Processus stochastiques

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stochastiques

Processus stochastiques Filtration Temps d’arrêt Références

Les processus stochastiques

80-646-08 Calcul stochastique

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

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stochastiques

Processus stochastiques

Filtration Temps d’arrêt Références

Processus stochastiques

Dé…nition

De…nition

Dé…nition. Soit (_Ω,F), un espace probabilisable. Un processus stochastique

X = f^X^t ^:^t 2 T g

est une famille de variables aléatoires, toutes construites sur le même espace probabilisable(_Ω,F)oùT représente un ensemble d’indices.

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stochastiques

Processus stochastiques Filtration

Dé…nitions Exemple

Temps d’arrêt Références

Filtration I

Dé…nitions

De…nition

Dé…nition. Une famille F=fF^t ^:^t 2 T g de tribus deΩ est une…ltration sur l’espace probabilisable (_Ω,F)si

(F1) 8^t 2 T^,F^t F^,

(F2) 8^t¹^,^t²2 T ^{tels que} ^t¹ ^t²^,F^t1 F^t2.

De…nition

Dé…nition. Un processus stochastique X = f^X^t ^:^t 2 T g^est adapté à la …ltrationF =fF^t ^:^t 2 T g^si

8^t 2 T^,^X^t ^est F^t ^mesurable.

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Filtration II

Dé…nitions

De…nition

Dé…nition. La …ltrationF=fF^t ^:^t 2 T g ^{est dite} ^engendrée par le processus stochastiqueX = f^X^t ^:^t 2 T g^si

8^t 2 T^,F^t =σf^X^s ^:^s 2 T^,^s ^tg^.

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Filtration I

Exemple

Exemple¹. Supposons que l’ensemble fondamental est Ω=f^ω¹^,^ω²^,^ω³^,^ω⁴g^{et que} T = f^0,^1,^2,³g. Le processus stochastiqueX = f^X^t ^:^t 2 f^0,^1,^2,³gg représente l’évolution du prix d’une action,X_t = le prix de l’action à la fermeture de la bourse aut ième jour, l’instantt =0 représentant

aujourd’hui.

ω X0(ω) X1(ω) X2(ω) X3(ω) ω1 1 0,50 1 0,50 ω2 1 0,50 1 0,50

ω3 1 2 1 1

ω4 1 2 2 2

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Filtration II

Exemple

Question. Quelle est la …ltration engendrée par ce processus stochastique?

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Filtration III

Exemple

ω X₀(ω) X₁(ω) X₂(ω) X₃(ω) ω1 1 0,50 1 0,50 ω2 1 0,50 1 0,50

ω3 1 2 1 1

ω4 1 2 2 2

Réponse.

F⁰ = σf^X⁰g=f?^,^Ωg^,

F¹ = σf^X⁰^,^X¹g=σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³^,^ω⁴gg^, F² = σf^X⁰^,^X¹^,^X²g= σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³g^,f^ω⁴gg^, F³ = σf^X⁰^,^X¹^,^X²^,^X³g=σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³g^,f^ω⁴gg^.

Notons que toute tribuF contenant la sous-tribuF3 rendX₀,X₁,X₂ et X3 F mesurables.

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Filtration IV

Exemple

Rappel :

F0 = σf^X0g=f?^,^Ωg^,

F1 = σf^X0,X₁g=σff^ω1,ω₂g^,f^ω3,ω₄gg^, F² = σf^X⁰^,^X¹^,^X²g=σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³g^,f^ω⁴gg^, F³ = σf^X⁰^,^X¹^,^X²^,^X³g=σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³g^,f^ω⁴gg^. Interprétation. Ωreprésente les états de la nature. Xt(ω_i) représente le prix de l’action au tempst si c’est lei ième état du monde qui s’est réalisé.

Au temps 0 (aujourd’hui), nous connaissons de façon certaine le prix de l’action et nous ne sommes pas en mesure de distinguer lequel des états de la nature s’est réalisé. C’est pourquoi la sous-tribuF⁰ est la tribu triviale car elle ne contient aucune information.

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Filtration V

Exemple

Rappel :

F1=σf^X0,X₁g=σff^ω1,ω2g^,f^ω3,ω4gg^.

1 Au tempst=1, nous en savons en peu plus. En e¤et, si nous observons que le prix de l’action est 0,50 alors nous savons que l’état du monde qui s’est réalisé estω1 ouω2 mais certainement pasω3

ouω4. Par conséquent, nous pouvons en déduire que le prix du titre pour les deux périodes suivantes (t=2 ett=3) sera respectivement de 1 et 0,50 dollars .

2 Par contre, si au tempst=1, nous observons que le prix du titre est 2 dollars alors nous savons que l’état du monde qui s’est réalisé est ou bienω3 ou bienω4. Nous pouvons en déduire que le prix du titre ne redescendra pas sous la barre du un dollar: parce qu’après avoir observé le processus au tempst=1, nous serons en mesure de décider si c’est l’événementf^ω1,ω₂gqui s’est réalisé ou bien si c’est l’événementf^ω³^,^ω⁴gqui s’est produit,

F1=σff^ω1,ω₂g^,f^ω3,ω₄gg^.

