Lycée d’Arsonval TPC1
2019-2020 Physique
Chapitre 2 Lois de l’induction
Juin 2020
Table des matières
I Flux magnétique et inductances 2
I.1 Flux magnétique . . . 2
I.1.a) Flux magnétique infinitésimal . . . 2
I.1.b) Flux magnétique fini . . . 2
I.2 Flux propre et inductance propre. . . 3
I.2.a) Définitions . . . 3
I.2.b) Inductance propre d’un solénoïde long . . . 3
I.3 Induction et inductance mutuelle . . . 4
II Lois de l’induction 5 II.1 Manip de cours : apparition d’un courant induit . . . 5
II.2 Loi deFaraday . . . 5
II.3 Loi deLenz. . . 6
III Circuit rigide et fixe dans un champ variable 7 III.1 Auto-induction. . . 7
III.1.a) Relation tension intensité d’une bobine. . . 7
III.1.b) Approche énergétique . . . 7
III.2 Circuits en interaction . . . 7
III.2.a) Deux circuits couplés par induction mutuelle . . . 7
III.2.b) Bilan énergétique pour deux circuits couplés. . . 9
III.2.c) Transformateur de tension . . . 9
IV Circuit mobile dans un champ stationnaire 11 IV.1 Conversion de puissance mécanique en puissance électrique . . . 11
IV.1.a) Rails de Laplace en mode générateur . . . 11
IV.1.b) Freinage magnétique . . . 14
IV.2 Conversion de puissance électrique en puissance mécanique . . . 14
IV.2.a) Moteur linéaire à courant continu et à entrefer plan. . . 14
IV.2.b) Haut parleur électrodynamique . . . 16
Introduction
I Flux magnétique et inductances
I.1 Flux magnétique
I.1.a) Flux magnétique infinitésimal
On considère une petite surface d’aired𝑆. On note #»𝑛 le vecteur unitaire normal à la surface et orienté de façon conventionnelle. La petite surface est située au point M où il règne un champ magnétique #»𝐵. Le petit flux magnétiqued𝜙passant par cette surface est donné par :
d𝜙 =d𝑆#»𝐵 .#»𝑛 (1)
On introduit souvent le vecteur surface élémentaired𝑆 =#» d𝑆#»𝑛, le flux infinitésimal s’écrit donc :
d𝜙 = #»𝐵 .d𝑆#» (2)
Le flux s’exprime en weber (Wb) avec1 Wb=1 T⋅m2 I.1.b) Flux magnétique fini
Pour une surface quelconque𝑆, on définit le flux magnétique𝜙dû au champ magnétique #»𝐵 comme étant :
𝜙 = ∬𝑆d𝜙 = ∬𝑆#»𝐵 .d𝑆#» (3)
Dans le cas d’un champ #»𝐵 uniforme l’expression se simplifie : 𝜙 = ∬𝑆#»𝐵 .d𝑆 =#» #»
𝐵 . (∬𝑆d𝑆) =#» #»𝐵 .#»𝑆 (4) où l’on a introduit le vecteur surface #»𝑆 = ∬𝑆d𝑆. Dans le cas d’un surface plane, le vecteur surface#» #»𝑆 s’écrit simplement #»𝑆 = 𝑆#»𝑛.
Flux magnétique d’un champ uniforme à travers une surface plane
On oriente une surface plane d’aire𝑆avec un vecteur unitaire #»𝑛 normal à cette surface. Le flux magnétique𝜙du champ magnétique uniforme #»𝐵 à travers cette surface vaut :
𝜙 = #»𝐵 .#»𝑆 = 𝐵𝑆cos(𝛼) (5)
avec𝐵la norme du champ et𝛼l’angle que fait #»𝐵 par rapport à la normale #»𝑛.
Exemple : Soit un champ de 10 mT formant un angle de2𝜋3 avec un circuit plan carré de côté𝐿 =6 cm.
Quel est le flux du champ #»𝐵 à travers ce circuit ?
I.2 Flux propre et inductance propre I.2.a) Définitions
Flux extérieur et propre Dans le définition du flux magnétique ressenti par un circuit, le champ magnétique #»𝐵 apparaissant est le champ magnétiquetotalressenti par la surface. On peut distinguer le champ magnétique #»𝐵extcréé par des sources extérieures au circuit (aimants, autres circuits…) et le champ magnétique propre #»𝐵𝑝créé par le circuit lui-même. On a bien sûr en tout point #»𝐵 = #»𝐵ext+#»𝐵𝑝 etd𝜙 =d𝜙ext+d𝜙𝑝oùd𝜙extetd𝜙𝑝sont les flux infinitésimauxextérieur etpropre.
Inductance propre Nous avons déjà vu que le champ magnétique #»𝐵𝑝créé par un circuit dépend linéairement de l’intensité𝑖du courant qui y circule. De plus le flux dépend linéairement du champ magnétique. On peut donc dire que le flux propre𝜙𝑝va dépendre linéairement de l’intensité𝑖du courant qui circule dans le circuit.
