Gabriel AN.
TS - Contrôle n°5
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 – 1 pt
L est une loi uniforme sur [0;5]. 1. Calculer P(X<2).
2. Calculer l’espérance de cette loi.
Exercice n°2 – 1 pt (R.O.C.)
Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.
Exercice n°3 – 10 pts
Soit n un entier naturel non nul.
On considère la suite de fonctions (fn) définies sur l'ensemble R des nombres réels par : fn(x) = 4x2e-2nx.
On note cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite d’intégrales (In ) par : In=
∫0 1
f n(x)dx.
On admettra que lim
x→ +∞x²e−x=0.
Partie A : étude de la fonction f 1.
1. On admet que la fonction f1 est dérivable sur R et on note f'1 sa dérivée.
a[0,5]. Calculer f'1.
b[2]. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.
c[0,5]. Déterminer la limite de f1 en –∞. d[0,5]. Déterminer la limite de f1 en +∞.
2[1,5]. On sait qu’une primitive de f1 est de la forme F1(x)= – 4e-2x( ax2+bx+c)
. Déterminer a, b et c.
3[0,5]. En déduire la valeur exacte de I1.
Partie B : étude de la suite ( I n).
On admet que la fonction fn est dérivable sur R et on note f'n sa dérivée.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a[0,5]. Interpréter géométriquement la quantité In.
b[0.5]. Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (In).
2. a[0,25]. Déterminer le signe de fn en fonction de n et de x. 1/60
1. Soit f la fonction définie sur [−2;2] par f (x) =√ 4−x².
a[1]. Étudier les variations de f (on ne demande pas les limites).
b[1]. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en un point A d’abscisse xA.
c[1]. Déterminer les coordonnées du point N, intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.
d[1]. Déterminer les coordonnées du point M, intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées.
2.[4] Dans une salle à manger de 5 m sur 6 m, on a une colonne dont la section a la forme d’un arc de cercle de rayon 2 m, située dans un coin, qui sert à passer les fils électriques, canalisations, etc. (voir figure ci-contre).
On souhaite installer une cloison plane qui cache cette colonne. Mais on veut aussi diminuer le moins possible l'aire de la chambre.
Déterminer, en justifiant la réponse, la position de cette cloison pour obtenir l’aire de la chambre maximale.
Exercice n°5 – 4 pts
On se place dans le plan complexe.
Soit f la transformation qui, à tout nombre imaginaire z non nul, associe le nombre imaginaire f(z) défini par f (z)=4z+ 4
z.
On note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).
1.[1] Calculer f(i) sous forme algébrique.
2.[1] Résoudre, dans l’ensemble des nombres imaginaires, l’équation f(z)=1.
3.[1] Soit M un point du cercle c de centre O et de rayon 1, d’affixe zM . Montrer que f(zM) est un nombre réel.
4.[1] Déterminer l’ensemble des points N d’affixe zN tels que f(zN) est un nombre imaginaire pur.
2/60
Solène BO.
TS - Contrôle n°5
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 – 1 pt
L est une loi uniforme sur [0;4]. 1. Calculer P(X<1).
2. Calculer l’espérance de cette loi.
Exercice n°2 – 1 pt (R.O.C.)
Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.
Exercice n°3 – 10 pts
Soit n un entier naturel non nul.
On considère la suite de fonctions (fn) définies sur l'ensemble R des nombres réels par : fn(x) = 6x2e-2nx.
On note cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite d’intégrales (In ) par : In=
∫0 1
f n(x)dx.
On admettra que lim
x→ +∞x²e−x=0.
Partie A : étude de la fonction f 1.
1. On admet que la fonction f1 est dérivable sur R et on note f'1 sa dérivée.
a[0,5]. Calculer f'1.
b[2]. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.
c[0,5]. Déterminer la limite de f1 en –∞. d[0,5]. Déterminer la limite de f1 en +∞.
2[1,5]. On sait qu’une primitive de f1 est de la forme F1(x)= – 6e-2x( ax2+bx+c)
. Déterminer a, b et c.
3[0,5]. En déduire la valeur exacte de I1.
Partie B : étude de la suite ( I n).
On admet que la fonction fn est dérivable sur R et on note f'n sa dérivée.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a[0,5]. Interpréter géométriquement la quantité In.
b[0.5]. Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (In).