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Filtration VI

Exemple Rappel :

F²=σf^X⁰^,^X¹^,^X²g=σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³g^,f^ω⁴gg^.

Supposons maintenant qu’au tempst=2, nous observons un prix égal à un dollar. L’erreur fréquemment commise est de conclure que la sous-tribu associée à cet instant estσff^ω¹^,^ω²^,^ω³g^,f^ω⁴ggpuisqu’en observantX2

nous sommes en mesure de distinguer entre les événementsf^ω¹^,^ω²^,^ω³g etf^ω4g. Cela serait vrai si nous venions de commencer l’observation du processus, ce qui n’est pas le cas. Nous devons tenir compte de l’information obtenue depuis le tempst=0. Or les trajectoires (X0(ω),X1(ω),X2(ω))nous permettent de distinguer entre les trois événements suivants: f^ω1,ω₂g^,f^ω3g^etf^ω4g. En e¤et, après avoir observé les prix jusqu’au temps deux, nous saurons avec certitude quel est l’état du mondeωqui s’est réalisé sauf si nous avons observé la trajectoire (1,¹₂,1)où nous serons alors incapables de distinguer entre les états du mondeω1 etω2.

1Nous approfondissons, tout au long de ce chapitre, un exemple amorcé dansStochastic Calculus, A Tool for Finance de Daniel Dufresne.

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Processus stochastiques Filtration Temps d’arrêt

Dé…nition Exemple Transformations Premier passage Références

Temps d’arrêt

Introduction

Nous nous apercevrons de la très grande utilité des temps d’arrêt lorsque nous tenterons de tarifer les produits dérivés de type américain. Ils ont comme principal rôle de déterminer le moment où le détenteur d’une option exercera son droit.

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stochastiques

Temps d’arrêt

Dé…nition

De…nition

Dé…nition. Soit (Ω,F), un espace probabilisable tel que Card(Ω)< ∞et muni de la …ltration

F=fF^t ^:^t 2 f^0,^{1, ...}gg^{. Un}temps d’arrêt τ est une

(Ω,F) variable aléatoire à valeurs dans f^0,^{1, ...}get telle que f^ω2 Ω:τ(ω) tg 2 F^t ^{pour tout}^t 2 f^0,^{1, ...}g^. ⁽¹⁾ Exercice. Montrer que la condition donnée à la ligne (1) est équivalente à

f^ω 2Ω:τ(ω) =tg 2 F^t ^{pour tout} ^t 2 f^0,^{1, ...}g^.

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Temps d’arrêt I

Exemple

Exemple. Reprenons l’exemple entrepris antérieurement: X représente le cours d’une action.

ω X0(ω) X1(ω) X2(ω) X3(ω) ω1 1 0,50 1 0,50 ω2 1 0,50 1 0,50

ω3 1 2 1 1

ω4 1 2 2 2

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Temps d’arrêt II

Exemple

Nous avions déterminé que la …ltration contenant l’information révélée par le processus à chaque instant est

F⁰ = σf^X⁰g=f?^,Ωg^,

F¹ = σf^X⁰^,^X¹g=σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³^,^ω⁴gg^, F² = σf^X⁰^,^X¹^,^X²g= σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³g^,f^ω⁴gg^, F³ = σf^X⁰^,^X¹^,^X²^,^X³g=σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³g^,f^ω⁴gg^.

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Temps d’arrêt III

Exemple

Rappel.

ω X₀(ω) X₁(ω) X₂(ω) X₃(ω)

ω₁ 1 0,50 1 0,50 ω2 1 0,50 1 0,50

ω₃ 1 2 1 1

ω4 1 2 2 2

Nous ne vendons pas nos actions aujourd’hui(t =0)mais nous les vendrons aussitôt que le prix sera supérieur ou égal à 1.

Le temps aléatoire représentant cette situation est τ(ω1) =2, τ(ω2) =2, τ(ω3) =1 et τ(ω4) =1.

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Temps d’arrêt IV

Exemple

Cette variable aléatoire est bien un temps d’arrêt puisque

f^ω 2^Ω^:^τ(ω) =0g = ?2 F⁰^,

f^ω 2^Ω^:^τ(ω) =1g = f^ω³^,^ω⁴g 2 F¹^, f^ω 2^Ω^:^τ(ω) =2g = f^ω¹^,^ω²g 2 F²^, f^ω 2Ω:τ(ω) =3g = ?2 F³^.

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Temps d’arrêt V

Exemple Rappel.

ω X0(ω) X1(ω) X2(ω) X3(ω)

ω1 1 0,50 1 0,50 ω2 1 0,50 1 0,50

ω3 1 2 1 1

ω4 1 2 2 2

Considérons maintenant le temps aléatoire τ modélisant la situation suivante: nous achèterons des actions aussitôt que nous serons en mesure de réaliser un pro…t plus tard.