On peut donc écrire :
𝜙𝑝 = 𝐿𝑖 (6)
avec le coefficient de proportionalité 𝐿nommé l’inductance propredu circuit. L’inductance a les propriétés suivantes :
— 𝐿dépend uniquement de la géométrie du circuit
— 𝐿est un coefficientpositif s’exprimant en henry (H)
Pour montrer que l’inductance est nécessairement positive on doit préciser les orientations du circuit avec précision. On choisit le sens conventionnel de l’intensité𝑖par rapport au vecteur normale au circuit
#»𝑛 en utilisant la règle de la main droite. Ensuite :
— Si𝑖 > 0nous savons que#»𝐵𝑝est orienté suivant#»𝑛 ce qui donne un flux𝜙𝑝positif. Ainsi𝐿 = 𝜙𝑖𝑝 > 0.
— Si < 0 nous savons que #»𝐵𝑝 est orienté suivant −#»𝑛 ce qui donne un flux 𝜙𝑝 négatif. Ainsi 𝐿 = 𝜙𝑖𝑝 > 0.
Le flux total à travers un circuit d’inductance𝐿peut donc s’écrire dans le cas général :
𝜙 = 𝜙𝑝+ 𝜙𝑒𝑥𝑡= 𝐿𝑖 + 𝜙𝑒𝑥𝑡 (7)
En l’absence de champ extérieur, il n’y aura que le flux propre. So l’inductance du circuit est faible on peut souvent négliger le flux propre par rapport au flux extérieur.
I.2.b) Inductance propre d’un solénoïde long
On considère une bobine très longue telle que l’on puisse négliger les effets de bords (on peut considérer la bobine infinie) composée de𝑁 =1,0×103spires, parcourue par un courant𝑖.
Nous allons calculer le coefficient d’auto-inductance de cette bobine. Les caractéristiques de la bobine sont les suivantes : section𝑆 =1,0×10−3m2, longueur𝑙 =0,10 m.
Remarque :
Augmenter un corefficient d’inductance propre Si nécessaire, on peut augmenter le coefficient d’auto- inductance d’une bobine en plaçant un noyau ferromagnétique dans la bobine. On remplace alors le coefficient𝜇0par𝜇0𝜇𝑟où𝜇𝑟est la perméabilité magnétique relative (sans dimension)
Cette perméabilité dépend du matériau utilisé et peut atteindre des valeur de l’ordre de103.
I.3 Induction et inductance mutuelle
Si on considère deux circuits filiformes𝒞1 et𝒞2 dans lesquels ils circulent respectivement des courants d’intensité𝑖1et𝑖2. Pour chaque circuit on oriente𝑖et #»𝑛 suivant la règle de la main droite. On considère qu’il n’y a aucune autre source de champ magnétique. Ainsi chaque circuit crée un flux propre mais ressent égelement le champ magnétique généré par l’autre circuit. On note𝜙1et𝜙2les flux totaux pour les circuits𝒞1et𝒞2. On peut écrire :
{𝜙1= 𝜙1→1+ 𝜙2→1
𝜙2= 𝜙2→2+ 𝜙1→2 (8)
On écrit les flux propres𝜙1→1et𝜙1→2avec les inductances propres𝐿1et𝐿2de chaque circuit : {𝜙1→1= 𝐿1𝑖1
𝜙2→2= 𝐿2𝑖2 (9)
Pour les flux mutuels𝜙2→1et𝜙1→2il faut utiliser l’intensité de l’autre circuit. Par exemple pour𝜙2→1il faut considérer le flux du champ magnétique#» 𝐵#»2créé par le circuit𝒞2à travers le circuit𝒞1. Le champ 𝐵2dépend linéairement de l’intensité𝑖2, on peut donc dire que𝜙2→1dépend linéairement de𝑖2. Ainsi on a :
{𝜙2→1 = 𝑀21𝑖2
𝜙1→2 = 𝑀12𝑖1 (10)
avec𝑀21et𝑀12des coefficients de proportionnalité. Ainsi les flux totaux s’écrivent : {𝜙1 = 𝐿1𝑖1+ 𝑀21𝑖2
𝜙2 = 𝐿2𝑖2+ 𝑀12𝑖1 (11)
On peut montrer par un argument hors programme que𝑀12 = 𝑀21 = 𝑀. Le coefficient𝑀est appelé lecoefficient d’inductance mutuelleou simplement inductance mutuelle. Il a les propriétés suivantes :
— 𝑀dépend de la géométrie des circuits, de leur orientation et de leur distance.
— 𝑀est un coefficient qui peut êtrepositif ou négatif s’exprimant en henry (H) Ainsi finalement
{𝜙1= 𝐿1𝑖1+ 𝑀𝑖2
𝜙2= 𝐿2𝑖2+ 𝑀𝑖1 (12)
On rappelle que ces expressions sont valides uniquement en l’absence d’autres sources de champ magnétique.
II Lois de l’induction
Dans le chapitre précédent, nous avions étudiés quelles étaient les sources de champ magnétique ainsi que les actions mécaniques qu’un tel champ pouvait avoir sur un circuit ou un moment magnétique.
