CM-C1-Ensembles

(1)

L

ICENCE

1 C

ALCUL

& L

OGIQUE

2

Julie Scholler - Bureau B246

Janvier 2021

.

Contenu

• Ensemble et dénombrement

• Nombres complexes

• Suites numériques Prérequis

• Calcul & Logique 1

• et/ou de bonnes bases en maths du lycée

(2)

Fonctionnement et organisation

Comme pour Calcul & Logique 1 et Statistiques Descriptives Pour tous : 6 séances de cours magistraux de 2h

+ Examen terminal

Pour les L1 Économie : 4 séances de travaux dirigés de 2h + a priori un écrit en amphi

Supports pédagogiques sur Celene

• polycopié de cours

• fascicule d’exercices + corrections

• QCM d’entraînement en ligne sur les bases (pour tous)

C

HAPITRE

1. E

NSEMBLES ET DÉNOMBREMENT

Julie Scholler - Bureau B246

Janvier 2021

(3)

I. Vocabulaire ensembliste

Ensemble

collection d’objets appelés éléments En extension E₁ = {0,1,2}

Par compréhension E₂ = {x ∈ N, 0 6 x 6 4}

De manière paramétrique E₃ = {2k, k ∈ N} Ensembles particuliers

• l’ensemble ne contenant aucun élément appelé l’ensemble vide, noté ∅

• les ensembles ne contenant qu’un seul élément appelés les singletons (par exemple {2})

E

×x

Appartenance

Si un élément x appartient à un ensemble E, alors on note x ∈ E. On dira indifféremment que

• x appartient à E

• x est un élément de E

• x est dans E

• E contient x

Non appartenance

Si x n’appartient pas à E, alors on note x ∈/ E.

E

×x

(4)

Égalité d’ensembles

Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si les ensembles A et B ont exactement les mêmes éléments.

Exemple

n

x ∈ R, x² = 1^o = {1,−1}

A B

Inclusion

A est inclus dans B, et on note A ⊂ B, si et seulement si tout élément de A appartient à B

A ⊂ B ⇐⇒ ∀x ∈ A, x ∈ B On dira indifféremment que

• A est inclus dans B

• A est une partie de B

• A est un sous-ensemble de B

• B contient A

(5)

Attention : bien distinguer l’appartenance et l’inclusion.

• l’inclusion concerne des objets de même échelle

• l’appartenance concerne des objets qui ne sont pas à la même échelle

Wooclap Q1 et Q2

Soient

• A = ⁿ(x,y,z) ∈ R³, x +y −z = 0^o

• B = {(a,a,2a), a ∈ R}.

• C = {(a,b,a +b), a,b ∈ R}

Wooclap Q 4 à 7

(6)

Ensemble des parties de E

On note P(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E A ⊂ E ⇐⇒ A ∈ P(E)

Exemple

Soit E = {1,2,3}, alors P(E) = ⁿ ∅

|{z}

0 élément

;{1};{2};{3}

| {z }

1 élément

;{1; 2};{1; 3};{2; 3}

| {z }

2 éléments

;{1; 2; 3}

| {z }

3 éléments

o .

II. Opérations sur les parties de E

Soit A une partie d’un ensemble E. Complémentaire de A dans E

la partie de E égale à l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A

A = ⁿx ∈ E

x ∈/ A^o

E

A A

Exemple

Dans N, A = {0,2,4,6, . . .} et A = {1,3,5,7, . . .}

(7)

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Réunion de A et de B

l’ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B A∪B = ⁿx ∈ E x ∈ A ou x ∈ B^o

E

A B A∪B

Exemple

Dans E = J1; 15K, A = {3,6,9,12,15} et B = {5,10,15}, A∪B?

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Intersection de A et de B

l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B A∩B = ⁿx ∈ E

x ∈ A et x ∈ B^o E

A B A∩B

Exemple

Dans E = J1; 15K, A = {3,6,9,12,15} et B = {5,10,15}, A∩B? Wooclap Q 8 à 16

(8)

Propriétés de la réunion

• A ⊂ A∪B

• A∪B = B ∪A

• A∪(B ∪C) = (A∪B) ∪C

• A∪A = E et A∪∅ = A

• si A ⊂ B, alors A∪B = B

Propriétés de l’intersection

• A∩B ⊂ A

• A∩B = B ∩A

• A∩(B ∩C) = (A∩B) ∩C

• A∩A = ∅ et A∩E = A

• si A ⊂ B, alors A∩B = A

Réunion finie de A₁, . . . ,A_n :

n

[

i=1

A_i

l’ensemble des éléments de E qui sont dans au moins un des ensembles A₁, . . . ,A_n. Autrement dit,

x ∈

n

[

i=1

A_i ⇐⇒ ∃i ∈ J1,nK, x ∈ A_i.