Cette variable aléatoire prend les valeurs τ (ω1) =1, τ (ω2) =1, τ (ω3) =0 etτ (ω4) =0. τ n’est pas un temps d’arrêt puisque

f^ω 2^Ω^:^τ (ω) =0g=f^ω³^,^ω⁴g2 F^/ ⁰^.

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Temps d’arrêt VI

Exemple

Intuitivement, le moment τoù l’on prend une décision est un temps d’arrêt si la décision est prise sur la base de l’information disponible à cet instant. Dans le cas des temps d’arrêt, l’utilisation de la boule de cristal est interdite.

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Temps d’arrêt I

Transformation de temps d’arrêt

Theorem

Théorème. Soit (Ω,F), un espace probabilisable tel que Card(Ω)< ∞et muni de la …ltration

F=fF^t ^:^t 2 f^0,^{1, ...}gg. Si les variables aléatoires τ1 etτ2

sont des temps d’arrêt par rapport à la …ltrationF, alors τ1^^τ² ^minf^τ¹^,^τ²g^et ^τ¹_^τ² ^maxf^τ¹^,^τ²g^{sont aussi} des temps d’arrêt.

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Temps d’arrêt II

Transformation de temps d’arrêt

Preuve du théorème. Si τest un temps d’arrêt alors 8^t 2 f^0,^{1, ...}g

f^ω2^Ω^:^τ(ω) tg 2 F^t^. 8^k 2 f^0,^{1, ...}g^,

f^ω 2^Ω^:^τ¹(ω)^^τ²(ω) kg

= f^ω 2^Ω^:^τ¹(ω) k ouτ2(ω) kg

= f_|^ω 2Ω:τ_{z1(ω) kg_}

2Fk

[ f_|^ω2Ω:τ_{z2(ω) kg_}

2Fk

2 F^k^.

Exercice. Démontrez le résultat de la proposition précédente pourτ1_^τ²^.

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Temps d’arrêt I

Temps de premier passage

De…nition

Dé…nition. Soit(Ω,F), un espace probabilisable tel que Card(_Ω)< _∞et muni de la …ltration

F=fF^t ^:^t 2 f^0,^{1, ...}gg^. ^X =f^X^t ^:^t2 f^0,^{1, ...}gg

représente un processus stochastique adapté à cette …ltration.

SoitB R un sous-ensemble des nombres réels. Nous dé…nissons le temps du premier contact du processus stochastiqueX avec l’ensembleB par

τB(ω) =minf^t 2 f^0,^{1, ...}g^:^X^t(ω)2^Bg^. S’il advenait que la trajectoiret!^X^t(ω)n’atteigne jamais l’ensembleB alors nous dé…nissons τB(ω) =∞.

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Temps d’arrêt II

Theorem

Théorème. La variable aléatoire τB est un temps d’arrêt.

Preuve du théorème. Puisque Card(Ω)<∞, alors 8^t 2 f^0,^{1, ...}g^,^X^t ne peut prendre qu’un nombre …ni de valeurs. Dénotons-les par

x₁⁽^t⁾ <...<x_m⁽^t_t⁾.

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Temps d’arrêt III

8^t 2 f^0,^{1, ...}g^,

f^ω2^Ω^:^τB(ω) =tg

= f^ω2^Ω^:^X0(ω)2/^{B, ...,}^Xt 1(ω)2/^B^,^X^t(ω)2^Bg

=

t\1 k=0

f^ω2^Ω^:^Xk(ω)2/^Bg

!

\ f^ω2^Ω^:^X^t(ω)2^Bg

= 0 B@

t\1 k=0

[ x_i^(k)/2B

n

ω2^Ω^:^Xk(ω) =x_i^(k)o1 CA

\ 0 B@ ^[

x_i^(t)2B

n

ω2^Ω^:^X^t(ω) =x_i^(t)o1 CA

2 Ft

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Temps d’arrêt IV

car

t\1 k=0

[ x_i^(k)2/B

n

ω2^Ω^:^Xk(ω) =x_i^(k⁾o

| {z }

2FkcarX est adapté.

| {z }

2Fk FtcarFkest une tribu

| {z }

2F^tcarF^test une tribu.

\ ^[

x_i^(t)2B

n

ω2^Ω^:^X^t(ω) =x_i^(t)o

| {z }

2FtcarXtestFt mesurable.

| {z }

2FtcarFtest une tribu.

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Processus stochastiques Filtration Temps d’arrêt Références

Références

BILLINGSLEY, Patrick (1986). Probability and Measure, Second Edition, Wiley, New York.

DUFRESNE, Daniel (1996). Stochastic Calculus, A Tool for Finance, Département de mathématiques et de statistique de l’Université de Montréal.

KARLIN Samuel et TAYLOR Howard M. (1975). A First Course in Stochastic Processes, Second Edition, Academic Press, New York.