Dans ce chapitre, on va s’intéresser au phénomène d’induction proprement-dit, qui est l’apparition d’un courant, dit courant induit, dans un circuit électrique soumis à un champ magnétique (champ inducteur) sous certaines conditions.
II.1 Manip de cours : apparition d’un courant induit
Un circuit est constitué d’une bobine et d’une résistance (élevée). On branche un oscilloscope (sans déclenchement, faible vitesse de balayage) aux bornes de la résistance pour visualiser le courant.
On déplace plus ou moins rapidement en aimant dans la bobine, soit en approchant le pôle nord, soit en l’éloignant.
On observe un courant apparaitre dans le circuit, d’autant plus grand que l’aimant se déplace rapidement.
Le courant induit par le déplacement de l’aimant :
— est d’autant plus grand que la section de la bobine croit
— est d’autant plus grand que l’aimant se déplace rapidement
— est dans un sens tendant à créer un champ magnétique induit qui s’oppose à la variation de champ magnétique imposée par l’aimant.
II.2 Loi deFaraday
On a constaté expérimentalement que le mouvement de l’aimant par rapport à la bobine, crée un courant induit dans le circuit. Cela signifie que si le flux du champ magnétique dans le circuit varie, il apparait une force dans le circuit qui met en mouvement les électrons du circuit.
Tout se passe comme si un générateur apparaissant dans le circuit. Ce générateur est caractérisé par sa tension que l’on nomme force électromotrice induite.
Remarque :
Force électromotrice Le nom même de cette tension est trompeur puisqu’il ne s’agit pas d’une force mais bien d’une tension. La force à laquelle le nom fait référence est la force deLorentz, en particulier sa composante électrique.
Loi deFaradaypour l’induction
Soit un circuit filiforme orienté conventionnellement par le sens de𝑖traversé par un flux magné- tique𝜙algébrique dont le signe respecte la convention d’orientation du circuit.
Le circuit est le siège d’une force électromotrice induite𝑒, orientée conventionnellement dans le sens de𝑖(convention générateur) et telle que
𝑒 = −d𝜙
d𝑡 (13)
La force électromotrice s’exprime en volts (V).
Pour bien utiliser la loi deFaraday, il faut choisir un sens d’orientation du circuit et s’y tenir dans toute la résolution.
— Orienter arbitrairement le circuit en choisissant un sens pour𝑖dans le circuit. EN déduire alors le sens du vecteur surface #»𝑆
— Calculer le flux magnétique dans le circuit orienté et en déduire la force électromotrice.
— Dessiner un circuit électrique équivalent en prenant garde d’orienter la force électromotrice dans le sens conventionnel de𝑖.
— Utiliser le circuit électrique pour déterminer le courant induit.
II.3 Loi deLenz
Vérifions que la loi deFaradays’applique pour une expérience simple, analogue à l’expérience introductive.
Dans cette expérience on approche le pôle nord de l’aimant de la spire. Le champ magnétique est donc globalement orienté dans le même sens que #»𝑆 et augmente lorsque l’aimant s’approche : le flux𝜙 est donc positif et croissant eu cours du temps.
Donc comme d𝜙
d𝑡 > 0, on en déduit que𝑒 < 0. Un fois tracé le schéma électrique équivalent, on peut appliquer la loi des mailles𝑒 = 𝑅𝑖ce qui nous permet de déduire que le sens de𝑖est contraire au sens conventionnel choisi.
Le sens du courant induit vérifie alors une loi générale de l’induction, la loi deLenz Loi de modération deLenz
Lorsqu’un courant est induit dans un circuit, celui-ci tend par ses effets à s’opposer aux causes qui lui ont donné naissance.
Cette loi est très intéressante pour vérifier les signes, ou prévoir, des résultats d’induction. Pour cela il faut bien identifier les causes de l’induction et bien orienter les objets.
Ici, on peut interpréter le résultat de deux façons :
— La cause de la naissance du courant est le déplacement de l’aimant vers la droite. Le courant est tel que, par la règle de la main droite, il apparaisse un moment magnétique effectivement orienté de la droite vers la gauche (sens contraire de #»𝑆). Le pôle nord de la bobine fait alors face au pôle nord de l’aimant et tend à le repousser, à empêcher celui-ci de se rapprocher.
— Si l’on considère que la cause du courant induit est l’augmentation de l’intensité du champ magnétique dirigé globalement selon #»𝑆, le courant induit créée alors, selon la règle de la main droite, un champ dans la spire orienté selon−#»𝑆. Ce champ magnétique induit tend à s’opposer à l’augmentation du champ magnétique puisqu’il est de sens opposé au champ créé par l’aimant.
(Il fait croitre le champ moins vite) Remarque :
Lois deLenzet deFaradayLa loi deLenzest contenue dans la loi deFaraday. C’est le signe moins de
la loi deFaradayqui traduit le fait que les effets s’opposent au causes.
