DEVOIR DE SYNTHESE N° 2

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DEVOIR DE SYNTHESE N° 2

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SECTIONS :4^émeSciences de l’informatique 2 EPREUVE :Mathématiques

DUREE :3heures PROFESSEUR : EXERCICE N° 1: (3 points)

Cet exercice est un Q.C.M (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Barème: Une mauvaise réponse enlève la moitié des points attribués à la question. L'absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est ramenée à 0.

Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonctionfdéfinie et dérivable sur



^{ }^3,



. On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

x −3 −2 1 3 +∞

f(x)

+∞

0

−2

0

1

Q1 Fdésigne une primitive defsur



^{ }^3,



^.

Fest :

a) strictement décroissante sur

 

^^2;3

b) strictement décroissante sur

 

^^3;1

c) strictement croissante sur

 

^^2;3

Q2 La courbe (C) admet pour asymptote la droite d’équation :

a) y 3 b) x1 c) x 3 Q3 gest la fonction définie par ^{g x}^{( )}^^ln



^{f x}^{( )}



^sur

l’intervalle



^3,^



. On peut affirmer que :

a) 0g x( ) 1 b) g x( )0 c) g x( )0

EXERCICE N° 2: (5 points)

En annexe, on donne le graphique représentant la courbe (Cf) d’une fonction bijective de



^1,^



^sur



^1,^



La courbe (Cf) admet une asymptote D y:  2x On désigne par f^¹ la fonction réciproque def

1- Que peut-on dire de la dérivabilité defà droite en 1 ? en déduire la dérivabilité de f^¹ à droite en 1 2- Déterminer lim ( )

x f x

 et _x^lim_



^{f x}^{( ) 2}^ ^x



3- Dresser le tableau de variations complet de f^¹ 4- Tracer, sur le graphique, la courbe

 

^C^f^¹ ^de ^f^¹

(2)

Page2sur6 EXERCICE N° 3: (6 points)

I. Soitg la fonction définie sur



^0,^



^{par :}^{g x}^{( )}^{  }¹ ^x² ^ln^x

1. Calculer la dérivée de la fonctionget étudier son signe. En déduire les variations de la fonctiong. 2. Calculerg(1). En déduire le signe de g x( ) pourxappartenant à l’intervalle



^0,^



^.

II. Soitf la fonction définie sur



^0,^



^{par :} ^{f x}^{( )}^ ^ln₂_x^{x x}^{ }₂ ¹^{. On note}^C^fsa courbe représentative dans un repère du plan.

1. a. Calculer la limite defà droite en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Calculer la limite defen +∞.

c. Montrer que la droiteDd’équation 1 2

y  x est asymptote à la courbeCf au voisinage de +∞.

d. Etudier les positions relatives de la droiteDet de la courbeCf.

2. a. Montrer que pour tout réelxappartenant à l’intervalle



^0,^



^, ^{f x}^{'( )}^ ^{g x}₂^{( )}_x² ^.

b. En déduire le signe de f x'( ) puis dresser le tableau de variations de la fonctionf. 3. Tracer la droiteDet la courbeCfdans le repère fourni en annexe.

EXERCICE N° 4: (6 points)



^{ } ^



(3)

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ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE

Nom : Prénom : 4 Sc.Inf 2

EXERCICE N° 2:

EXERCICE N° 3:

-4 -3 -2 -1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7

(4)

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Correction

Solution-Exercice 1

Q1– a) ; Q2– c) ; Q3– c)

1- (Cf) admet au point d’abscisse 1 une demi-tangente verticale doncfn’est pas dérivable à droite en 1 Par symétrie par rapport à la droite d’équationy = x,

 

^C^f^¹ admet au point d’abscissef(1)=1une demi- tangente horizontale donc f^¹ est dérivable à droite en 1 et

 

f^¹ d⁽¹⁾⁰

2- lim ( )

x f x

   et _x^lim_



^{f x}^{( )}^²^x



^⁰

3- f et f^¹ ont même sens de variations, et puisquefest strictement croissante sur



^1,^



^{alors :}

x 1 

f^1 

1 4-

I- g x( )  1 x² lnx ;ܦ_୥= ]0, +∞[

1- gest dérivable sur]0, +∞[(comme étant somme de deux fonctions dérivables sur]0, +∞[) g^ᇱ(ݔ) =−2ݔ−_௫^ଵ< 0pour toutݔ> 0. Doncgest strictement décroissante sur]0, +∞[