2. a[0,25]. Déterminer le signe de fn en fonction de n et de x. 3/60
1. Soit f la fonction définie sur [−1,5;1,5] par f(x) =√ 2,25−x².
a[1]. Étudier les variations de f (on ne demande pas les limites).
b[1]. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en un point A d’abscisse xA.
c[1]. Déterminer les coordonnées du point N, intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.
d[1]. Déterminer les coordonnées du point M, intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées.
2.[4] Dans une salle à manger de 5 m sur 6 m, on a une colonne dont la section a la forme d’un arc de cercle de rayon 1,5 m, située dans un coin, qui sert à passer les fils électriques, canalisations, etc. (voir figure ci-contre).
On souhaite installer une cloison plane qui cache cette colonne. Mais on veut aussi diminuer le moins possible l'aire de la chambre.
Déterminer, en justifiant la réponse, la position de cette cloison pour obtenir l’aire de la chambre maximale.
Exercice n°5 – 4 pts
On se place dans le plan complexe.
Soit f la transformation qui, à tout nombre imaginaire z non nul, associe le nombre imaginaire f(z) défini par f (z)=9z + 9
z.
On note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).
1.[1] Calculer f(i) sous forme algébrique.
2.[1] Résoudre, dans l’ensemble des nombres imaginaires, l’équation f(z)=1.
3.[1] Soit M un point du cercle c de centre O et de rayon 1, d’affixe zM . Montrer que f(zM) est un nombre réel.
4.[1] Déterminer l’ensemble des points N d’affixe zN tels que f(zN) est un nombre imaginaire pur.
4/60
Léo BO.
TS - Contrôle n°5
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 – 1 pt
L est une loi uniforme sur [0;6]. 1. Calculer P(X<1).
2. Calculer l’espérance de cette loi.
Exercice n°2 – 1 pt (R.O.C.)
Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.
Exercice n°3 – 10 pts
Soit n un entier naturel non nul.
On considère la suite de fonctions (fn) définies sur l'ensemble R des nombres réels par : fn(x) = 3x2e-2nx.
On note cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite d’intégrales (In ) par : In=
∫0 1
f n(x)dx.
On admettra que lim
x→ +∞x²e−x=0.
Partie A : étude de la fonction f 1.
1. On admet que la fonction f1 est dérivable sur R et on note f'1 sa dérivée.
a[0,5]. Calculer f'1.
b[2]. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.
c[0,5]. Déterminer la limite de f1 en –∞. d[0,5]. Déterminer la limite de f1 en +∞.
2[1,5]. On sait qu’une primitive de f1 est de la forme F1(x)= – 3e-2x( ax2+bx+c)
. Déterminer a, b et c.
3[0,5]. En déduire la valeur exacte de I1.
Partie B : étude de la suite ( I n).
On admet que la fonction fn est dérivable sur R et on note f'n sa dérivée.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a[0,5]. Interpréter géométriquement la quantité In.
b[0.5]. Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (In).
2. a[0,25]. Déterminer le signe de fn en fonction de n et de x. 5/60
1. Soit f la fonction définie sur [−1;1] par f(x) =√ 1−x².
a[1]. Étudier les variations de f (on ne demande pas les limites).
b[1]. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en un point A d’abscisse xA.
c[1]. Déterminer les coordonnées du point N, intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.
d[1]. Déterminer les coordonnées du point M, intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées.
2.[4] Dans une salle à manger de 5 m sur 6 m, on a une colonne dont la section a la forme d’un arc de cercle de rayon 1 m, située dans un coin, qui sert à passer les fils électriques, canalisations, etc. (voir figure ci-contre).
On souhaite installer une cloison plane qui cache cette colonne. Mais on veut aussi diminuer le moins possible l'aire de la chambre.
Déterminer, en justifiant la réponse, la position de cette cloison pour obtenir l’aire de la chambre maximale.
Exercice n°5 – 4 pts
On se place dans le plan complexe.
Soit f la transformation qui, à tout nombre imaginaire z non nul, associe le nombre imaginaire f(z) défini par f (z)=5z+ 5
z.
On note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).
1.[1] Calculer f(i) sous forme algébrique.
2.[1] Résoudre, dans l’ensemble des nombres imaginaires, l’équation f(z)=1.
3.[1] Soit M un point du cercle c de centre O et de rayon 1, d’affixe zM . Montrer que f(zM) est un nombre réel.
4.[1] Déterminer l’ensemble des points N d’affixe zN tels que f(zN) est un nombre imaginaire pur.
6/60
Charles BO.
