Note sur la détermination des homologies par les carrés exacts

(1)

D ^IAGRAMMES

R. G ^UITART

L. V ^AN D ^EN B ^RIL

Note sur la détermination des homologies par les carrés exacts

Diagrammes, tome 6 (1981), exp. n^o3, p. GV1-GV7

<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1981__6__A3_0>

L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions gé- nérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi- chier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

(2)

NOTE SUR LA DETERMINATION DES HOMOLOGUES PAR

LES .CARRES EXACTS.

R. Guitart et L. Van den Bril

lt Rappels. Dans une catégorie abélienne A une O-suite est un diagramme A >X >B où v.u = 0 , i.e. im u c: ker v.

La O-suite (u,v) est dite exacte si et seulement si im u = ker vj sinon son défaut d'exactitude est mesuré par H(u,v) = ker v / im u, objet de A appelé homologie de (u,v).

La catégorie Rel A des relations additives de A a pour objets ceux de A et pour morphismes de A vers B les sous-objets R > A © B i la composition de R avec S > B © C est

donnée par S .R > A & C , avec s

" (a,c) € S.R si et seulement si il existe b €B tel que (a,b) € R et (b,c) € S ".

La symétrie A © B — > B ® A permet df associer à toute relation R de A vers B la relation opposée R° , et ainsi Rel A est une catégorie à involution. En particulier, dans Rel A il y a identi- té entre les sous-objets de X et les quotients de X, et un sous- objet S de X dans Rel A est la même chose qu'un sous-objet dfun quotient de X dans A , ou un quotient d'un sous-objet (voir {l} 9 {3} et (4))1 S>—\—>X peut se représenter par s

(3)

GV 2

7 'f^

ce carré étant bicartésien. Autrement dit, les quotients (i.e. les sous-objets) de X dans Rel A sont exactement les homologies H(u,v), puisque l'on a s

soit

H

u ->x ^->B

avec, en notation "ponctuelle" ,

X x H Z2 b = \ (x,c) $ vx = 0 et x mod im u = c \ . En fait, o n a h.u = 0 et^ v.h° = 0, et_ (voir {4 \ ) h est univer-

selle pour cette propriété s soit r s X —\— > L une relation telle que r.u = 0 et v.r° = 0 , alors il existe une unique r : H — } — > L appartenant à Rel A telle que r = r.h . En effet, si (x,d) 6 r, alors vx = 0, donc r est définie par sa valeur sur ker v % de plus, si x € im u , r(x ) = 0, donc r ne dépend de x que modulo im u , et factorise par H .

Enfin (voir par exemple .{3} ) un carré exact de A est un carré commutâtif

X

-S» Y

U ->B

(noté s S

U

^{->V )}

tel que la suite

A

(s£2

> X @ Y

<u

^iZ

v>

^{> B}

soit exacte, ou bien, ce qui est équivalent, tel que S.T° <* U°.V dans Rel A. On sait aussi (£2}) décrire inversement Rel A à l'aide

(4)

de A et des carrés exacts dans A . L ' e x a c t i t u d e de S T

U

d'une manière non additive : le carré S et seulement si pour tout carré

N

> V peut finalement se tester T

U

-> V est exact si

M X

> Y

V ->T satisfaisant les égalités

U.M = V.N et F.S = G.T , on a 2 F.M = G.N .

2. Lemme. Dans une catégorie abélienne un carré s est exact si et seulement si on a (i) et (ii) s

(i) ker t -> ker u est un épimorphisme, (ii) coker t -> coker u est un monomorphisme Preuve. Supposons d'abord le carré exact. On a donc

A £ > Y

S

ex.

u ex.

-> B

-> coker u -> coker u

u

^{-> v}

donc, ker(b.e) = im t = ker e , donc e (0) = e (ker b) , et comme e est un épi, ker b = 0 , et b est un monomorphisme.

On obtient (i) de manière duale.

Réciproquement, supposons (i) et (ii), et montrons que s > v est exact. Pour cela, considérons la figure suivante s

u

(5)

GV 4

1 2 ker t> ^ — > A ^-i> .> H — > y

ker u>- ->X -> B

-> coker t V

•^coker u

~ T — 2

u u

n

2 1 2 1

dans laquelle t .t = t et u

0

u = u , et soit m s Z > X n s Z > Y , f s X > T , g s Y > T . Si u.m = v.n , on a

2 g.u.m = g.v.n , 0 = b.p.n , 0 = p.n , n = t .h .

Si f.s = g.t , on a f.s.i = g.t.i , f.j.a = 0 , f.j = 0 , f = l.u . 1 2 2 1

Alors , f.m = l.u .m et g.n = g.t^h . Or, u.m = u .u .m = v.n = 2 2 1

v.t .h = u .k.h , d

f

où u .m = k.h.

D'autre part, g.t = g . t

2

^

1

= f.s = l.u

1

.s = l.k.t

1

, d'où g.t

2

= l.k.

On conclut que f.m = l.k.h = g.n .

Remarque 1. On utilise en fait seulement les conditions suivantes de la figure s

- a est épi et b est mono, - t.i = 0 et q.u = 0 ,

- A — £ — > Y 2 — > . et . J — > x > B sont exactes, Remarque 2. Du lemme résulte aussitôt que les carrés exacts se composent.

Remarque 3. Du lemme résulte aussitôt que si s > v est exact (par exemple si c'est un pull back ou un push out) et si u est un épi, alors t est un épi. Et de même si s > v est

u exact et si t est un mono, alors u est un mono.

