Exercices d’application
5 minutes chrono ! 1. Mots manquants
a. photons
b. hν ; constante de Planck c. ondulatoire ; particulaire d. particulaire
e. la quantité de mouvement f. un faisceau d’électrons g. ondulatoire
h. une onde ; une particule i. probabilité
2. QCM
a. pr < pv. La quantité de mouvement p d’un photon de longueur d’onde λ est : p h
La longueur d’onde d’un photon de lumière rouge est supérieure à celle d’un photon de lumière violette : λr > λv donc
r v
h h
soit pr < pv.
b. h
p
c. La même vitesse. En effet, h
p et p = mv donc :
p
p p p
p p
4
si , 4
m m
d. le système {photon ; électron}. L’effet Compton s’interprète comme un choc entre deux particules : au cours du choc, seule la quantité de mouvement du système {photon ; électron} se conserve.
e. virtuelle
--- Compétences exigibles
3. Einstein postule que la lumière est formé de quanta d’énergie.
Il leur attribue une énergie = hν et une quantité de mouvement p = h c
.
---
4. a. L’énergie du photon étant = hν, la fréquence est : ν = h
A.N. : ν =
15 34
2, 0 10 6, 63 10
= 3,0×1018 Hz La longueur d’onde est :
λ = c
A.N. : λ =
8 18
3, 00 10 3, 0 10
= 1,0×10-10 m = 0,10 nm Ce photon n’appartient pas au domaine du visible (400 à 800 nm).
b. La quantité de mouvement est donnée par la relation : p h
c
A.N. : p =
15 8
2, 0 10 3, 00 10
= 6,7×10-24 Jsm-1
--- 5. a. Longueur d’onde dans le vide :
λ = c
A.N. : λ =
8 9
3, 00 10 2, 4 10
= 1,25×10-1 m arrondi à 0,13 m Énergie des photons :
= hν
A.N. : = 6,63×10-34 × 2,4×109 = 1,6×10-24 J
=
34 9
19
6, 63 10 2, 4 10 1, 60 10
= 9,95×10 -6 eV
b. Pour un photon de longueur d’onde λ = 600 nm, son énergie est donnée par la relation : = h
=
34 8
9 19
6, 63 10 3, 00 10 600 10 1, 60 10
= 2,1 eV
L’énergie d’un photon visible est beaucoup plus grande que celle d’un photon utilisé en Wi-Fi.
--- 6. a. Les rayons X sont des ondes électromagnétiques comme la lumière visible ; leurs longueurs d’onde sont plus petites que les longueurs d’onde de la lumière visible et des rayons ultraviolets.
b. Les particules mises en jeu sont d’une part un photon et d’autre part un électron de la cible.
c. Les rayons X se comportent comme des particules ayant une énergie et une quantité de mouvement
---
7. Une particule matérielle, par exemple un électron, présente des propriétés apparemment inconciliables. Il serait à première vue incongru d’affirmer qu’un électron a à la fois les propriétés d’une particule et celles d’une onde.
Et pourtant, lors d’une expérience d’interférence, c’est ce que fait un électron : l’impact d’un électron est localisé sur un écran et confirme son caractère particulaire mais, l’impact d’un grand nombre d’électrons sur ce même écran fait apparaître la figure d’interférence, confirmant son caractère ondulatoire.
--- 8.a. Pour l’électron, la longueur d’onde est :
4 5 e
3 31
6, 63 10
9,11 10 3, 00 10 h
p
= 2,43×10-9 m Pour le proton, la longueur d’onde est :
4 3 e
3 27
6, 63 10
1, 67 10 1, 64 10 h
p
= 2,42×10-10 m
Dans le manuel élève, au dénominateur de cette dernière application numérique : 1,67×10-27 remplace 9,11×10-31 (mis par erreur dans le spécimen, mais la réponse donnée était correcte).
b. Pour des ondes électromagnétiques, les longueurs d’onde correspondent au domaine des rayons X.
--- 9. - Le caractère ondulatoire de la matière est significatif lorsqu’un faisceau d’électrons donne une figure de diffraction quand il est envoyé sur un cristal (expérience réalisée par Davisson et Germer en 1927). La diffraction par un cristal est observée avec d’autres particules matérielles : neutrons, atomes, molécules. On peut citer également l’obtention d’interférence avec des électrons, des atomes…
- L’effet photoélectrique est en exemple de cas qui ne s’interprète pas avec le modèle ondulatoire de la lumière ; lorsqu’un faisceau lumineux frappe un métal, des électrons sont émis par ce métal mais il existe un seuil en fréquence caractéristique de ce métal. Le modèle particulaire explique que l’énergie du photon ( = hν) doit être supérieure à une énergie seuil ( 0 = hν0), soit ν ≥ ν0. On peut citer également l’expérience de Compton.