TS - Contrôle n°5
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 – 1 pt
L est une loi uniforme sur [0;4]. 1. Calculer P(X<2).
2. Calculer l’espérance de cette loi.
Exercice n°2 – 1 pt (R.O.C.)
Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.
Exercice n°3 – 10 pts
Soit n un entier naturel non nul.
On considère la suite de fonctions (fn) définies sur l'ensemble R des nombres réels par : fn(x) = 7x2e-2nx.
On note cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite d’intégrales (In ) par : In=
∫0 1
f n(x)dx.
On admettra que lim
x→ +∞x²e−x=0.
Partie A : étude de la fonction f 1.
1. On admet que la fonction f1 est dérivable sur R et on note f'1 sa dérivée.
a[0,5]. Calculer f'1.
b[2]. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.
c[0,5]. Déterminer la limite de f1 en –∞. d[0,5]. Déterminer la limite de f1 en +∞.
2[1,5]. On sait qu’une primitive de f1 est de la forme F1(x)= – 7e-2x( ax2+bx+c)
. Déterminer a, b et c.
3[0,5]. En déduire la valeur exacte de I1.
Partie B : étude de la suite ( I n).
On admet que la fonction fn est dérivable sur R et on note f'n sa dérivée.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a[0,5]. Interpréter géométriquement la quantité In.
b[0.5]. Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (In).
2. a[0,25]. Déterminer le signe de fn en fonction de n et de x. 7/60
1. Soit f la fonction définie sur [−2;2] par f (x) =√ 4−x².
a[1]. Étudier les variations de f (on ne demande pas les limites).
b[1]. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en un point A d’abscisse xA.
c[1]. Déterminer les coordonnées du point N, intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.
d[1]. Déterminer les coordonnées du point M, intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées.
2.[4] Dans une salle à manger de 5 m sur 6 m, on a une colonne dont la section a la forme d’un arc de cercle de rayon 2 m, située dans un coin, qui sert à passer les fils électriques, canalisations, etc. (voir figure ci-contre).
On souhaite installer une cloison plane qui cache cette colonne. Mais on veut aussi diminuer le moins possible l'aire de la chambre.
Déterminer, en justifiant la réponse, la position de cette cloison pour obtenir l’aire de la chambre maximale.
Exercice n°5 – 4 pts
On se place dans le plan complexe.
Soit f la transformation qui, à tout nombre imaginaire z non nul, associe le nombre imaginaire f(z) défini par f (z)=3z+ 3
z.
On note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).
1.[1] Calculer f(i) sous forme algébrique.
2.[1] Résoudre, dans l’ensemble des nombres imaginaires, l’équation f(z)=1.
3.[1] Soit M un point du cercle c de centre O et de rayon 1, d’affixe zM . Montrer que f(zM) est un nombre réel.
4.[1] Déterminer l’ensemble des points N d’affixe zN tels que f(zN) est un nombre imaginaire pur.
8/60
Théo BR.
TS - Contrôle n°5
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 – 1 pt
L est une loi uniforme sur [0;9]. 1. Calculer P(X<3).
2. Calculer l’espérance de cette loi.
Exercice n°2 – 1 pt (R.O.C.)
Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.
Exercice n°3 – 10 pts
Soit n un entier naturel non nul.
On considère la suite de fonctions (fn) définies sur l'ensemble R des nombres réels par : fn(x) = 4x2e-2nx.
On note cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite d’intégrales (In ) par : In=
∫0 1
f n(x)dx.
On admettra que lim
x→ +∞x²e−x=0.
Partie A : étude de la fonction f 1.
1. On admet que la fonction f1 est dérivable sur R et on note f'1 sa dérivée.
a[0,5]. Calculer f'1.
b[2]. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.
c[0,5]. Déterminer la limite de f1 en –∞. d[0,5]. Déterminer la limite de f1 en +∞.
2[1,5]. On sait qu’une primitive de f1 est de la forme F1(x)= – 4e-2x( ax2+bx+c)
. Déterminer a, b et c.
3[0,5]. En déduire la valeur exacte de I1.
Partie B : étude de la suite ( I n).
On admet que la fonction fn est dérivable sur R et on note f'n sa dérivée.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a[0,5]. Interpréter géométriquement la quantité In.
b[0.5]. Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (In).
