE  B  –  EXERCICES  (10  points)  

EXERCICE  1  (2  POINTS)  

Déterminez  l’équilibre  de  Nash  du  jeu  à  somme  nulle  suivant  en  justifiant  votre  réponse  

    Joueur  Y  

    G   D  

H   0   1  

Joueur  X  

B   -­‐1   0  

 

EXERCICE  2  (8  POINTS)  

Un  joueur  de  football  va  tirer  un  penalty.  Il  a  deux  stratégies  :  tirer  le  ballon  du  côté  droit  du  but   ou  tirer  du  côté  gauche.  Le  gardien  de  but  n’a  pas  le  temps  de  déterminer  de  quel  côté  va  aller  le   ballon  avant  de  choisir  de  plonger  à  droite,  ou  à  gauche.  Supposons  que  lorsque  le  gardien  devine  où   le  joueur  va  tirer,  il  arrête  chaque  fois  le  ballon.  Le  jeu  est  le  suivant  :  

 

    Joueur  

    Tirer  à  gauche   Tirer  à  droite  

Plonger  à  gauche   1,  0   0,  1  

Gardien  de  but  

Plonger  à  droite   0,  1   1,  0  

1.   Déterminez,  s’il(s)  existe(nt),  l’(les)  équilibre(s)  de  Nash  en  stratégie  pure.  Justifiez  votre  réponse   2.   Considérez  les  stratégies  mixtes  du  gardien  et  du  joueur  (avec  p  la  probabilité  de  jouer  «  plonger  à  

gauche  »  et  q  la  probabilité  de  jouer  «  Tirer  à  gauche  »).  

a. Déterminez  la  fonction  de  meilleure  réponse  du  gardien,  en  suivant  la  procédure  suivante  :  

• Montrez  que  l’espérance  d’utilité  du  gardien  s’écrit  

€

U_G

(

p,q

)

^{=2pq−p−q+1}  

• Donnez   les   conditions   pour   qu’elle   soit   une   fonction   croissante,   constante   ou   décroissante  de  p  

• En  déduire  la  fonction  de  meilleure  réponse  du  gardien  au  joueur  

€

p^* =MR_G

( )

q   b. Déterminez  la  fonction  de  meilleure  réponse  du  joueur,  en  suivant  la  procédure  suivante  :  

• Montrez  que  l’espérance  d’utilité  du  joueur  s’écrit  

€

U_J

(

p,q

)

^=p+q−2pq  

• Donnez   les   conditions   pour   qu’elle   soit   une   fonction   croissante,   constante   ou   décroissante  de  q  

• En  déduire  la  fonction  de  meilleure  réponse  du  joueur  au  gardien  

€

q^* =MR_J

( )

p   c. Représentez  les  fonctions  de  meilleure  réponse  dans  le  plan  (q,  p)  

d. En  déduire  le(s)  équilibre(s)  de  Nash  en  stratégies  mixtes  du  jeu.  Commentez    

Licence 2 Économie

Année universitaire 2018-2019 N° ANONYMAT……….

EXAMEN TERMINAL DE 2

^E

SESSION JEUX & STRATEGIES

Merci de rendre le sujet dans la copie

PARTIE A - QUESTIONS DE COURS (10 POINTS) 1. Expliquez pourquoi le jeu suivant est impossible :

!

A"

B"

B"

a1"

a2"

b1"

b2"

b1"

b2"

b3"

(1,"2)"

(2,"1)"

(,5,"3)"

(3,"3)"

(3,","5)"

2. Soit le jeu suivant, dans lequel a, b, c et d désignent les gains des joueurs.

G D

H (1, 2) (a, b)

B (c, d) (4, 3)

a. À quelle(s) condition(s) la stratégie D domine-t-elle strictement la stratégie G ? Justifiez votre réponse.

b. À quelle(s) condition(s) la stratégie H est elle équivalente à la stratégie B ? Justifiez votre réponse.

c. À quelle(s) condition(s) le couple de stratégies (B, D) est-il le seul équilibre de Nash du jeu ? Justifiez votre réponse

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INTERDITS

2 3. Expliquez pourquoi l’équilibre de Nash d’un jeu à somme nulle est nécessairement un couple de

stratégies prudentes, en veillant à bien définir ce type de stratégie.

4. Deux entreprises sont caractérisées par les fonctions de meilleure réponse suivantes :

Répondez aux questions suivantes en justifiant vos réponses

a. A quel type de concurrence se livrent les entreprises ?

b. Que représentent leurs fonctions de meilleure réponse?

c. Quel est (approximativement) l’équilibre de Nash du jeu ?

PARTIE B – EXERCICES (10 points) EXERCICE 1 (4 POINTS)

Soit le jeu suivant à 3 joueurs A, B et C. Déterminez l’équilibre en sous jeu parfait en expliquant votre raisonnement et en indiquant vos résultats sur l’arbre du jeu.

!

A"

B"

B"

h"

b"

g"

m"

g"

m"

d"

(*9,"0,"4)"

x"

d"

y"

x"

y"

x"

y"

x"

y"

x"

y"

x"

y"

C"

C"

C"

C"

C"

C"

(*3,"*8,"*9)"

(*7,"9,"5)"

(9,"4,"1)"

(1,"6,"*2)"

(6,"5,"10)"

(0,"*10,"7)"

(5,"3,"2)"

(*8,"8,"*7)"

(7,"*10,"0)"

(4,"*2,"*3)"

(*6,"*6,"*8)"

3 EXERCICE 2 (6 POINTS)

Un joueur de football va tirer un penalty. Seul le gardien de but de l’équipe adverse est autorisé à essayer d’arrêter le tir. Le joueur a deux stratégies : tirer le ballon du côté droit du but ou tirer du côté gauche. Le gardien n’a pas le temps de déterminer de quel côté va aller le ballon avant de plonger soit à droite, soit à gauche. Supposons que lorsque le gardien devine où le joueur va tirer, il arrête chaque fois le ballon. Le joueur a une frappe extrêmement précise du côté droit mais n’est pas aussi bon lorsqu’il shoote du côté gauche. S’il shoote à droite et que le gardien plonge à gauche, il marque toujours. Mais s’il shoote à gauche et que le gardien plonge à droite, il ne marque qu’une fois sur deux. Le jeu est donc le suivant :

Joueur

Tirer à gauche Tirer à droite

Gardien de but

Plonger à gauche 1, 0 0, 1

Plonger à droite , 1, 0

1. Déterminez, s’il(s) existe(nt), l’(les) équilibre(s) de Nash en stratégie pure. Justifiez votre réponse.

2. Considérez les stratégies mixtes du gardien et du joueur (avec p la probabilité de jouer « plonger à gauche » et q la probabilité de jouer « Tirer à gauche »).

a. Déterminez la fonction de meilleure réponse du gardien, en suivant la procédure suivante :

• Montrez que l’espérance d’utilité du gardien s’écrit

• Donnez les conditions pour qu’elle soit une fonction croissante, constante ou décroissante de p

• En déduire la fonction de meilleure réponse du gardien au joueur

b. Déterminez la fonction de meilleure réponse du fils, en suivant la procédure suivante :

• Montrez que l’espérance d’utilité du fils s’écrit

• Donnez les conditions pour qu’elle soit une fonction croissante, constante ou décroissante de q

• En déduire la fonction de meilleure réponse du joueur au gardien c. Représentez les fonctions de meilleure réponse dans le plan (q, p)

d. En déduire le(s) équilibre(s) de Nash en stratégies mixtes du jeu. Commentez