--- 10. a. À la date t = 10 s, la position de l’impact d’un photon semble aléatoire
b. À la date t = 500 s, la figure qui apparaît est celle des interférences : des franges apparaissent.
c. Les zones les plus claires correspondent à une probabilité de présence maximale des photons alors que les plus sombres correspondent à une probabilité de présence minimale.
d. Dans cette expérience, le caractère ondulatoire des photons se manifeste lorsqu’ils sont en nombre suffisant, ce qui est réalisé à la date t = 500 s.
---
Compétences générales
11. Par définition : p = mv et c= ½ mv2 = 1 2
2 p
m soit p = 2m c. La longueur d’onde associée est :
2 c
h h
p m
A.N. :
34
27 2 19
6, 63 10
2 50 1, 66 10 5, 0 10 1, 60 10
= 1,8×10-11 m
--- 12. h
p. De la relation de de Broglie, on déduit :
dim h = dim (énergie) × T D’après la définition de l’énergie cinétique 1 2
2mv
:
dim(mc) = dim
1 ² 2mc
c
dim (mc) = dim (p) =
-1
dim énergie L × T
Donc : dim h
p
=
dim énergie × T × L × T-1
dim énergie = L Le rapport h
p a la dimension d’une longueur.
--- 13. a. Le point de coordonnées ( = 100 keV, Z = 50) est dans le domaine de l’effet photoélectrique : on observe l’effet photoélectrique lorsque les photons d’énergie 100 keV interagissent avec cette cible.
Le point de coordonnées ( = 1 MeV, Z = 50) est dans le domaine de l’effet Compton : on observe l’effet Compton lorsque les photons d’énergie 1 MeV interagissent avec cette cible.
b. Il existe un point d’abscisse 500 keV situé sur la ligne d’équiprobabilité des deux effets. Il est donc possible d’obtenir avec la même probabilité l’effet Compton et l’effet photoélectrique avec des photons d’énergie 500 keV. L’ordonnée du point est Z = 40 (échelle peu précise).
Les deux effets peuvent être obtenus simultanément pour une cible de numéro atomique Z = 40.
c. La troisième interaction est l’effet de matérialisation. Elle intervient avec des photons très énergétiques (un photon donne alors en électron et un positon).
---
Exercices de méthode
14. Exercice résolu.
--- 15.a. Un centre NV est un défaut de la maille cristalline du diamant dû à la présence d’un atome d’azote (N) à coté d’un emplacement vacant (V).
Ces centres NV sont bien séparés spatialement. Dans un nanocristal de diamant, on peut isoler un centre NV.
b. Une impulsion laser, ultra brève, est envoyée sur un centre NV qui est alors excité. Lorsque qu’il se désexcite, il émet un photon.
c. Le dispositif de filtrage laisse passer les photons de longueur d’onde 690 nm (rouge) et arrêtent les photons qui excitent les centres NV.
d. La source est dite « source de photon unique » car elle fournit un seul photon par impulsion laser : un seul centre présent dans un nanocrital est excité et un photon unique est alors émis.
Le nom « source de photon unique » est un peu ambigu car en réalité des millions de photons sont émis, mais un par un, jamais deux ou plus ensemble, ce qui justifie le terme « photon unique ».
e. Deux fentes fines et parallèles sont éclairées par une source de lumière ; les deux fentes jouent le rôle de deux sources cohérentes. Le phénomène d’interférence apparaît dans la zone de recouvrement des deux faisceaux et des franges d’interférence apparaissent sur un écran placé dans cette zone. Les photons se comportent comme des particules localisées spatialement lorsqu’ils arrivent sur l’écran. Ils montrent un comportement ondulatoire en formant peu à peu la figure d’interférence.
