Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
École Normale Supérieure -kouba- Alger
Département de Mathématique
ةداهش لينل ةركذم يوناثلا ميلعتلا ذاتسأ
.
0241 0245
1
Qê ®Ë@
éÓY®ÖÏ@
éJËð
@ ÕæëA ®Ó : ÈðB@ É ®Ë@
3 · · · ·· éJÊ A ®JË@ HBXAªÖÏ@ Èñk HAJÓñÔ« 1.1
4 · · · · ¬ñ KñK.AJË ú æªÖß. HA K P@ñJË@ P@Q®J@ 2.1
6 · · · · éÊÒºK ð Q» YK 3.1
éJ AKP ék.YÖ ß : ú GAJË@ É ®Ë@
7 · · · ·· HA JJªË@ éJ»Qk ú ¯ éJ AKQË@ ék.YÒ JË@ JJ.¢ 1.2
10 · · · · éJK.ð
B@ ÕΫ ú ¯ éJ AKQË@ ék.YÒ JË@ 2.2
13 · · · ·· øðYªËAK. éK.AB@ QÔ« ©Ó kermack−M ckendrik h.XñÖ ß Q ®K 3.2
”kermack −M ckendrick”
h.XñÒ JË ÈñÊmÌ'@ éJ K@Ygðð Xñk.ð : IËAJË@ É ®Ë@
16 · · · · YKYj.JÊË éJ¢ mÌ'@ Q « éËXAªÖÏ@ 1.3
17 · · · · ù¢ mÌ'@ h.XñÒ JÊË ÈñÊmÌ'@ Xñk.ð 2.3
20 · · · ·· ù¢ mÌ'@ Q « h.XñÒ JÊË ÈñÊmÌ'@ Xñk.ð 3.3
ÈñÊjÊË úæ.KQ ®JË@ ¼ñÊË@ : ©K.@QË@ É ®Ë@
24 · · · ·· éê ¯AJË@ à P@ñJË@ A® K P@Q®J@ 1.4
26 · · · ·· éJ«ñ ñÖÏ@ à P@ñJË@ A® JË úξË@ H.PA®ÖÏ@ P@Q®JB@ ð ¬ñ KñK.AJË éË@X 2.4
28 · · · · éÊJÓB@ ð ø XYªË@ ÉJÊjJË@ 3.4
éÖßA mÌ'@
0
éÓY®Ó
ð éKQåJ.Ë@ HA«ñÒj.ÖÏ@ ú ¯ @QÓB@ PQºJË H@Q ªJË@ ZAkB@ ÕΫ ¨ðQ ¯ Yg
@ àA¿ @ X@
, @QÓ
B@ H.AJ.
@ Ñê ¯ úÍ@ Q AÒ» , AêË éJ..ÖÏ@ ÉÓ@ñªË@ ð H@Q ªJË@ è Yë H@XYm× á« Ij.K . Aî DÓ éKA¯ñË@ Q£ ð Aêk.C« ám' ð HAKQ¢ ®Ë@ , HAðQ ®Ë@ , AKQJºJ.ËA¿ éKQêj.ÖÏ@ ÐAk.
B@ ÈA®J K@ á« l.'A K QÓ ñë ø YªÖÏ@ QÖÏ@
... HAJÊJ ®¢Ë@ , , ÉË@ QÓ : éÊJÓ
B@ K. È YJ AK.ðAm.' Q»B@ ð @PA K@ Q»
B@ éKYªÖÏ@ @QÓ
B@ áK. áÓ ... HAª® JÖÏA ùÔg , @YJË@
Aî D« éK.Ag.B@ ©J¢ ? ÕΪË@ @ YîE. HAJ AKQË@ é¯C« ù ëAÓ : ñë é ® K hQ¢ ø YË@ È@ñË@ ð : úGBA¿
(... HA ¯ñË@ XY« éJ. , ZA ® ÊË Ð PB@ I¯ñË@ , úæ QÖÏ@ XY« , ZAK.ñË@) HAJ¢ªÖÏ@ ©JÒj.JK.
@YJ. K . ÐA¯P
B@ øQ k
@ èPAJ.ªK.
