Feuille d’exercices 10 : ´ Equilibres corr´ el´ es.

Universit´ e Paris Dauphine, L3, Ann´ ee 2010-2011 G. Vigeral

Th´ eorie des Jeux

Feuille d’exercices 10 : ´ Equilibres corr´ el´ es.

1. On consid` ere le jeu de la bataille des sexes :

F 2 O 2

F 1

O ₁

2, 1 0, 0 0, 0 1, 2

1. Trouver tous les ´ equilibres de Nash, pures et mixtes 2. D´ ecrire l’ensemble des distributions d’´ equilibres corr´ el´ es

3. Trouver une distribution d’´ equilibre corr´ el´ e qui donne un paiement strictement sup´ erieur

`

a 1 ` a chaque joueur.

2. On consid` ere le jeu :

A 2 B 2

A ₁ B 1

2, 0 0, 1 0, 1 1, 0

1. Trouver tous les ´ equilibres de Nash, pures et mixtes 2. D´ ecrire l’ensemble des distributions d’´ equilibres corr´ el´ es 3. On consid` ere le jeu :

A B C

A B C





0, 0 2, 1 1, 2 1, 2 0, 0 2, 1 2, 1 1, 2 0, 0





1. Trouver tous les ´ equilibres de Nash, pures et mixtes 2. D´ ecrire l’ensemble des distributions d’´ equilibres corr´ el´ es

3. Trouver une distribution d’´ equilibre corr´ el´ e qui donne un paiement de ³ ₂ ` a chaque joueur.

4. Trouver une distribution d’´ equilibre corr´ el´ e qui donne un paiement de ⁵ ₃ au joueur 1, et montrer que c’est le maximum qu’il puisse obtenir.

4. On consid` ere le jeu ”de minorit´ e”, ` a trois joueurs :

A 2

B ₂

(0, 0, 0) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 1)

(0, 0, 1) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 0)

A ₃ B ₃

1

1. Montrer qu’il existe un unique ´ equilibre de Nash o` u chaque joueur ` a un paiement stricte- ment positif (on pourra commencer par remarquer que dans un tel ´ equilibre chaque joueur joue n´ ecessairement de fa¸con compl` etement mixte). Donner le paiement de chaque joueur dans cet ´ equilibre

2. D´ ecrire l’ensemble des distributions d’´ equilibres corr´ el´ es

3. Trouver une distribution d’´ equilibre corr´ el´ e qui donne un paiement de ¹ ₃ ` a chaque joueur.

5. Soit le jeu avec un nombre infini d´ enombrable de joueurs {1, 2, ..., n, ...} = N ^∗ . On suppose que tous les joueurs ont seulement deux strat´ egies -1 ou 1 (soit S _i = {−1, 1}). La fonction de paiement du joueur i est :

g _i (s) =

( s i , si P

j s j < ∞

−s _i , sinon.

1. Montrer qu’il n’existe pas d’´ equilibre de Nash en strat´ egies pures.

2. En utilisant le lemme de Borel Cantelli montrer qu’il n’existe pas d’´ equilibre de Nash en mixte.

3. Montrer que la distribution µ = ^µ ₂

+ ^µ ₂

sur S = Q

i S _i = {0, 1} ^N

induit un ´ equilibre corr´ el´ e, o` u µ 1 est la distribution (produit) µ 1 = N

i µ ⁱ ₁ avec : µ ⁱ ₁ (s i = 1) = ¹ _i et µ 2 est la distribution (jointe) qui tire le profil (s 1 = 1, ...s i = 1, s i+1 = 0, ..., s n = 0, ...) avec probabilit´ e ¹ _i − _i+1 ¹ = _i(i+1) ¹ . (Remarquer que P _µ

( P

s _i = ∞) = 1, que P _µ

( P

s _i = ∞) = 0 et que P µ

(s i = 1) = ¹ _i .)

Quel est le paiement correspondant ?

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