3. Théorème. Dans une catégorie abélienne les 0-suites

A — > X ^ — > B et C > Y £ — > D ont même homologie

si et seulement si il existe un diagramme du type suivant ?

(6)

"

> A

1

<

h

•> ... A

u ex. ex. ex.

n

^{•> C}

ex.

X -> x

^x

<- *2

-> ... X

v ex.

V

-> Bj <-

ex. j ex.

V B.

n ex.

-> ... B

n

^{-> D} Preuve. Soit H = ker v / im u . On a alors :

A<- u

-> 0

ex. ex.

X <- ker v -> H

U ex. ^ex.

^{-> 0}

Les quatre exactitudes indiquées résultent aisément d'une vérifica- tion utilisant le lemme du n° 2.

On obtient de même un diagramme "exact" de (f,g) vers H = ker g / im f .

Pour la réciproque, on montre que si I et II sont exacts:

-> C

alors ker v / im u est égal (mod s) à ker g / im f . E n effet, on a, d1après le n° 1 ;

(7)

GV 6

Comme s" est le ker de II et que II est exact, s est un épi, et s aussi, et comme sf est le coker de I et que I est exact, s* est un mono, et s aussi.

Remarque 1. Si dans une catégorie abélienne A on se donne une classe E de O-suites appelées axiomatiquement "suites E-exactes"

le lemme du n° 2 produit alors une description des carrés E-exacts correspondant ,et puis le théorème du n° 3 indique la définition de la E-homologie des O-suites. Pour que cette E-homologie soit

"bonne" , il faut imposer à E des axiomes qui ne seront pas discu- tés ici •

Remarque 2. Soit X^- topologiques. Pour que H(X) —

-> Y une inclusion entre espaces -> H (Y) soit un isomorphisme, il suffit que pour toute chaîne singulière c € /\ ...Y , la condition

En effet, ceci signifie, compte â c € /\ X entraîne

Q q

tenu du lemme du n° 2, que le carré suivant est exacts

c e Vi ^x

* q+lX> -

4 q \l

X >

-> A ..Y

i q+1

X a

ou encore, que le carré "renversé" , obtenu en renversanthorizontales et verticales, est exact. On conclut en utilisant le théorème, dont on voit ainsi, sur un exemple, la manière d'être utilisé en topologie.

(8)

4. Références.

{1} M.GRANDIS,

{2) R.GUITART,

S o u s - q u o t i e n t s et r e l a t i o n s i n d u i t e s dans l e s c a t é g o r i e s e x a c t e s ,

Cahiers de Top. et Géo. D i f f . , X X I I , 3 , 1981, pp. 231-238.

R e l a t i o n s e t carrés e x a c t s , Ann.SC.Math. Québec, IV-2, 1980, pp. 103-125.

{3} P.HILTON, Correspondents and exac squares, Proc.Conf.on Cat.alg., La Jolla

Springer, 1966.

{4} V.ZOBERLEIN, Spectral séquences and bi-Grothendieck filtrations, Oberwolfach,Kategorien, 33, 1975, pp. 107-109.

Note sur la détermination des homologies par les carrés exacts

D IAGRAMMES

R. G UITART

L. V AN D EN B RIL

Note sur la détermination des homologies par les carrés exacts

7 'f^

H

u ->x ->B

X

U ->B

U

(s£2

<u

v>

U

U

M X

> Y

ex.

u ex.

u

GV 4

1 2 ker t> ^ — > A ^-i> .> H — > y

ker u>- ->X -> B

-> coker t V

•^coker u

~ T — 2

u u

2 1 2 1

dans laquelle t .t = t et u

u = u , et soit m s Z > X n s Z > Y , f s X > T , g s Y > T . Si u.m = v.n , on a

2 g.u.m = g.v.n , 0 = b.p.n , 0 = p.n , n = t .h .

Si f.s = g.t , on a f.s.i = g.t.i , f.j.a = 0 , f.j = 0 , f = l.u . 1 2 2 1

Alors , f.m = l.u .m et g.n = g.t^h . Or, u.m = u .u .m = v.n = 2 2 1

v.t .h = u .k.h , d

où u .m = k.h.

D'autre part, g.t = g . t

^

= f.s = l.u

.s = l.k.t

, d'où g.t

= l.k.

On conclut que f.m = l.k.h = g.n .

Remarque 1. On utilise en fait seulement les conditions suivantes de la figure s

- a est épi et b est mono, - t.i = 0 et q.u = 0 ,

- A — £ — > Y 2 — > . et . J — > x > B sont exactes, Remarque 2. Du lemme résulte aussitôt que les carrés exacts se composent.

Remarque 3. Du lemme résulte aussitôt que si s > v est exact (par exemple si c'est un pull back ou un push out) et si u est un épi, alors t est un épi. Et de même si s > v est

u exact et si t est un mono, alors u est un mono.

3. Théorème. Dans une catégorie abélienne les 0-suites

A — > X ^ — > B et C > Y £ — > D ont même homologie

si et seulement si il existe un diagramme du type suivant ?

"

1

h

u ex. ex. ex.

n

ex.

X -> x

<- *2

n ex.

n

A<- u

ex. ex.

U ex. ex.

c e Vi x

4 q \l

-> A ..Y

X a

D ^IAGRAMMES

R. G ^UITART

L. V ^AN D ^EN B ^RIL

u ->x ^->B

U ex. ^ex.

c e Vi ^x