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SL S L5 5: : N N u u mé m ér ri is sa at ti io on n
1. 1 . p pa as s sa s ag ge e d d’ ’u un n s si ig gn na al l a an na al lo og gi iq qu ue e à à u un n s s ig i g n n al a l n n um u mé ér ri iq q ue u e
1. architecture d’une chaine de calcul numérique Schéma :
x(t) ECH CAN µP CNA Filtre de restitution y(t) x(nTe) xn yn y(nTe)
La conversion analogique numérique consiste à transformer un signal temporel continu s(t) à valeurs réelles en une collection de points {sn ; n = 0,1,…,N} dont les valeurs sont codées en binaire.
Cette conversion se décompose en deux étapes :
- La phase de l’échantillonnage : on prélève le signal à des intervalles de temps réguliers (déterminés par Te : période d’échantillonnage)
- La phase de quantification, où la valeur numérique réelle du point considéré est convertie en valeur binaire.
2. Echantillonnage
On appelle période d’échantillonnage Te l’intervalle de temps au bout duquel un nouveau point est prélevé sur le signal temporel.
u(t) u(nTe) pour n = 0,1,…,N
Signal d'origine u(t)
t 0
exemple : on considère un signal sinusoïdal, d’amplitude 5V et de fréquence 1kHz. Ce signal est échantillonné à une période Te=0.1 ms. Déterminer les valeurs des 5 premiers points :
u0 = u(0*Te) = 5*sin(0) = 0V
u1=u(1*Te) = 5*sin(2π*1000*0,1.10-3) = … u2=
u3 = u4=
2 3. blocage et conversion
La 2ème étape consiste à bloquer le signal pendant une durée τ, pour laisser au CAN le temps de convertir l’échantillon en une donnée numérique.
2. 2 . s sp p ec e ct tr re e d d ’ ’ un u n s s ig i g n n al a l é éc ch ha an nt ti il ll lo on n né n é
1. principe
fonction de Dirac: la fonction de Dirac, notée δ(t), correspond à une impulsion centrée sur t=0 dont la largeur tend vers 0.
représentation de δ(t) représentation de δ(t-Te) pour Te = 0.1ms
peigne de Dirac :
on appelle peigne de Dirac la juxtaposition de pics de Dirac espacés d'une période d'échantillonnage Te .
cette fonction se note :
y = ∞𝑛=−∞𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑒)
Echantillonner le signal x(t) revient en le multipliant par une fonction f(t) appelée "peigne de Dirac" : x*(t) = 𝑁𝑛=0𝑥(𝑛𝑇𝑒) = x(t)× 𝑁𝑛=0𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑒)
fonction peigne de Dirac
et bloqué
3
Um
On peut approximer le peigne de Dirac par une fonction f(t) constituée d'une succession
d’impulsions de hauteur A f(t)
et de largeur ε, tels que Aε=1.
2. conséquences sur le spectre
calcul du spectre de f(t) :
f(t) est paire, et périodique de période Te : elle admet donc un développement en série de Fourier de la forme : 𝑓 𝑡 = 𝐴0+ +∞𝑛=1𝐴𝑛𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑛𝐹𝑒𝑡)
avec A0 = <f(t)> = 1
𝑇𝑒× 𝐴𝜀 = 1
𝑇𝑒
𝐴𝑛 = 2
𝑇𝑒 + 𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 =
𝑇 2
−𝑇2
2
𝑇𝑒 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝐹𝑒𝑡 𝑑𝑡 =2𝐴
𝑇𝑒
𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑛 𝐹𝑒𝑡 2𝜋𝑛 𝐹𝑒 −𝜀
2 +𝜀2 +𝜀
2
−𝜀2
An =2𝐴
𝑇𝑒
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛 𝐹𝑒𝜀
𝜋𝑛 𝐹𝑒 =2𝐴𝜀
𝑇𝑒
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛 𝐹𝑒𝜀 𝜋𝑛 𝐹𝑒𝜀 = 2
𝑇𝑒𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜋𝑛𝐹𝑒𝜀) rappel: 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑥 =𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥
si ε → 0, sinc(πnFeε) → 1, donc An → 2
𝑇𝑒
finalement : 𝑓 𝑡 = 1
𝑇𝑒+ 2
𝑇𝑒 +∞𝑛=1𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝐹𝑒𝑡
spectre d'une sinusoïde échantillonnée :
On considère un signal sinusoïdal de fréquence f0 et d'amplitude Um : u(t) = Um sin(2πf0t) On obtient son échantillonnage en le multipliant par f(t)
u*(t) = 𝑈𝑚
𝑇𝑒 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓0𝑡 +2𝑈𝑚
𝑇𝑒 +∞𝑛=1𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛𝐹𝑒𝑡 × 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑓0𝑡 cos a×sin b = 1
2 (sin(a+b) - sin(a-b))
cos(2πnFet)×sin(2πf0t)= 1
2[sin(2π(nFe+f0)t) - sin(2π(nFe-f0)t)]
Considérons un signal sinusoïdal x(t) = Umsin(2πf0t + φ). X(f)
Il possède le spectre ci-contre :
Um
On échantillonne ce signal à la fréquence 𝐹𝑒 = 1
𝑇𝑒
on montre que le spectre de x* est alors composé
des fréquences suivantes : f0;Fe– f0; Fe+ f0; 2Fe– f0; 2Fe+ f0; …
X*(f)
A
4
Echantillonner un signal provoque une périodisation du spectre : la fréquence f0 du signal se répète autours des fréquences multiples de la fréquence d'échantillonnage Fe.