III Circuit rigide et fixe dans un champ variable
Dans cette partie on restreint notre étude à des circuits rigides et fixes (pas de variation de surface).
III.1 Auto-induction
III.1.a) Relation tension intensité d’une bobine
On s’intéresse à un circuit de coefficient d’inductance propre noté𝐿. Le flux propre à travers ce circuit s’écrit
𝜙𝑝 = 𝐿𝑖 (14)
La loi de Faraday s’écrit donc :
𝑒 = −d𝜙
d𝑡 = −d𝜙𝑝
d𝑡 = −𝐿d𝑖
d𝑡 (15)
car le coefficient d’inductance propre ne dépend pas du temps. Comme la fem est orienté en convention générateur, en se plaçant en convention récepteur avec𝑢 = −𝑒, on retrouve la formule vue en électricité :
𝑢 = 𝐿d𝑖
d𝑡 (16)
III.1.b) Approche énergétique
On va ici redémontrer1l’expression de l’énergie magnétiqueℰcontenue dans une bobine d’induc- tance𝐿et parcouru par une intensité𝑖.
III.2 Circuits en interaction
III.2.a) Deux circuits couplés par induction mutuelle
On considère les deux circuits suivants couplés par induction mutuelle, fixes dans le référentiel d’étude.
1. Ç’a déjà été fait en électricité !
𝐸1
𝑖1 𝐿1 𝑅1
𝐸2
𝑖2 𝐿2
𝑅2 𝑀
Comme les circuits sont couplés, il faut prendre en compte la force électromotrice induite dans le bilan électrique.
— Dans le circuit 1, en respectant la convention d’orientation, le flux magnétique s’écrit : 𝜙1 = 𝐿1𝑖1+ 𝑀𝑖2
Comme la géométrie des circuits ne change pas et qu’ils sont immobiles, les coefficients𝐿1et𝑀 sont constants. On en déduit la force électromotrice
𝑒1= −𝐿1d𝑖1
d𝑡 − 𝑀d𝑖2 d𝑡
— Dans le circuit 2, en respectant la convention d’orientation, le flux magnétique s’écrit : 𝜙2 = 𝐿2𝑖2+ 𝑀𝑖2
Comme la géométrie des circuits ne change pas et qu’ils sont immobiles, les coefficients𝐿2et𝑀 sont constants. On en déduit la force électromotrice
𝑒2= −𝐿2d𝑖2
d𝑡 − 𝑀d𝑖1 d𝑡
On peut alors tracer les schémas équivalents pour chaque circuit, découplés cette fois.
𝐸1
𝑖1 𝑒1 𝑅1
𝐸2
𝑖2 𝑒2
𝑅2
— L’équation électrique dans le premier circuit est donc 𝐸1+ 𝑒1= 𝑅1𝑖1 ⟹ 𝐸1− 𝐿1d𝑖1
d𝑡 − 𝑀d𝑖2 d𝑡 = 𝑅1𝑖1
— L’équation électrique dans le second circuit est donc 𝐸2+ 𝑒2= 𝑅2𝑖2 ⟹ 𝐸2− 𝐿2d𝑖2
d𝑡 − 𝑀d𝑖1 d𝑡 = 𝑅2𝑖2
Ces deux équations sont couplées c’est-à-dire qu’une variation de courant dans l’un d’eux va influer sur le passage du courant dans l’autre. Ce phénomène est mis a profit dans de nombreuses applications :
— Pour recharger une batterie sans contact (entre circuits) : il suffit de rapprocher les circuits l’un de l’autre et le premier crée un courant dans le second sans avoir à brancher de câble.
— Les cartes lues à distances sont constituées d’un bobinage et d’une puce. Lorsque la carte s’ap- proche du lecteur dans lequel circule un courant, un courant induit circule dans la carte. Celui-ci alimente la puce qui modifie le courant induit (code de la carte).
Les modifications du courant dans la carte se répercutent alors sur le courant du lecteur qui décode les informations.
— Les plaques par induction, sont un autre exemple. Le fond de la casserole joue le rôle de deuxième bobine dans laquelle circulent des courants qui dissipent de l’énergie thermique par effet joule dans la casserole.
III.2.b) Bilan énergétique pour deux circuits couplés
On continue sur l’exemple de nos deux circuits couplés. On peut effectuer un bilan de puissance sur ces circuits en multipliant les équations précédentes (en tension) par l’intensité circulant dans le circuit considéré.
En sommant les deux équations, on réalise le bilan d’énergie global sur les deux circuits.
𝐸1𝑖1+ 𝐸2𝑖2
⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟
Générateurs
= 𝑅⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟1𝑖21+ 𝑅2𝑖22
Effet Joule
+ 𝐿1𝑖1d𝑖1
d𝑡 + 𝑀𝑖1d𝑖2
d𝑡 + 𝐿2𝑖2d𝑖2
d𝑡 + 𝑀𝑖2d𝑖1 d𝑡
⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟
Champ magnétique
On interprète cette égalité en disant que l’énergie délivrée par les générateurs et dissipée par effet joule dans les résistances et sert à faire varier le champ magnétique.
