Correction DS n°03 – 1ère S - vendredi 25 novembre 2016 Exercice 1 :
Partie A : 1.
Sensibilité constatée
340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460
Effectifs 3 8 12 41 99 195 285 193 98 43 12 9 2
Effectifs cumulés croissants
3 11 23 64 163 358 643 836 934 977 989 998 1000
2. 𝑁 = 1000 𝑄1 : 𝑁
4 = 250 donc 𝑄1= 250𝑖è𝑚𝑒𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 = 390 𝑄3:3𝑁
4 = 750 donc 𝑄3= 750𝑖è𝑚𝑒𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 = 410
𝑁
2 = 500 𝑒𝑡𝑁
2+ 1 = 501 donc 𝑀𝑒 =500𝑖è𝑚𝑒𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟+501𝑖è𝑚𝑒𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟
2 =400+400
2 = 400 3. 𝑥 =340×3+350×8+⋯+2×460
1000 ≈ 400.01 𝜎 = √ 1
1000(3 × 3402+ 8 × 3502+ ⋯ + 2 × 4602) − 400.01² ≈ 17.09
4. [𝑥 − 2𝜎 ; 𝑥 + 2𝜎 ] = [400.01 − 2 × 17.09 ; 400.01 + 2 × 17.09] = [365.92; 434.19]
On décompte alors les pellicules d’une sensibilité comprise entre 370 et 430 : 41 + 99 + 195 + 285 + 193 + 98 + 43 = 954
Donc 1000954 × 100 = 95.4
L’intervalle [𝑥 − 2𝜎 ; 𝑥 + 2𝜎 ] contient 95.4% des valeurs. Ce lot est donc fiable.
5.
a) Faux : entre 390 et 420 , il y a : 195 + 285 + 193 + 98 = 771 donc 771
100× 100 = 77.1 Donc 77.1% des valeurs sont comprises entre 3980 et 420.
b) Vrai car 𝑀𝑒 = 400 et par définition, 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane.
Partie B :
Le fabricant K a une production plus homogène que le fabricant F car l’écart type K (17.09 ) est inférieur à l’écart- type F (22.47) , ainsi les valeurs de K sont plus regroupées autour de la moyenne que les valeurs de F.
On remarque également que les sensibilités du fabricant F sont plus étendues (entre 350 et 500) que celles du fabricant K (entre 350 et 460).
Le fabricant F a une moyenne de 400.01 contre 408 pour le fabricant K. La norme est de 400.
Le fabricant F semble donc le plus fiable.
Exercice 2 :
1.
a) 2 × (−3) + 3 × 5 − 9 = −6 + 15 − 9 = 0 donc 𝐴 ∈ 𝑑1
−3 × (−3) + 2 × 5 − 19 = 9 + 10 − 19 = 0 donc 𝐴 ∈ 𝑑2 b) 𝑢⃗⃗⃗⃗ : (1 𝑏
−𝑎) : ( 3
−2) 𝑒𝑡 𝑢⃗⃗⃗⃗ : (2 2 3) c) Graphique.
2.
a) Graphique
b) 𝑑3 est parallèle à 𝑑1 donc 𝑢⃗⃗⃗⃗ : (1 3
−2) est un vecteur directeur de 𝑑3. On sait que 𝑑3 passe par C.
𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ 𝑑3 ⇔ 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑢⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires avec 𝐶𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : (𝑥 − 2 𝑦 + 7)
⇔ 3(𝑦 + 7) − (−2)(𝑥 − 2) = 0
⇔ 3𝑦 + 21 + 2𝑥 − 4 = 0
⇔ 2𝑥 + 3𝑦 + 17 = 0 3.
a) Graphique
b) 𝑑2𝑒𝑡 𝑑4 semblent parallèles.
Preuve : 𝑑2 est dirigée par : 𝑢⃗⃗⃗⃗ : (2 2 3) 𝑑4 est dirigée par : 𝑢⃗⃗⃗⃗ : (4 1
3 2
) car 𝑦 =3
2𝑥 − 10 ⇔ 3
2𝑥 − 𝑦 − 10 = 0 Et 𝑥𝑦′− 𝑥′𝑦 = 2 ×3
2− 1 × 3 = 3 − 3 = 0 (ou on remarque que 𝑢⃗⃗⃗⃗ = 2𝑢2 ⃗⃗⃗⃗ .) 4
Donc 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑢2 ⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et les droites 𝑑4 2𝑒𝑡 𝑑4 sont parallèles 4. On sait que 𝑑2𝑒𝑡 𝑑4 sont parallèles et 𝑑1 𝑒𝑡 𝑑3 sont parallèles.
On sait que 𝑑1 𝑒𝑡 𝑑2 sont sécantes en A.
Ainsi le quadrilatère a ses côtés opposés parallèles.
Or un quadrilatère ayant les côtés opposés parallèles est un parallélogramme.
Donc le quadrilatère est un parallélogramme.
5.
a)
{−3𝑥 + 2𝑦 − 19 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 17 = 0 ⇔ {−6𝑥 + 4𝑦 − 38 = 0
6𝑥 + 9𝑦 + 51 = 0 ⇔ { 13𝑦 + 13 = 0
6𝑥 + 9𝑦 + 51 = 0 ⇔ { 𝑦 = −1
6𝑥 = −51 + 9⇔ {𝑦 = −1 𝑥 = −7 donc 𝐵: (−7; −1)
b) {𝑥𝐸 =𝑥𝐴+𝑥𝐶
2 =−3+2
2 = −1
2
𝑦𝐸=𝑦𝐴+𝑦𝐶
2 = 5−7
2 = −1 donc 𝐸: (−12; −1)
c) ABCD est un parallélogramme si et seulement si [AC] et [BD] ont même milieu c’est-à-dire : si et seulement si 𝐸 est le milieu de [BD] .
{𝑥𝐸=𝑥𝐵+𝑥2 𝐷
𝑦𝐸 =𝑦𝐵+𝑦2 𝐷 ⇔ {−12=−7+𝑥2 𝐷
−1 =−1+𝑦𝐷
2
⇔ {−1 = −7 + 𝑥𝐷
−2 = −1 + 𝑦𝐷 ⇔ {−1 + 7 = 𝑥𝐷
−2 + 1 = 𝑦𝐷⇔ { 𝑥𝐷 = 6 𝑦𝐷 = −1 Donc 𝐷: (6; −1)
6. 𝐴𝐶 = √(2 + 3)2+ (−7 − 5)2= √25 + 144 = √169 = 13 𝐵𝐷 = √(6 + 7)2+ (−1 + 1)2= √169 = 13
Ainsi le parallélogramme ABCD a des diagonales de même longueur.
Donc ABCD est un rectangle.