exercice :
• dessiner le spectre d'un signal sinusoïdal de fréquence 200Hz, échantillonné à Fe=1kHz
• même question si le signal de départ a un spectre étendu entre 0 et 300Hz
3. problème de repliement spectral
Si l'on considère un signal x(t) de spectre étendu dont la fréquence est comprise entre 0 et fM, alors son échantillonnage conduira au spectre suivant :
Un problème survient lorsque fM > Fe– fM : il se produit une superpositions des séquence du spectre échantillonné. C'est le phénomène de repliement spectral, qui conduit à une dégradation du signal échantillonné.
critère de Shannon : pour éviter le repliement, il faut toujours veiller à conserver fM < Fe– fM
soit Fe > 2 fM
La fréquence d'échantillonnage doit toujours être supérieure au double de la fréquence maximum du signal à échantillonner.
Exemples :
- en téléphonie : Fmax = 3kHz et Fe = 8kHz
chaque échantillon est codé sur 8 bits ce qui donne un débit de 8 ×8000 = 64 kbits/s . - Son hi-fi : Fmax = 20kHz et Fe = 44,1kHz
chaque échantillon pour une voie ( stéréo ) est codé sur 16 bits, ce qui donne un débit de 16×2 ×44100 = 1,41 Mbits/s .
filtre anti-repliement
Pour d'éviter le repliement, il convient d'utiliser un filtre avant de réaliser l'échantillonnage, afin de couper toute fréquence inférieure à 𝐹𝑒
2.
Un filtre anti-repliement est donc un filtre passe bas, avec une fréquence de coupure autour de 𝐹𝑒
2.
5 4. effet du blocage
Pour laisser le temps au convertisseur de transformer la valeur analogique en numérique, on réalise le blocage sur une durée τ. Cela se traduit au niveau du spectre par une multiplication par la fonction :
𝐵(𝑓) = 𝜏|𝑠𝑖𝑛 (𝜋𝑓𝜏 )|
𝜋𝑓𝜏
Le spectre d'un signal échantillonné sur une période Te, avec un temps de blocage , a donc la forme suivante :
3. 3 . Q Qu ua an nt ti if fi ic ca at ti io on n
1. Pas de quantification
Un CAN (Convertisseur Analogique Numérique) permet de coder les valeurs successives d’un signal réel en données binaires (sur un nombre N de bits)
Exemple : un signal peut varier de 0 à 4 V. On veut le coder sur 2 bits.
Quelles seront les valeurs possibles ?
Pas de quantification ou quantum : il s’agit de l'intervalle de tension auquel correspond un même nombre binaire : Pour un signal analogique compris entre Vmin et VMAX
𝑞 =𝑉𝑀𝐴𝑋−𝑉𝑚𝑖𝑛
2𝑁−1 (2𝑁 est appelé la résolution du convertisseur)
Exemple : à partir du signal échantillonné p1 :
Donner le codage des points précédents si on les converti avec un CNA 8 bits : calcul du quantum: q = ∆𝑉
2𝑁−1 = 10
255 = 0.0392 V calcul du niveau correspondant : xn = 𝑒𝑛−𝑉𝑚𝑖𝑛
∆𝑉 × (2𝑁 − 1) codage du niveau en binaire
0 f0 1/τ 2/τ
6 2. bruit de quantification
L’erreur ε(t) résultant de la numérisation se mesure par la différence entre le signal analogique de départ et le signal quantifié :
ε(t) = u(t) - uech(t)
L’amplitude crête à crête de ε(t) est égale au quantum q calculé au 1.
plus le nombre de bits N est important, plus l’erreur est faible.
On peut considérer 2 types de quantification : - par défaut :
calcul de la puissance du bruit : 𝑃 = 𝐸𝑒𝑓𝑓2 = < 𝜀²(𝑡) >= 𝑞²
3 (calculé pour une résistance R=1Ω)
- centrée :
puissance de ε(t) :
𝑃 = < 𝜀²(𝑡) >= 𝑞² 12
3. rapport signal sur bruit
C’est le rapport, exprimé en dB, entre la puissance du signal et celle du bruit :
𝑟 = 10 𝑙𝑜𝑔𝑈𝑒𝑓𝑓2 𝑃𝜀
ε(t)
ε(t)
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Remarque : la puissance du bruit étant normalement inférieure à celle du signal, le rapport signal sur bruit est négatif.
Exemple : calculer le rapport signal sur bruit pour un signal sinusoïdal de 1V, échantillonné sur 8bits.
(avec une quantification centrée)