Le terme magnétique peut s’exprimer comme une dérivée temporelle : d
d𝑡(1
2𝐿1𝑖21+ 1
2𝐿2𝑖22+ 𝑀𝑖1𝑖2) (17)
La grandeur dérivée représente alors l’énergie potentielle liée au champ magnétique. Elle est définie à une constante près. On l’a choisie nulle en posant que l’énergie du champ est nulle lorsqu’il n’existe pas (c’est-à-dire s’il n’y a pas de courants dans les circuits).
Elle correspond à l’énergie qu’ont du fournir les générateurs pour créer le champ magnétique lors de l’établissement des courants𝑖1et𝑖2.
III.2.c) Transformateur de tension
Le transformateur permet de convertir une tension alternative en une autre tension alternative de même fréquence mais d’amplitude différente. Son fonctionnement repose sur le phénomène d’induction mutuelle.
𝑖1 𝑖2
𝑈1 𝑈2
Deux bobines sont enroulées autour d’un cadre métallique ferromagnétique.
— L’enroulement de gauche est appelé l’enroulement primaire : la tension à ses bornes est notée𝑈1, il est parcouru par un courant𝑖1et contient𝑁1spires identiques. Les grandeurs électriques sont sinusoïdales.
— L’enroulement de droite est appelé l’enroulement secondaire : la tension à ses bornes est notée 𝑈2, il est parcouru par un courant𝑖2et contient𝑁2spires identiques. Les grandeurs électriques sont sinusoïdales.
— Le cadre ferromagnétique sert à canaliser les lignes de champ magnétique de façon à ce que le flux qui traverse une spire du primaire soit le plus proche possible de celui qui traverse une spire du secondaire. On supposera que le couplage est parfait c’est-à-dire que ces flux sont égaux. On note𝜙le flux traversant une spire, orientée positivement dans le sens de la flèche.
Le circuit primaire est relié à un générateur, il crée alors un flux magnétique dans le cadre. Ce flux magnétique est dirigé vers le circuit secondaire où il crée un courant dans le circuit secondaire (une tension).
Nous allons chercher le lien entre𝑈1et𝑈2en négligeant tout effet résistif dans le circuit, toute perte magnétique dans le cadre et tout courant induit dans le cadre.
La loi précédente est la loi des tensions pour un transformateur. Selon la convention d’orientation des tensions, ou le sens de bobinage il peut apparaitre un signe moins.
Par exemple les appareils américains sont conçus pour fonctionner sur du 110 volts alternatifs. Pour le brancher sur le secteur français (220 volts) il faut insérer un transformateur avec deux fois plus de spires du coté secteur que du coté appareil pour diviser l’amplitude de la tension par deux.
Transformateur parfait Si le transformateur est parfait, il n’y a aucune perte joule dans les enroule- ments ni aucune perte magnétique (courants de foucault ou hystérésis) dans le cadre ferromagnétique.
Toute la puissance reçue par le transformateur en entrée et rendue en sortie. Cela a plusieurs conséquences.
— Les intensités des courants suivent la loi suivante (avec les conventions d’orientation du schéma précédent)
𝑃1= 𝑈1𝑖1 = 𝑃2= 𝑈2𝑖2 ⟹ 𝑖1 𝑖2 = 𝑁2
𝑁1 (18)
— On en déduit que si le courant dans le secondaire est nul, il l’est aussi dans le primaire.
— Le rendement du transformateur est alors de𝜂 = 1.
IV Circuit mobile dans un champ stationnaire
IV.1 Conversion de puissance mécanique en puissance électrique IV.1.a) Rails de Laplace en mode générateur
On reprend le dispositif des rails deLaplace mais cette fois-ci, au lieu d’être branché sur un générateur, le circuit comporte un ampèremètre. Un opérateur tire la barre mobile à une certaine vitesse.
Ce dispositif modélise avec une géométrie simple le principe des générateurs électriques.
𝑅
𝑖 C
D
#»𝑣 𝑙
𝑥
0 𝑥(𝑡)
#»𝐵 = 𝐵𝑒#»𝑧
𝑒#»𝑧 𝑒#»𝑦
𝑒#»𝑥
On modélise par une résistance𝑅la résistance du circuit et on oriente le sens conventionnel du courant de manière arbitraire. On note #»𝑣 la vitesse de translation de la barre CD. Le champ magnétique
#»𝐵 est vertical et uniforme.
Description qualitative Si l’on déplace la barre, la surface du circuit change : le flux magnétique qui le traverse change lui aussi au cours du temps : il apparait donc une force électromotrice induite qui permet à un courant de naitre dans le circuit.
Le circuit étant parcouru par un courant dans un champ magnétique, il subit une force deLaplace.
En particulier la barre ressentira une force deLaplacetendra à s’opposer au mouvement en vertu de la loi deLenz.