ɾ Ó úÍ@ ù®J®k ÕËA« áÓ H@ áªÓ ɾ Ó ÉKñm' é ¯QªÖÏ IK.@ñJË@ éKAë ék. YÒ JK. ½Ë X ð ... ÉÒªË@ Õç' ZI. JË@ ð Ñê ®ËAK. iÒ AÓ @ Yë é JJªË@ ÉJÊm' ð Ég úÍ@ É®J J K AëYªK. ð , úæ AKP B éKPðQå éJ AKQË@ ék. YÒ JË@ ù®J.K AêÊg.@ áÓ èYKYg. É¿A Ó AJËAg ½Ë Y» hQ¢ iJ®ÊJË@
JJºK èPðQå ú ¯ IjJ.ÊË © ¯YK @QÓ
CË l .×Q.ÖÏ@ ZA ®J kB@ : ÈAJÖÏ@ ÉJ. úΫ ð , Aî D« ú æ ªJ
éÓAªË@ éjË@ ú ¯ È@ñË@ É@ A @ ñë iJ®ÊJË@ é«A JÖÏ ©KQåË@ A ® m 'B@ , é ¯A®K@ ð@ iJ®ÊJË@
. ék. YÒ JËAK. éJ@PX A J JºÖß ø YË@
XY« ñë ÉÒªJÖÏ@ ÉJÊjJË@) R0 ZAK.ñË@ pA J@ éJ. Ðñê ®Öß. AîD «AJ Õç' éJ K@YgñË@ éKQ ¢ . é JJªÓ éJ KA¾ é«ñÒm.× ú ¯ àñºK ð( éK.AÓ èYJkð éËAg ¬Q£ áÓ èQå AJ.Ó éK.AÖÏ@ HBAmÌ'@
ºªË@ ð ZAK.ñË@ Pñê £
@YJ.K 1 áÓ Q.»
@ R0 àñºK AÓY J« é K
@ @ðQê £
@ àñJ AKQË@ ð YmÌ'@
È@ð ¼AÓPA¿) é@PYË@ è YêË é® ¯@ñÖÏ@ X@ñÖÏ@ ú ¯ ð , 1 øðA ð
@ Q ª
@ R0 àñºK AÓY J« iJm
h. XñÒ JË@ (SIR) h. XñÒ JË@ ÕæJK. ÐñJË@ ¬ðQªÓ ñë AÓ ñª ð àñ ®ËñÖÏ@ ( 1927 1932 1933
(EDO) é£A. Q»
B@ éʾ ú ¯ úæ A
B@
: éJËAJË@ éËXAªÖÏ@ ÐA ¢ ¯@ñK h. XñÒ JË@ @ Yë
S′(t) = λ−βS(t)I(t)−µS(t) I′(t) =βS(t)I(t)−γI(t)−µI(t)
R′(t) =γI(t)−µR(t)
(t) é ¢mÌ'@ ú ¯ QKAJË@ ù ªKQå àA¾Ë@ ÉJÖß : S(t) IJk áK.AÖÏ@ ÉJÖß : I(t) . éJªJÖÏ@ ÉJÖß : R(t) . àA¾Ë@ áÓ XYªË@ @ Yë éKñJk H.Ak Ég.
@ áÓ éÓY jJÓ IK.@ñK èY« Yg.ñK . QK
AJË@ éªKQå AêÊ¿ Q.JªK úæË@ ð é JJªË@ è Yë ú ¯ ( H@XBñË@) YJË@ñÖÏ@ ¯@ñK IK.AK : λ é¢ñJÖÏ@ èAJmÌ'@ èYÓ ÉJÖß : µ1 . é¢ñJÖÏ@ éKYªÖÏ@ èYÖÏ@ ÉJÖß : λ1 . QÒÊË ÈAª ¯ É® K úÍ@ Éð
@ ø YË@ AÒJËB@ éÒJ¯ ÉJÖß : β
¨@ Q KB@ éJ. ð øðYªË@ à@ Ym. ' IJk ZAK.ñË@ QÔ« úΫ ú æJ.ÖÏ@ h. XñÒ JË@ PY K èQ» YÖÏ@ è Yë ú ¯ ZAK.ñË@ QÒªK. àA¢J.KQÓ àñºK à
@ AÒî EA¾ÓAK.
QÒJÓ H.PA®Ó ÈAÔg.BAK. é ¯AJË@ à P@ñJË@ àñºK R0 61 àñºK AÓY J«
ÈAÔg.BAK. ñë YJkñË@ úGAK.ñË@ à P@ñJË@ à@ HAJ.KB ¬ñ JKAJË éË@X ÉÒªJ R0 >1 àñºK AÓY J«
. Q®JÓ H.PA®Ó è Yë ú ¯ ðPYÖÏ@ ZAK.ñË@ ÕΫ ú ¯ J.¢ÖÏ@ KERM AK−M CKEN DRICK h. XñÖ ß áºJË
: éJK
B@ Èñ ®Ë@ ú ¯ ÉJ ®K Q»
AK. ù¢ªÖÏ@ ð èQ» YÖÏ@
S′(t) = γ−νsS(t)ηS(t)R+∞
0 β(a)i(t, a)da ai(t, a)
dt +di(t, a)
da =ν1(a)i(t, a) i(t,0) =ηS(t)R
β(a)i(t, a)da S(0) =S0 >0, i(0, .) =i0 ∈L1+∞(0,+∞)