--- 16. a. La longueur d’onde associée à une particule matérielle est donnée par la relation :
h
p
h est la constante de Planck et p la quantité de mouvement de la particule de masse m animée de la vitesse v.
p = mv et c= ½ mv2 = 1 2
2 p
m soit p = 2m c Soit :
2 c
h h
p m
b. Les unités à employer sont les unités SI : l’énergie doit être en joule.
c= 5,0×10-2 × 1,60×10-19 J
34
27 2 19
6, 63 10
2 1, 67 10 5, 0 10 1, 60 10
λ = 1,3×10-10 m = 0,13 nm c.
e ce n cn
2 2
h h
m m
d’où ce n cn
e
m
m
A.N. :
27
2
ce 31
1, 67 10
5, 0 10 9,11 10
= 92 eV
---
Exercices d’entraînement
17. a. L’énergie d’un photon est donnée par la relation : = hυ avec υ = c
soit = hc
On en déduit que la longueur d’onde dans le vide est :
hc
La longueur d’onde seuil du tungstène, notée λ0, est celle d’un photon d’énergie :
0 = 4,49 eV A.N. : l’énergie est à exprimer en joule
34 8
0 19
6, 63 10 3, 00 10 4, 49 1, 60 10
= 2,77×10-7 m
λ0 = 277 nm
b. D’après le texte, le photon doit apporter une énergie supérieure au travail d’extraction : ≥ 0
hc
≥
0
hc
donc λ≤ λ0
La longueur d’onde doit être inférieure à la longueur d’onde seuil.
--- 18. a. “Work function” est l’énergie minimale que l’on doit fournir pour extraire un électron du métal : c’est le travail d’extraction.
b. La lumière est décrite sous son aspect particulaire : le photon.
c. Pour qu’il y ait effet photoélectrique, l’énergie du photon doit être supérieure ou égale au travail d’extraction du matériau :
= hυ ≥ « work function »
A.N. :
34 15
19
6, 63 10 1,1 10 = 1, 60 10
= 4,56 eV
Deux valeurs du tableau sont inférieures à 4,56 eV. Elles correspondent aux deux métaux que l’on peut choisir : le baryum (Ba) et l’aluminium (Al).
--- 19. Le phénomène de diffraction fait intervenir le rapport
a
, a étant la taille de l’obstacle ou de l’ouverture.
La longueur d’onde associée à un grain de sable est donné par la relation de de Broglie : h
p avec p = mv
A.N. : pour un grain de sable de masse m = 1 mg et de vitesse v = 1ms-1,
34 6
6, 63 10 1 1 10
= 7×10-28 m
En supposant a ≤ 100λ pour avoir diffraction, a ≤ 6×10-26 m soit un ordre de grandeur de 10-25m. Il n’existe pas « d’objet » de cette dimension permettant de mettre en évidence par diffraction le caractère ondulatoire d’un grain de sable.
---
20.a. dim h = dim (énergie) × T = dim (force) × L × T = M × L × T-2 × L × T dim h = M × L2 × T-1
dim mc = M × L × T-1 dim
2 -1
-1
M×L ×T M×L×T = L
e
h m c
A.N. : 2,43 10 m
10 00 , 3 10 11 , 9
10 63 ,
6 12
8 31
34
Compton
.
b. D’une part, la lumière visible correspond à des longueurs d’onde dans le vide comprises entre 400 nm et 800 nm, soit un ordre de grandeur de 10-6 m.
D’autre part, la relation donnant Δλ montre que l’ordre de grandeur de Δλ est de 10-12 m (maximum égal à λCompton pour
2
).
L’écart entre les deux ordres de grandeur est très important et la variation de longueur d’onde sera difficile à mettre en évidence.
L’expérience ne sera pas pertinente en lumière visible, elle le sera avec des rayons X dont les longueurs d’onde sont plus faibles que celles de la lumière visible.
--- 21. a. Le « comportement ondulatoire » d’une particule de matière est mis en évidence par des expériences caractéristiques des ondes : la diffraction ou les interférences.
b. La masse d’une molécule est calculée à partir de sa masse molaire et de la constante d’Avogadro NA :
m = ( 60)
A
M C
N = 60 ( )
A
M C N
Des relations h
p et p = mv, on en déduit la vitesse v des molécules : v = h
m= h NA
M
= 3 12
23 34
10 5 , 2 10 12 60
10 02 , 6 10 63 , 6
= 222 ms-1
--- 22. a. Deux fentes fines et parallèles sont éclairées par une source de lumière ; les deux fentes jouent le rôle de deux sources cohérentes. Le phénomène d’interférence apparaît dans la zone de recouvrement des deux faisceaux et des franges d’interférence apparaissent sur un écran placé dans cette zone.
b. Dans cette expérience, la source de lumière est particulière puisqu’elle émet des photons un par un à intervalles réguliers. Les photons se comportent comme des particules localisées spatialement lorsqu’ils arrivent sur l’écran. Ils montrent un comportement ondulatoire en formant peu à peu la figure d’interférence. Dans cette expérience d’interférence, on ne peut pas prévoir la position de l’impact d’un photon sur l’écran mais lorsque leur nombre est important, ils respectent une loi de probabilité et forment le motif caractéristique des franges d’interférence ; les franges s’interprètent comme une alternance de zones où le photon a une probabilité de présence minimale ou maximale.
c. Il n’est pas possible de déterminer par quelle fente passe un photon ; toute tentative détruit la figure d’interférence ; la source fournissant des photons un par un, chaque photon semble être passé simultanément par les deux fentes ce qui n’est pas envisageable pour une particule indivisible.