Intersection finie de A₁,A₂, . . . ,A_n :

n

\

i=1

A_i

l’ensemble des éléments de E qui sont dans tous les ensembles A₁, . . . ,A_n. Autrement dit,

x ∈

n

\

i=1

A_i ⇐⇒ ∀i ∈ J1,nK, x ∈ A_i.

Wooclap Q17 et 18

(9)

Parties disjointes

Deux parties A et B d’un ensemble E sont disjointes si et seulement si leur intersection est vide :

A∩B = ∅

E

A B

Partition de E

une famille finie (A_i)₁₆_i₆_n de parties de E telle que

• toutes les parties A_i sont non vides : ∀i ∈ J1,nK, A_i 6= ∅

• les parties sont deux à deux disjointes :

∀i ∈ J1,nK, ∀j ∈ J1,nK, i 6= j =⇒ A_i ∩A_j = ∅

• leur réunion est égale à E :

n

[

i=1

A_i = E

Exemples

Si A 6= ∅, ⁿA,A^o est une partition de E.

(10)

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Différence : B privé de A

l’ensemble des éléments de E qui sont dans B mais pas dans A B \A = ⁿx ∈ B x ∈/ A^o = B ∩A

E

A B \A B

Application

Soient E = R, A = [4; 10], B = {x ∈ R, |x| 6 5} et C = N.

Wooclap Q19 à 23

(11)

Règles de calculs

Distributivité

Pour toutes parties A, B et C de E, on a

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

Lois de De Morgan

A∪B = A∩B et A∩B = A∪B

(12)

Couple de x et y

la donnée de deux objets x et y non nécessairement distincts dans un ordre déterminé, noté (x,y)

(x,y) = x⁰,y⁰ ⇐⇒ x = x⁰ et y = y⁰.

n-uplet de x₁,x₂, . . .x_n

la donnée de n objets x₁,x₂, . . .x_n non nécessairement distincts dans un ordre déterminé, noté (x₁,x₂, . . .x_n)

Produit cartésien de deux ensembles X et Y

l’ensemble des couples (x,y) où x est dans X et y est dans Y X × Y ^def= ⁿ(x,y), x ∈ X,y ∈ Y^o

Produit cartésien d’un nombre fini n d’ensembles X₁, . . . ,X_n l’ensemble formé de tous les n-uplets (x₁, . . . ,x_n) où x₁ est dans X₁, . . . ,x_n est dans X_n

X₁ × · · · ×X_n ^def= ⁿ(x₁, . . . ,x_n)

∀i ∈ J1,nK,x_i ∈ X_i^o Exemples

• {0,1} × {0,1,2} = ⁿ(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)^o

• R² = R× R = (x,y) x ∈ R,y ∈ R

• ⁿ(x,y) ∈ R²|x² + y² 6 1^o ne peut pas être écrit comme un produit cartésien

(13)

III. Cardinal d’un ensemble fini

Ensemble fini

ensemble ne contenant qu’un nombre fini d’éléments Cardinal d’un ensemble fini

nombre d’éléments que contient l’ensemble

Wooclap 3 questions

Cours de Droit en L1

• E = {les étudiants en L1 à la fac de DESS de Tours}

• P = {les étudiants de E inscrits en L1 de Droit}

• M = {les étudiants de E ayant choisi le module 3 de Droit}

• D = {les étudiants de E inscrits au cours de Droit civil 2}

Lien entre les différents ensembles ?

(inclusion, disjonction, égalité d’union ou d’intersection)

Conséquences sur les cardinaux de ces ensembles ?

(14)

Cardinal d’une sous partie de E

Si A ⊂ E, alors on a card(A) 6 card(E).

Remarque

Si A ⊂ E et card(A) = card(E), alors A = E.

Cardinal d’une union disjointe

Soient A et B deux ensembles finis disjoints. Alors card(A∪B) = card(A) + card(B)

Cours de Droit en L1

• E = {les étudiants en L1 à la fac de DESS de Tours}

• P = {les étudiants de E inscrits en L1 de Droit}

• M = {les étudiants de E ayant choisi le module 3 de Droit}

• D = {les étudiants de E inscrits au cours de Droit civil 2}

Exprimer le cardinal de l’ensemble des étudiants de E qui ne suivent pas le cours de Droit civil 2.