Équation électrique L’équation électrique est due aux phénomènes d’induction. Il faut donc orienter la surface et appliquer la loi deLorentz. Comme le champ est uniforme, il n’est pas nécessaire d’utiliser de surfaces élémentaires. Compte tenu du sens choisi pour𝑖, le vecteur surface est
#»𝑆 = 𝑙𝑥(𝑡)𝑒#»𝑧 (19)
D’où le flux extérieur
𝜙ext= #»𝐵 ⋅#»𝑆 = 𝐵𝑙𝑥(𝑡) (20)
Comme le circuit n’est composé que d’une seule spire, son auto-inductance est extrêmement faible, on peut donc négliger la contribution du flux propre.
D’où la force électromotrice
𝑒 = −d𝜙
d𝑡 ≃ −d𝜙ext
d𝑡 = −𝐵𝑙d𝑥
d𝑡 = −𝐵𝑙𝑣(𝑡) (21)
où𝑣(𝑡)est la projection de la vitesse sur l’axe(O,𝑒#»𝑥).
On peut alors tracer le circuit équivalent en respectant les conventions d’orientation :
𝑖 C
𝑒= − 𝐵𝑙𝑣(𝑡) 𝑅 D
D’où−𝐵𝑙𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡)
Équation mécanique La seule partie mobile du circuit dans le référentiel lié au sol est la barre CD.
Ce sera notre système dont on notera la masse𝑚. Réalisons un bilan des forces :
Découplage des équations Les deux équations obtenues sont couplées, c’est-à-dire que chacune d’elle fait intervenir deux fonctions du temps, ici𝑖(𝑡)et𝑣(𝑡). Avant de résoudre, il faut transformer les équations, les découpler, pour obtenir une équation sur𝑖(𝑡)ou une équation sur𝑣(𝑡).
{
−𝐵𝑙𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) 𝐹op+ 𝑖(𝑡)𝐵𝑙 = 𝑚d𝑣
d𝑡
(22) De la première équation, on extrait𝑖(𝑡) = −𝐵𝑙𝑣(𝑡)𝑅 , que l’on réinjecte dans la seconde
𝐹op−𝐵2𝑙2
𝑅 𝑣(𝑡) = 𝑚d𝑣
d𝑡 ⟹ d𝑣 d𝑡 +𝑣
𝜏 = 𝑣lim
𝜏 (23)
où𝜏 = 𝐵𝑚𝑅2𝑙2 et𝑣lim = 𝐹𝑡𝑒𝑥𝑡𝑜𝑝𝐵2𝑙2𝑅
On a écrit l’équation sous forme canonique pour pouvoir identifier le temps caractéristique 𝜏 d’évolution de𝑣ainsi que la vitesse limite𝑣limatteinte en régime permanent. On suppose que𝑣(𝑡 = 0) = 0 et ou rappelle que𝐹opest constante. On peut donc résoudre l’équation :
𝑣(𝑡) = 𝑣lim(1 −exp(−𝑡
𝜏 )) (24)
On peut en déduire l’intensité𝑖en utilisant𝑖(𝑡) = −𝐵𝑙𝑣(𝑡)𝑅 : 𝑖(𝑡) = 𝑖lim(1 −exp(−𝑡
𝜏 )) où 𝑖lim = 𝐹op
𝐵𝑙 (25)
La grandeur𝑖limest donc la valeur de l’intensité du courant atteinte en régime permanent. On pet tracer les courbes représentatives des fonctions en supposant𝐹opet𝐵positifs.
𝜏 𝑣lim
𝑡 𝑣
𝜏
𝑖lim
𝑡 𝑖
Bilan énergétique Pour faire un bilan énergétique, il faut effectuer un bilan de puissance électrique et un bilan de puissance mécanique
— En multipliant par𝑖l’équation électrique on obtient un bilan de puissance électrique puisque l’équation est obtenue à partir de la loi des mailles
−𝐵𝑙𝑣 = 𝑅𝑖 ⟹ ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟− 𝐵𝑙𝑣𝑖
Puissance fournie par𝑒
= 𝑅𝑖⏟2
Puissance reçue par𝑅 (26)
— L’équation mécanique étant donnée par le PFD, pour obtenir un bilan de puissance, il faut multiplier scalairement par la vitesse.
𝐹op+𝑖𝑙𝐵 = 𝑚d𝑣
d𝑡 ⟹ 𝐹⏟op𝑣
Puissance fournie par l’opérateur
+ 𝑖𝑙𝐵𝑣⏟
Puissance fournie par𝐹La
= 1
2 d d𝑡(1
2𝑚𝑣2)
⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟
Dérivée de l’énergie cinétique
(27)
— On remarque que la puissance fournie par le générateur est l’opposée de la puissance fournie par la force deLaplace. Dans notre exemple, si𝐵et𝐹opsont positifs, le générateur fournit bien de la puissance au circuit alors que la force deLaplaceest une force de freinage, résistante.
