Endomorphismes orthogonaux
1. (78) SoitE un espace euclidien de dimensionnetuun endomorphisme deE.
On note(x|y)le produit scalaire dexet dey et ||.||la norme euclidienne associée.
(a) Soituun endomorphisme deE, tel que: ∀x∈E,||u(x)||=||x||.
i. Démontrer que: ∀(x, y)∈E2 (u(x)|u(y)) = (x|y).
ii. Démontrer queuest bijectif.
(b) Démontrer que l’ensembleO(E)des isométries vectorielles deE , muni de la loi◦ , est un groupe.
(c) Soitu∈ L(E). Soite= (e1, e2, ..., en)une base orthonormée deE.
Prouver que : u∈ O(E)⇐⇒(u(e1), u(e2), ..., u(en))est une base orthonormée deE.
2. (92) Soitn∈N∗. On considèreE=Mn(R)l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordren.
On pose∀(A, B)∈E2,hA , Bi= tr(tAB)où tr désigne la trace et tA désigne la transposée de la matriceA.
(a) Prouver queh,iest un produit scalaire surE.
(b) On noteSn(R)l’ensemble matrices symétriques deE etAn(R)l’ensemble des matrices antisymétriques de E.
i. Prouver queE=Sn(R)⊕An(R).
ii. Prouver queSn(R) =An(R)⊥.
(c) SoitF l’ensemble des matrices diagonales deE.
DéterminerF⊥.
3. Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures ? 4. Trouver les matrices deOn(R)diagonalisables surR.
5. SoientE un espace euclidien etf une application deE versE vérifiant f(0) = 0et ∀x, y∈E,kf(x)−f(y)k=kx−yk (a) Montrer que∀x∈E,kf(x)k=kxk
(b) Établir que∀x, y∈E,(f(x)|f(y)) = (x|y)
(c) SoitB= (e1, . . . , en)une base orthonormée deE. Justifier que∀x∈E, f(x) =
n
P
k=1
(ek|x)f(ek)
(d) En déduire quef est un automorphisme orthogonal deE.
6. SoitE =R3[X] muni du produit scalaire < P, Q >=R1
−1P Q. Soit ϕ∈ L(E)défini par ϕ(P)(X) =P(−X).
Montrer queϕest une symétrie orthogonale.
7. Soient F, G deux sous-espaces de E tels que F ⊥G. On notesF et sG les symétries orthogonales de basesF etG. Montrer quesF◦sG=sG◦sF =s(F⊕G)⊥.
8. SoientE un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 etu∈E non nul.
On considère l’applicationf :x7→u∧x.
(a) Montrer quef est un endomorphisme deE. En déterminer image et noyau.
(b) Montrer que f2est diagonalisable dans une base orthonormée.
9. Soitf ∈L(E)et λ >0. On dit quef est une similitude de rapportλsi : ∀~x∈E, kf(~x)k=λk~xk.
(a) Montrer quef est une similitude de rapportλsi et seulement si : ∀~x, ~y∈E, (f(~x)|f(~y)) =λ2(~x|~y).
(b) Caractériser les similitudes par leurs matrices dans une base orthonormée.
(c) Montrer quef est une similitude si et seulement sif est non nulle et conserve l’orthogonalité, c’est à dire :
∀~x, ~y∈E, ~x⊥~y⇒f(~x)⊥f(~y).
10. Soit u∈ O(E)et F un sev stable paru. Montrer queF⊥ est aussi stable paru.
11. On considère l’équation MtM M = In d’inconnue M ∈ Mn(R). Montrer que si M est solution, alors M symétrique.
Résoudre alors l’équation.
12. Justifier queA=
1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1
est diagonalisable et trouverP telle quetP AP soit diagonale.
13. Soit A∈ Mn(R). Montrer querg(A) =rg(tA.A).
En déduire que le rang de A est égal au nombre de valeurs propres non nulles (comptées avec leur ordre de multiplicité) detAA.
14. E eve de dimension 3, muni d’une base orthonorméB= (e1, e2, e3). Soitf ∈L(E)de matrice dans la abseB : M =
a2 ab−c ac+b ab+c b2 bc−a ac−b bc+a c2
aveca, b, créels.
(a) Déterminera, b, cen sorte que f ∈O(E).
(b) Caractériser alors f.
15. Soit f ∈O(E)avecE eve.
(a) On suppose que f ∈O−(E). Montrer que -1 est valeur propre de f.
(b) On suppose que f ∈O+(E). montrer que sinest impair, alors 1 est valeur propre def. Que peut-on dire sinest pair ?
16. Soit A= (ai,j)∈On(R). Montrer que
X
16i,j6n
ai,j
6n6 X
16i,j6n
|ai,j|6n3/2.
17. On noteQ[i] ={a+bi/a, b,∈Q}oùivérifiei2=−1.
(a) En considérant zp=(p+i)2
|p+i|2 oùp∈Z, montrer queU∩Q[i]est dense dansU (b) Montrer que O2(Q)est dense dansO2(R)
18. On noteSn+ l’ensemble des matrices réelles symétriques, dont toutes les valeurs propres sont positives.
SoitS∈Sn(R)
(a) Montrer queS∈Sn+ si et seulement si,∀X ∈ Mn,1(R), tXSX>0.
(b) SoitS ∈Sn+. Montrer qu’il existeA∈ Mn(R)telle queS =tAA.
19. Que peut-on dire des valeurs propres complexes d’une matrice symétrique réelle ? Même question dans le cas des matrices antisymétriques réelles.
20. Soit Eun eve etu∈L(E).
(a) Monter qu’il existe 1 et 1 seul endomorphisme deE, notéu∗tel que∀(x, y)∈E2, < u(x), y >=< x, u∗(y)>
(on pourra considérer les marices des endomorphismes dans une base orthonormée). Exprimer dans une BONBla matrice deu∗ en fonction de celle deu
(b) Que dire deu∗ dans le cas oùu∈S(E)? (c) Montrer queuet u∗ ont mêmes valeurs propres.
21. Soit Eun eve etu∈L(E).
On suppose ici queupossède deux valeurs propres réelles de signes contraires.
Montrer∃z6= 0tel que < u(z), z >= 0