Cardinal d’une partie et de son complémentaire cardA = card(E)− card(A) 6 card(E)

(15)

Connaissances des nombres complexes

• F : l’ensemble des étudiants suivant ce cours de Calcul &

Logique 2 en 2020/2021

• S : l’ensemble des étudiants de F ayant passé en bac S

• R : l’ensemble des étudiants de F ayant déjà suivi ce cours

• C : l’ensemble des étudiants de F ayant déjà eu un cours sur les nombres complexes

Exprimer le cardinal de l’ensemble des étudiants de C.

Cardinal d’une union quelconque

card(A∪B) = card(A) + card(B) − card(A∩B) E

A B A∩B

(16)

sélectives)

• L = ⁿDroit, Économie, Gestion, Géographie^o

• O = ⁿDroit, Éco, Gestion, Géo, Sciences Po, MCI^o

• C = {tous les choix d’inscription possibles}

C = L× O : produit cartésien

Conséquence sur le cardinal de C ? Cardinal d’un produit cartésien

card(E × F) = card(E)× card(F)

Malheureusement le nombre d’éléments des ensembles de bases ne sont pas toujours

simples à compter.

(17)

IV. Dénombrement

• Combien de classements du trio de tête des 30 étudiants d’un groupe de TD ?

• Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?

• Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?

• Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?

• etc.

Wooclap 1 question

Listes

p-liste d’éléments de E

un p-uplet constitué d’éléments de E, c’est-à-dire un élément de E^p Exemples un digicode

les jours de fermeture des 4 boulangeries de la ville

Nombre de p-listes

card(E^p) = ( card(E))^p

Remarque

Par défaut dans une liste

• l’ordre est important

• les répétitions sont autorisées

(18)

un p-uplet constitué d’éléments de E deux à deux distincts Exemples un podium

un classement des étudiants d’un groupe de TD Nombre de p-liste sans répétition d’éléments de E

Si card(E) = n, le nombre de p-listes sans répétition est n × (n −1) × · · · ×(n −p + 1)

Cas particulier

Nombre de n-listes d’un ensemble à n éléments : n! =

n

Y

k=1

k = n × (n −1)× · · · × 2×1

Ce nombre est appelé factoriel de n.

Combien existe-il de digicodes de 4 caractères parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C :

• sans lettres ? 10⁴

• commençant et finissant par une lettre ? 2× 12² × 2

• commençant ou finissant par une lettre ? 2× 12² × 10 + 10× 12² × 2 + 2× 12² × 2

• contenant que de chiffres et tous différents ? 10×9× 8× 7

• au moins une lettre ? 12⁴ −10⁴

• au moins deux chiffres identiques ?

(19)

× Combien de classements du trio de tête des 30 étudiants d’un groupe de TD ?

• Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?

× Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?

• Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?

k-combinaison de E

une partie à k éléments de E

Exemples une poignée de main

un groupe de 5 étudiants parmi les 30 du TD Nombre de k-combinaisons

n k

!

= n!

k!(n − k)! =

k facteurs

z }| {

n(n − 1)· · ·(n − k + 1) k(k − 1)· · ·1

| {z }

k facteurs

Ce nombre est appelé coefficient binomial et lu « k parmi n » Remarque

Dans une combinaison

• il n’y a pas d’ordre

• les répétitions ne sont pas autorisées

(20)

Valeurs particulières n 0

!

= 1 n

1

!

= n n

n

!

= 1

Propriété de symétrie

∀n ∈ N, ∀p ∈ J0,nK, n p

!

= n

n −p

!

Pour les JPO le 8 février, le département d’Économie a besoin de 7 étudiants. 7 étudiants de Master, 10 de L3 et 8 de L2 sont

volontaires.

• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?

En fait, il faut 4 étudiants sur le stand (2 Master, 2 Licence 3) et 3 étudiants de L2 pour l’accueil.

Finalement sur le stand je décide de mettre 2 Master et 2 Licence et n’importe quels étudiants à l’accueil.

(21)

Formule du binôme de Newton

∀(a,b) ∈ C², ∀n ∈ N, (a + b)ⁿ =

n

X

k=0

n k

!

a^kb^n−k

Formule de Pascal

∀n ∈ N^?, ∀k ∈ J0,n −1K, n + 1 k + 1

!

= n

k

!

+ n

k + 1

!

0 0

! 1 0

! 1 1

! 2

0

! 2 1

! 2 2

! 3

0

! 3 1

! 3 2

! 3 3

! 4

0

! 4 1

! 4 2

! 4 3

! 4 4

! 5

0

! 5 1

! 5 2

! 5 3

! 5 4

! 5 5

!

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1