Le bilan global s’écrit donc : 𝐹⏟op𝑣
Puissance fournie par l’opérateur
= 1
2 d d𝑡(1
2𝑚𝑣2)
⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟
Dérivée de l’énergie cinétique
+ 𝑅𝑖⏟2
Puissance reçue par𝑅 (28) La puissance fournie par l’opérateur sert d’une part à augmenter l’énergie cinétique de la barre mais aussi à alimenter électriquement la résistance. Lorsque le régime permanent est atteint, c’est-à-dire lorsque la génératrice à démarré, le bilan se simplifie selon
𝐹⏟op𝑣
Puissance fournie par l’opérateur
= 𝑅𝑖⏟2
Puissance reçue par𝑅 (29)
Les rails deLaplace convertissent parfaitement une puissance mécanique en une puissance électrique en régime permanent. Ce résultat est à la base de tous les générateurs électriques.
IV.1.b) Freinage magnétique
Si l’on reprend les rails deLaplacealors que la barre est en régime permanent et que l’opérateur arrête de tirer, seule reste présente la force de Laplace qui en vertu de la loi deLenz s’oppose au mouvement de la barre.
L’équation du mouvement de la barre trouvée plus haut devient :
−𝐵2𝑙2
𝑅 𝑣 = 𝑚d𝑣
d𝑡 ⟹ d𝑣 d𝑡 +𝑣
𝜏 = 0 où 𝜏 = 𝑚𝑅
𝐵2𝑙2 (30)
La vitesse va donc décroitre exponentiellement vers 0 : l’application d’un champ magnétique peut donc freiner un objet conducteur en mouvement. C’est le principe de ralentisseurs par inductions utilisés dans les poids lourds et les TGV, seule la géométrie est différente.
— Un disque métallique est entrainé avec les roues, et passe entre les bornes d’un électroaimant éteint.
Lorsque l’on souhaite freiner, un champ magnétique apparait dans l’entrefer de l’électroaimant.
— Il y a donc un conducteur mobile dans un champ magnétique permanent, des courants électriques volumiques appariassent alors dans le conducteur : ce sont lescourants deFoucault. Les courants deFoucaultsont les analogues volumiques du courant induit.
— Ces courants subissent des forces deLaplacequi en vertu de la loi deLenzvont s’opposer à la rotation de la roue qui ralentit.
Ce type de freinage à plusieurs avantages.
— Comme les courants deFoucaultsont volumiques, l’énergie thermique dissipée par effet joule est mieux répartie que par un freinage par frottement.
— Comme il n’y a pas de contact mécanique, le frein ne s’use pas par frottement
— Si par hasard la roue se bloque, le freinage cesse automatiquement puisque plus aucun courant n’est induit, la roue se débloque aussitôt.
Remarque :
Efficacité du freinage On peut montrer que ce type de freinage n’est efficace qu’à grande vitesse. Lorsque la vitesse diminue, le ralentissement par induction est remplacé par des freins mécaniques classiques (frottements).
Remarque :
Courants deFoucaultLes courants deFoucaultétant volumiques, leur géométrie est complexe et n’est pas au programme. N’étant des courants dans des circuits filiformes, on ne peut utiliser la loi de Lorentzpuisqu’on ne peut définir de surface orientée ou placer une force électromotrice.
IV.2 Conversion de puissance électrique en puissance mécanique IV.2.a) Moteur linéaire à courant continu et à entrefer plan
Dans cette partie on s’intéressera au principe de fonctionnement des moteurs électriques dans un modèle simplifié en translation. Les principes physiques mis en jeu sont utilisés dans les moteurs réels qui ont un mouvement de rotation.
Pour fabriquer un moteur linéaire, nous allons encore une fois utiliser les rails deLaplacequi nous avaient permis de mettre en évidence les forces deLaplace. Le circuit est alimenté par un générateur continu.
𝑅
𝐸
𝑖 C
D
#»𝑣 𝑙
𝑥
0 𝑥(𝑡)
#»𝐵 = 𝐵𝑒#»𝑧
𝑒#»𝑧 𝑒#»𝑦
𝑒#»𝑥
𝑅
𝐸
𝑖
𝑒
Qualitativement, la barre mobile subit une force deLaplace(dirigée vers la droite si𝐵et𝑖sont positifs). ce faisant, le flux magnétique à travers le circuit change (il augmente dans ce cas) au cours du temps : une force électromotrice supplémentaire apparait dans le circuit.
Comme précédemment
𝑒 = −d𝜙
d𝑡 ≃ −d𝜙ext d𝑡 = −d
d𝑡(𝑙𝑥𝐵) = −𝐵𝑙𝑣(𝑡) (31)
D’où l’équation électrique
𝐸 − 𝑣(𝑡)𝐵𝑙 = 𝑅𝑖 (32)
Si le moteur fonctionne à vide, c’est à dire qu’aucun opérateur n’exerce de force sur la barre, la barre n’est soumise selon l’axe(O,𝑒#»𝑥)qu’à la force deLaplace. D’où l’équation mécanique
𝑖𝑙𝐵 = 𝑚d𝑣
d𝑡 (33)
𝜏 𝑣lim
𝑡 𝑣
𝜏
𝐸 𝑅
𝑡 𝑖
On remarque qu’en régime permanent, le courant dans le circuit s’annule : la force électromotrice induite compense exactement la force électromotrice fournie. Ceci est conforme à la loi deLenz: on appelle la force électromotrice induite, force contre-électromotrice du moteur.