2. a[0,25]. Déterminer le signe de fn en fonction de n et de x. 9/60
1. Soit f la fonction définie sur [−1,5;1,5] par f(x) =√ 2,25−x².
a[1]. Étudier les variations de f (on ne demande pas les limites).
b[1]. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en un point A d’abscisse xA.
c[1]. Déterminer les coordonnées du point N, intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.
d[1]. Déterminer les coordonnées du point M, intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées.
2.[4] Dans une salle à manger de 5 m sur 6 m, on a une colonne dont la section a la forme d’un arc de cercle de rayon 1,5 m, située dans un coin, qui sert à passer les fils électriques, canalisations, etc. (voir figure ci-contre).
On souhaite installer une cloison plane qui cache cette colonne. Mais on veut aussi diminuer le moins possible l'aire de la chambre.
Déterminer, en justifiant la réponse, la position de cette cloison pour obtenir l’aire de la chambre maximale.
Exercice n°5 – 4 pts
On se place dans le plan complexe.
Soit f la transformation qui, à tout nombre imaginaire z non nul, associe le nombre imaginaire f(z) défini par f (z)=9z + 9
z.
On note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).
1.[1] Calculer f(i) sous forme algébrique.
2.[1] Résoudre, dans l’ensemble des nombres imaginaires, l’équation f(z)=1.
3.[1] Soit M un point du cercle c de centre O et de rayon 1, d’affixe zM . Montrer que f(zM) est un nombre réel.
4.[1] Déterminer l’ensemble des points N d’affixe zN tels que f(zN) est un nombre imaginaire pur.
10/60
Marie BU.
TS - Contrôle n°5
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 – 1 pt
L est une loi uniforme sur [0;8]. 1. Calculer P(X<5).
2. Calculer l’espérance de cette loi.
Exercice n°2 – 1 pt (R.O.C.)
Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.
Exercice n°3 – 10 pts
Soit n un entier naturel non nul.
On considère la suite de fonctions (fn) définies sur l'ensemble R des nombres réels par : fn(x) = 7x2e-2nx.
On note cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite d’intégrales (In ) par : In=
∫0 1
f n(x)dx.
On admettra que lim
x→ +∞x²e−x=0.
Partie A : étude de la fonction f 1.
1. On admet que la fonction f1 est dérivable sur R et on note f'1 sa dérivée.
a[0,5]. Calculer f'1.
b[2]. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.
c[0,5]. Déterminer la limite de f1 en –∞. d[0,5]. Déterminer la limite de f1 en +∞.
2[1,5]. On sait qu’une primitive de f1 est de la forme F1(x)= – 7e-2x( ax2+bx+c)
. Déterminer a, b et c.
3[0,5]. En déduire la valeur exacte de I1.
Partie B : étude de la suite ( I n).
On admet que la fonction fn est dérivable sur R et on note f'n sa dérivée.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a[0,5]. Interpréter géométriquement la quantité In.
b[0.5]. Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (In).
2. a[0,25]. Déterminer le signe de fn en fonction de n et de x. 11/60
1. Soit f la fonction définie sur [−1,5;1,5] par f(x) =√ 2,25−x².
a[1]. Étudier les variations de f (on ne demande pas les limites).
b[1]. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en un point A d’abscisse xA.
c[1]. Déterminer les coordonnées du point N, intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.
d[1]. Déterminer les coordonnées du point M, intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées.
2.[4] Dans une salle à manger de 5 m sur 6 m, on a une colonne dont la section a la forme d’un arc de cercle de rayon 1,5 m, située dans un coin, qui sert à passer les fils électriques, canalisations, etc. (voir figure ci-contre).
On souhaite installer une cloison plane qui cache cette colonne. Mais on veut aussi diminuer le moins possible l'aire de la chambre.
Déterminer, en justifiant la réponse, la position de cette cloison pour obtenir l’aire de la chambre maximale.
Exercice n°5 – 4 pts
On se place dans le plan complexe.
Soit f la transformation qui, à tout nombre imaginaire z non nul, associe le nombre imaginaire f(z) défini par f (z)=2z+ 2
z.
On note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).
1.[1] Calculer f(i) sous forme algébrique.
2.[1] Résoudre, dans l’ensemble des nombres imaginaires, l’équation f(z)=1.
3.[1] Soit M un point du cercle c de centre O et de rayon 1, d’affixe zM . Montrer que f(zM) est un nombre réel.
4.[1] Déterminer l’ensemble des points N d’affixe zN tels que f(zN) est un nombre imaginaire pur.
12/60
Justine BU.