---
23. - K n’est pas éclairée : l’intensité I = 0 ; entre A et K, il n’y a pas de contact électrique.
- K est éclairée : l’intensité n’est pas nulle lorsque la longueur d’onde est inférieure à une certaine valeur.
L’interprétation se fait avec le modèle particulaire de la lumière : les photons apportent de l’énergie pour extraire les électrons de la cathode, leur énergie doit être supérieure ou égale à une valeur caractéristique du matériau de la cathode.
L’énergie d’un photon est :
= hυ = hc
≥ 0
soit : hc
≥
0
hc
donc : λ ≤ λ0
- K est éclairée, l’intensité I augmente.
Lorsque l’on augmente l’intensité lumineuse, le nombre de photons reçus par la cathode augmente, le nombre d’électrons émis augmente et l’intensité électrique I augmente.
b. À l’aide de l’animation, la longueur d’onde maximale donnant naissance à l’effet photoélectrique est d’environ 580 nm.
--- 24. a. La mélasse optique refroidit et immobilise les atomes.
b. λNe = 15 nm.
h
p et p = mv d’où v = h
m= h NA
M
A.N. : v = 343 923
10 15 10 20
10 02 , 6 10 63 , 6
= 1,3 ms-1
c. De i = D a
, on déduit :
λ = a i D
A.N. : λ =
85 , 0
10 2 10
6 6 3
= 1,4×10-8 m = 14 nm La valeur est comparable à la valeur λNe = 15 nm.
d. L’aspect particulaire des atomes se manifeste par l’impact localisé sur l’écran. L’aspect ondulatoire se manifeste par la répartition des points d’impact sur l’écran qui forment des franges comme une onde.
La densité en un point de l’écran est proportionnelle à la probabilité qu’à un atome de se retrouver en ce point.
---
25. a. c 0 soit c h 0 ; avec c énergie cinétique de l’électron mis ; énergie du photon incident de fréquence et 0travail d’extraction.
b.
c. La représentation de cen fonction de la fréquence est une droite d’équation y = ax + b.
L’équation établie en a. peut s’écrire : y = hx + 0.
En posant y = c et x = . Le résultat est conforme à la relation d’Einstein.
d. La fréquence seuil correspond à c= 0. La lecture graphique donne :0= 5,4×1014 Hz.
La longueur d’onde seuil dans le vide est donnée par :
0 0
c
=
8
6 14
3, 00 10
0,56 10 m 5, 4 10
Le travail d’extraction 0 est obtenu graphiquement :
y = 0 pour x = 0 : 0 = 2,2 eV
Le coefficient directeur de la droite est gal à la valeur de la constante de Planck, h exprimé en joule × seconde :
h = 4,0×10-15 × 1,60×10-19 = 6,4×10-34 Js La valeur admise est de 6,63×10-34 Js.
e. La représentation pour le zinc de cen fonction de la fréquence est une droite parallèle à la précédente (même coefficient directeur h) ; elle coupe l’axe des x à l’abscisse :
x =0= 8,1×1014 Hz, fréquence seuil de ce métal
---
26. 1. De la relation 2d sinθ = nλ, on déduit : d =2 sin
n
A.N. : pour θ1 = 13,5°, n = 1,
d = 0,10
2sin13,5= 0,21 nm 2. a. Par définition, p = mv et c= ½mv2 =
1 2
2 p
m soit : p = 2m c
A.N. : p1 = 29,1110311511,601019 p1 = 6,63×10-24 kgms-1
p2 = 13,2×10-24 kgms-1 p3 = 19,9×10-24 kgms-1 b. Pour n = 1, λ1 = 2dsinθ = 0,10 nm.
Pour n = 2, λ2 = 2 sin 2 d
= 1 2
Pour n = 3, λ2 = 2 sin
3 d
= 1 3
c. D’après la relation de Louis de Broglie, h
p soit λ × p = h.
λ1 × p1 = 6,63×10-34 SI λ2 × p2 = 6,62×10-34 SI λ3 × p3 = 6,63×10-34 SI
Le produit λ × p est quasiment constant et égal à la valeur de la constante de Planck ; il y a accord avec la relation de de Broglie.