2- ݃(1) = 1−1−݈݊1 = 0

D’où

II- ( ) ^ln 1

2 2

f x x x

 x   ;ܦ_௙ = ]0, +∞[

1- a-

0

lim ( )

x _ f x

  . L’axe des ordonnées est une asymptote verticale àCf

b- lim ( ) ¹ lim ^ln lim 1

2 2

x x x

x x

f x x

       

c- 1 ln

lim ( ) 1 lim 0

2 2

x x

f x x

 

     

  

  doncD: 1

2

y  x est asymptote à Cf au voisinage de +∞

x 0 1 +∞

g(x) 0

x 0 1 +∞

g(x) + 0 −

(5)

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d- ( ) ^ln

2 f x y x

  x donc pour toutݔ> 0, le signe de݂(ݔ)−ݕest celui de݈݊ݔ

 Si0 <ݔ< 1alors݂(ݔ)−ݕ< 0et par suiteCf est en dessous de D

 Siݔ> 1alors݂(ݔ)−ݕ> 0et par suiteCf est au dessus de D

 Siݔ= 1alorsCf∩ܦ = ቄܣ ቀ1,^ଵ_ଶቁቅ

2- a-݂^ᇱ(ݔ) =^ೣ^భ^{×ଶ௫ିଶ௟௡௫}_ସ௫_మ −^ଵ_ଶ= ^{ଶିଶ௟௡௫}_ସ௫_మ −^ଵ_ଶ= ^{ଵି௟௡௫}_ଶ௫_మ −^ଵ_ଶ=^{ଵି௟௡௫ି௫}_ଶ௫_మ ^మ=^௚(௫)_ଶ௫_మ b- pour toutݔ> 0, le signe de݂^ᇱ(ݔ)est celui de݃(ݔ)

x 0 1 +∞

f '(x) + 0 −

f(x)

ଵ ଶ

−∞ −∞

3-

Cf admet enܣ ቀ1,^ଵ_ଶቁune tangente horizontale

Solution-Exercice 4 1- a-ܦ:൞

ݔ= −^ଶ_ହ−2ߙ ݕ= −^ଵ_ହ+ 2ߙ ݖ= ߙ

;ߙ∈ℝ

b- (AB) est la droite passant par A et dont un vecteur directeur estܣܤሬሬሬሬሬ⃗൭0 12൱alors

(ܣܤ):൝ݔ= 1 ݕ=ߚ ݖ= 2 + 2ߚ

;ߚ∈ℝ

(6)

Page6sur6 3 × 1 + 4 × 0 2 × 2 +݀= 0d où݀= 1

Conclusion : (ܣܤܥ): 3ݔ+ 4ݕ−2ݖ+ 1 = 0

3- P₁: 2x y 2z 1 0 ; P₂: x2y6z 0 ;ܦ:൞

ݔ= −^ଶ_ହ−2ߙ ݕ=−^ଵ_ହ+ 2ߙ ݖ=ߙ

;ߙ∈ℝ

a- Etudions l’intersection de P1et D

Soit ܯ(ݔ,ݕ,ݖ) ∈ܦ∩ܲ_ଵalors2ቀ−^ଶ_ହ−2ߙቁ+ቀ−^ଵ_ହ+ 2ߙቁ+ 2ߙ+ 1 = 0⇔

−^ସ_ହ−4ߙ−^ଵ_ହ+ 2ߙ+ 2ߙ+ 1 = 0⇔0 = 0doncܦ ⊂ܲଵ

Etudions l’intersection de P₂et D

Soit ܯ(ݔ,ݕ,ݖ) ∈ܦ∩ܲଶalors−^ଶ_ହ−2ߙ−2ቀ−^ଵ_ହ+ 2ߙቁ+ 6ߙ= 0⇔−^ଶ_ହ−2ߙ+^ଶ_ହ−4ߙ+ 6ߙ= 0

⇔0 = 0doncܦ ⊂ܲ_ଶ

Commeܲ_ଵetܲ_ଶne sont pas confondus (puisque leurs équations ne sont pas équivalentes) alors P1et P2sont sécants selon la droite D

b- On a :ܲଵ∩ܲଶ= ܦ, étudions donc l’intersection de D et le plan (ABC)

Soit ܯ(ݔ,ݕ,ݖ) ∈ܦ∩(ܣܤܥ)alors3 ×ቀ−^ଶ_ହ−2ߙቁ+ 4ቀ−^ଵ_ହ+ 2ߙቁ−2ߙ+ 1 = 0

⇔ −^଺_ହ−6ߙ−^ସ_ହ+ 8ߙ−2ߙ+ 1 = 0 ⇔ −1 = 0Impossible doncܦ∩(ܣܤܥ) =∅ D’où ܲଵ∩ܲଶ∩(ܣܤܥ) =∅