TS - Contrôle n°5
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 – 1 pt
L est une loi uniforme sur [0;2]. 1. Calculer P(X<1).
2. Calculer l’espérance de cette loi.
Exercice n°2 – 1 pt (R.O.C.)
Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.
Exercice n°3 – 10 pts
Soit n un entier naturel non nul.
On considère la suite de fonctions (fn) définies sur l'ensemble R des nombres réels par : fn(x) = 9x2e-2nx.
On note cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite d’intégrales (In ) par : In=
∫0 1
f n(x)dx.
On admettra que lim
x→ +∞x²e−x=0.
Partie A : étude de la fonction f 1.
1. On admet que la fonction f1 est dérivable sur R et on note f'1 sa dérivée.
a[0,5]. Calculer f'1.
b[2]. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.
c[0,5]. Déterminer la limite de f1 en –∞. d[0,5]. Déterminer la limite de f1 en +∞.
2[1,5]. On sait qu’une primitive de f1 est de la forme F1(x)= – 9e-2x( ax2+bx+c)
. Déterminer a, b et c.
3[0,5]. En déduire la valeur exacte de I1.
Partie B : étude de la suite ( I n).
On admet que la fonction fn est dérivable sur R et on note f'n sa dérivée.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a[0,5]. Interpréter géométriquement la quantité In.
b[0.5]. Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (In).
2. a[0,25]. Déterminer le signe de fn en fonction de n et de x. 13/60
1. Soit f la fonction définie sur [−1,5;1,5] par f(x) =√ 2,25−x².
a[1]. Étudier les variations de f (on ne demande pas les limites).
b[1]. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en un point A d’abscisse xA.
c[1]. Déterminer les coordonnées du point N, intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.
d[1]. Déterminer les coordonnées du point M, intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées.
2.[4] Dans une salle à manger de 5 m sur 6 m, on a une colonne dont la section a la forme d’un arc de cercle de rayon 1,5 m, située dans un coin, qui sert à passer les fils électriques, canalisations, etc. (voir figure ci-contre).
On souhaite installer une cloison plane qui cache cette colonne. Mais on veut aussi diminuer le moins possible l'aire de la chambre.
Déterminer, en justifiant la réponse, la position de cette cloison pour obtenir l’aire de la chambre maximale.
Exercice n°5 – 4 pts
On se place dans le plan complexe.
Soit f la transformation qui, à tout nombre imaginaire z non nul, associe le nombre imaginaire f(z) défini par f (z)=7z + 7
z.
On note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).
1.[1] Calculer f(i) sous forme algébrique.
2.[1] Résoudre, dans l’ensemble des nombres imaginaires, l’équation f(z)=1.
3.[1] Soit M un point du cercle c de centre O et de rayon 1, d’affixe zM . Montrer que f(zM) est un nombre réel.
4.[1] Déterminer l’ensemble des points N d’affixe zN tels que f(zN) est un nombre imaginaire pur.
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Fabien CA.
TS - Contrôle n°5
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 – 1 pt
L est une loi uniforme sur [0;1]. 1. Calculer P(X<1).
2. Calculer l’espérance de cette loi.
Exercice n°2 – 1 pt (R.O.C.)
Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.
Exercice n°3 – 10 pts
Soit n un entier naturel non nul.
On considère la suite de fonctions (fn) définies sur l'ensemble R des nombres réels par : fn(x) = 2x2e-2nx.
On note cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite d’intégrales (In ) par : In=
∫0 1
f n(x)dx.
On admettra que lim
x→ +∞x²e−x=0.
Partie A : étude de la fonction f 1.
1. On admet que la fonction f1 est dérivable sur R et on note f'1 sa dérivée.
a[0,5]. Calculer f'1.
b[2]. Étudier les variations de la fonction f1 sur R.
c[0,5]. Déterminer la limite de f1 en –∞. d[0,5]. Déterminer la limite de f1 en +∞.
2[1,5]. On sait qu’une primitive de f1 est de la forme F1(x)= – 2e-2x( ax2+bx+c)
. Déterminer a, b et c.
3[0,5]. En déduire la valeur exacte de I1.
Partie B : étude de la suite ( I n).
On admet que la fonction fn est dérivable sur R et on note f'n sa dérivée.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a[0,5]. Interpréter géométriquement la quantité In.
b[0.5]. Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (In).
2. a[0,25]. Déterminer le signe de fn en fonction de n et de x. 15/60