---
Exercices de synthèse
27. a. La longueur d’onde associée à une particule matérielle est donnée par la relation : h
p. h est la constante de Planck et p la quantité de mouvement de la particule de masse m animée de la vitesse v.
b. p = mv et c= ½ mv2 = 1 2
2 p
m soit p = 2m c soit : 2 c
h h
p m
c. Les unités à employer sont les unités SI : l’énergie doit être en joule.
c= 60 × 1,60×10-19 J
34
31 19
6, 63 10
2 9,11 10 60 1, 60 10
λ = 1,6×10-10 m = 0,16 nm
d. La longueur d‘onde dans le vide des rayons X de fréquence υ = 1,90×1018 Hz est :
c
=
18 8
10 90 , 1
10 00 , 3
= 1,60×10-10 m = 0,160 nm
e. La diffraction est un phénomène caractéristique d’une onde ; la diffraction du faisceau d’électrons confirme que l’on peut associer une onde à une particule matérielle.
De plus, la figure de diffraction est identique lorsqu’elle est obtenue : - avec des rayons X de longueur d’onde 0,160 nm ;
- avec des électrons dont la longueur d’onde associée calculée avec la relation de de Broglie est égale à 0,160 nm, validant ainsi cette relation.
--- 28. a. Les neutrons libres n’appartiennent pas à un noyau. Ils n’existent pas dans la nature car leur durée de vie est courte.
b. 0 00 e
1 1 1 1
0n p e .
c. La fission est une réaction nucléaire au cours de laquelle un noyau lourd dit fissile, est scindé en deux sous l’impact d’un neutron.
d. Les atomes d’hydrogène de la molécule d’eau lourde sont des isotopes de l’hydrogène 11H. La formule de cet isotope est 12H.
Les neutrons sont ralentis par choc. Au cours des collisions avec les molécules d’eau lourde, ils transfèrent une partie de leur énergie cinétique à la cible (molécule d’eau).
e. D’après la relation de Louis de Broglie, h
p avec p = mv ; plus la vitesse est grande plus la longueur d’onde est petite. Pour avoir une longueur d’onde adaptée à la diffraction, il faut diminuer la valeur de v.
f. La diffraction par les neutrons permet de déterminer les positions des noyaux atomiques dans un cristal.
g.
2 c
h h
p m
.
c= 100×10-3 × 1,60×10-19 J
34
27 3 19
6, 63 10
2 1, 67 10 100 10 1, 60 10
λ = 9,07×10-11 m
Ces neutrons sont adaptés à l’étude par diffraction d’un cristal dans lequel l’ordre de grandeur des distances interatomiques est de 10-10 m.
--- 29. Proposition de synthèse de documents
Un microscope est un instrument qui donne une image agrandie d’un objet pour permettre l’observation de détails non visibles à l’œil nu.
Le microscope électronique utilise non pas un faisceau lumineux comme un microscope optique mais un faisceau d’électrons dont la longueur d’onde de l’onde associée est inférieure aux longueurs d’onde des ondes lumineuses. La limite de résolution qui est proportionnelle à la longueur d’onde est ainsi améliorée : on peut distinguer des détails distants de 200 nm avec un microscope optique alors que des détails distants de 0,4 nm peuvent être distingués avec un microscope électronique à balayage (MEB).
Microscope optique et microscope électronique donnent des images de nature différente ; le microscope optique donne une image plane et agrandie de l’objet, le microscope électronique fournit des images reconstituées point par point à partir des informations fournies par différents détecteurs.
Lors de l’interaction entre le faisceau d’électrons et l’échantillon dans un microscope électronique, on étudie essentiellement :
- les électrons secondaires, électrons arrachés à l’échantillon ;
- les électrons rétrodiffusés, électrons primaires qui pénètrent dans l’échantillon puis en ressortent ; - les photons X produits par désexcitation des atomes.
L’analyse des électrons secondaires fournit une image en relief de la surface de l’échantillon alors que celle des électrons rétrodiffusés renseigne sur la composition chimique de l’échantillon. Le détecteur de rayons X complète l’analyse chimique en identifiant les différents éléments chimiques.
Ainsi, le microscope électronique à balayage réalise des images en relief de la surface des matériaux solides avec une très haute résolution de l’ordre du nanomètre et analyse leur composition. Citons quelques exemples de son utilisation :
- étude des microstructures de matériaux en sciences des matériaux ; - observation et analyse des minéraux en géologie ;
- observation des microorganismes comme des bactéries ou des virus en biologie ; - observation des composants en microélectronique et en nanotechnologie.
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