En faisant le bilan énergétique comme précédemment, on remarque que la puissance fournie par la force deLaplaceest opposée à la puissance fournie par la force contre électromotrice. Le bilan global s’écrit donc :
𝐸𝑖 = 𝑅𝑖2+ d d𝑡(1
2𝑚𝑣2) (34)
La puissance électrique fournie au circuit par le générateur sert à chauffer la résistance et à mettre la barre en mouvement. Comme le but d’un moteur est de mettre en mouvement la barre, on a intérêt à diminuer au maximum la résistance du circuit.
IV.2.b) Haut parleur électrodynamique
Description Les haut-parleurs permettent de produire un signal sonore à partir d’un signal électrique.
Différentes technologies existent mais nous allons ici nous restreindre au haut-parleurélectrodynamique donc le fonctionnement repose sur les lois de l’induction et de la force de Laplace.
Modélisation Le but d’un haut parleur est de transformer un signal électrique variable dans le temps en un signal mécanique variable dans le temps avec la meilleur fidélité possible. La géométrie des haut-parleur réels est trop complexe pour pouvoir effectuer les calculs de flux et appliquer la loi de Lorentz. On raisonne encore une fois sur les rails deLaplacequi donne des équations analogue aux haut-parleurs réels.
𝑅
𝐸
𝑖 𝐿 C
D
#»𝑣 𝑙
𝑎
𝑥 0 𝑥(𝑡)
#»𝐵 = 𝐵𝑒#»𝑧
𝑒#»𝑧 𝑒#»𝑦
𝑒#»𝑥
Les rails deLaplacesont alimentés par un générateur de tension𝐸, comportent une résistance𝑅et une auto-inductance𝐿(pour tenir compte du fait que les haut-parleurs réels sont bobinés).
On note #»𝐵 le champ magnétique uniforme vertical dans lequel baigne les rails. La barre mobile est soumise à une force de frottements de la part des rails 𝐹#»𝑓 = −𝜆#»𝑣 (𝜆 > 0). Comme la barre de masse𝑚est solidaire d’une membrane servant à transmettre la vibration à l’air, une force de frottement supplémentaire s’applique sur la barre𝐹# »son= −𝛼#»𝑣 (𝛼 > 0)
Un ressort de raideur𝑘relie la barre à un solide fixe dans le référentiel d’étude.
Équation électrique Le flux du champ magnétique à travers le circuit est la somme du flux extérieur et du flux propre
𝜙 = (𝑎 + 𝑥(𝑡))𝑙𝐵 + 𝐿𝑖 (35)
D’où la force électromotrice
𝑒 = −𝑙𝐵𝑣(𝑡) − 𝐿d𝑖
d𝑡 (36)
Donc, l’équation électrique
𝐸 + 𝑒 = 𝑅𝑖 ⟺ 𝐸 − 𝑙𝐵𝑣(𝑡) − 𝐿d𝑖
d𝑡 = 𝑅𝑖 (37)
𝐸
𝑖 𝑒 𝑅
Équation mécanique La barre est soumise aux deux forces de frottement, à la force deLaplace, ainsi qu’à son poids et la réaction normale des rails. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la barre, projeté sur l’axe𝑒#»𝑥 donne :
𝑖𝑙𝐵 − (𝜆 + 𝛼)𝑣 − 𝑘𝑥 = 𝑚d𝑣
d𝑡 (38)
Les deux équations étantlinéaires, si la consigne𝐸est une sinusoïde de pulsation𝜔, le courant𝑖, la position𝑥et la vitesse𝑣seront aussi des fonction sinusoïdales de pulsation𝜔éventuellement déphasées et d’amplitude différentesune fois le régime permanent atteint.
Pour avoir un haut-parleur de qualité, celui-ci doit atteindre le régime permanent extrêmement rapidement (cf sismomètre).
Bilan énergétique Comme précédemment, on se rend compte que la puissance fournie par la force deLaplaceest opposée à la puissance fournie par la force électromotrice induite extérieure (pas celle due à l’auto-induction) Le bilan donne alors :
𝐸𝑖 = d d𝑡(1
2𝐿𝑖2+1
2𝑚𝑣2+1
2𝑘𝑥2) + (𝑅𝑖2+ 𝜆𝑣2+ 𝛼𝑣2) (39) L’énergie délivrée par le générateur est
— utilisée pour faire varier l’énergie du haut parleur sous forme magnétique, cinétique, élastique ;
— dissipée dans les frottements, soit par effet joule dans la résistance, par frottement sur les rails ou contre l’air.
Le terme de frottement dans l’air est le terme utile, il faut donc diminuer l’importance des autres termes. En particulier avoir une résistance𝑅nulle et n’avoir aucun frottement sur les rails.
Impédance On cherche maintenant à déterminer l’impédance du haut parleur lorsqu’il est inclus dans un circuit. Pour ce faire, on revient à la définition de l’impédance.
