Sur le théorème d'Eisenstein (extrait d'une lettre à M. Hermite)

(1)

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

F. G

OMES

T

EIXEIRA

Sur le théorème d’Eisenstein (extrait d’une lettre à M. Hermite)

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 3 (1886), p. 389-390

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(2)

SUR LE

THÉORÈME D ' E I S E N S T E I N ,

PAR M. F. GOmS TEIXEIRA,

ANCIEN PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE COÏMBRE, PROFESSEUR A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE PORTO.

Extrait d'une Lettre à M. HERMITE.

Permettez que je vous présente une démonstration du théorème d'Eisenstein et du théorème plus général énoncé d a n s ma Lettre précédente. Elle est très élémentîxire et je serais bien heureux si elle méritait votre h a u t e a p p r o b a t i o n .

Soit y une fonction algébrique de oo définie par l'équation a coeffi- cients entiers

VA^ ^y°=o.>a ^fb -

Si l'on dérive cette équation n fois au moyen de la formule de Leibnitz, on trouve le résultat symbolique

yA^+^y^^o.

En remarquant m a i n t e n a n t que les dérivées de o(f d'ordre supé- rieur à ci sont nulles, que les dérivées d'ordre inférieur à û s'an- n u l e n t pour x -==- o et que la dérivée d'ordre (t est i . 2 . . .û, il v i e n t

\Kn {n -1)... {n - a + i ) (y6)^5^ ot

En a p p l i q u a n t une autre fois la formule de Leibnitz au produite,

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3q0 F. GOMES TEIXEmA. — SUR LE PROBLÈME D^EÎSENSTEIN.

cette équation mène au résultat symbolique

y A . ( « - i ) . . . ( « - a - ^ ) S ...(n-aW^...^

^ v / v ' u i. 2 . . • y. x i. - 2 . . . (3 x . . . x i. 2 . . . À où S représente une somme qui se rapporte à toutes les solutions en- tières et positives de l'équation

^ .^. p 4- y 4-... -|» \ = /^ — a^

et où le nombre des quantités a, (5, y, ..., X est égal à b.

Si l'on sépare m a i n t e n a n t dans cette équation les termes qui con- tiennent la dérivée y^\ on trouve un résultat de la forme suivante

V^ r< v(y.'i -v(P) r^ V r^

y A C —2—— _lo ... _ ! — — + > A & j "1 —^— =o;

^ 0 x . 2 . . . a r . 2 . . . (3 i . 2 ... À ^j •/ ° i . s . . . n

d'où résulte

V A Q .^⁾ _2i_

^ÎL^-^-^^^

ï . î? ... n ^

.L

^yr

De cette formule on tire les conclusions suivantes :

I. Si une fonction, définie d^une manière quelconque, qui prend une valeur rationnelle yo P^^ x == o, satisfait à une équation algé-

y W

brique à coefficients entiers^ le dénominateur de —ï . 'i-î • * . îtf1-0—- ne peut pas contenir des facteurs premiers différents de ceux qui entrent dans les

y ( / / - n y ( / î " 2 )

dénominateurs de——°———5 —•-J—-——? • •t et de ceux qui entrent

i . 2 . . . n — x ï . 2 .. . n — 2 '

dans le numérateur deVAè^"1, et le nombre de ces facteurs est par conséquent limité.

II. Le théorème précédent contient le théorème d^Eisenstein* Alors la fonction y est définie par une série ordonnée suivant les puissances

de x.