Lycée Berthollet MP/MP* 2021-22 TP d’algorithmique NOTA BENE :

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Lycée Berthollet MP/MP* 2021-22

TP d’algorithmique

NOTA BENE : Pour chaque algorithme décrit, on évaluera rapidement un ordre de grandeur de la complexité temporelle dans le pire des cas et de la complexité spatiale.

Exercice 1 (Syntaxe Python). Pour se remettre en mémoire la syntaxe du langage, on propose l’activité suivante : charger danspyzole fichier pythex.py qui se trouve dans le répertoire Coursde la page web http://mathemouton.free.fr/Info/, puis l’exécuter ligne par ligne en essayant de deviner le résultat à chaque étape et comprendre les différences avec le résultat réel.

Exercice 2 (Numération). Le but est ici d’écrire des fonctions permettant d’afficher l’écriture d’un entier naturel dans une basebet de lire un entier naturel écrit en baseb. Pour alléger la rédaction, on appellera simplementnombresles nombres entiers naturels.

Conventions :on distinguera l’écriture sous forme de chaîne de caractères, c’est-à-dire qu’on pourra lire au clavier ou afficher à l’écran (comme par exemple la chaîne “1F” qui représente le nombre trente-et-un en base seize) de l’écriture théorique en basebqui sera une liste de chiffres, les chiffres étant eux-mêmes des nombres compris au sens large entre 0 etb−1. Reprenant l’exemple précédent, l’écriture théorique en base seize du nombre trente-et-un sera la liste Python[15,1], avec la convention que le chiffre correpondant à b^k se trouve en positionkdans la liste (se rappeler que les listes commencent à l’indice 0 en Python). Pour simplifier les choses, l’écriture sous forme de chaîne sera simplement appeléechaîneet celle sous forme de liste sera appeléeliste. De plus, pour nous l’écriture en basebd’un nombre aura toujours un chiffre “de plus haut poids” (i.e.correspondant à la plus grande puissance deb) non nul, sauf pour le cas de zéro qui s’écrira avec un seul chiffre, 0. Par ailleurs, pour des raisons pratiques de représentation des chiffres strictement plus grands que 9 par des lettres, on se limitera à des basesbinférieures ou égales à 36.

On supposera dans un premier temps que les arguments donnés aux fonctions sont valides et on remet à plus tard le traitement des erreurs correspondant à des arguments invalides.

1. Écrire une fonctionlireListe(liste,b)qui lise une listelisteet retourne le nombre dont l’écriture théorique en basebest la liste en question. On utilisera pour cela la factorisation de Hörner.

Tester cette fonction sur les listes suivantes :[15,1]en base 16,[1,0,1,1]en base 2,[0]en base 7, [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]en base 10.

2. Écrire une fonction ecrireListe(nombre,b) qui retourne une liste représentant le nombre nombre en baseb. La tester en la composant avec la fonction précédente dans un sens et dans l’autre sur différents exemples.

On s’intéresse maintenant à la traduction des chaînes de caractères en listes de chiffres etvice versa.

3. Écrire une fonctionconvCaract(caract)qui convertisse un caractèrecaractqui est supposé être soit un chiffre décimal (’0’–’9’), soit une lettre capitale (’A’–’Z’), en un nombre compris entre 0 et 35, suivant la convention :A représente 10,B représente 11,etc. Le résultat de cette fonction est donc le nombre en question. Pour cela, on utilisera la fonctionord(caract)qui retourne le code ASCII du caractèrecaract, en se référant à une table ASCII pour trouver les valeurs qui nous intéressent. Tester cette fonction.

4. Écrire une fonctionlireChaine(chaine)qui lise une chaîne de caractèreschaineet retourne la liste correspondant à cette chaîne. Remarquez que la chaîne et la liste sont dans l’ordre inverse l’une de l’autre.

Tester cette fonction.

5. Écrire une fonction convChiffre(nombre) qui convertisse un nombre compris entre 0 et 35 en un caractère qui soit un chiffre décimal (’0’–’9’) ou une lettre capitale (’A’–’Z’) suivant la convention évoquée précédemment. On utilisera la fonctionchr(nb)qui retourne le caractère de code ASCII nb. Tester cette fonction à l’aide de la fonctionconvCaract.

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6. Écrire une fonctionecrireChaine(liste)qui lise une listelisteet retourne la chaîne correspondant à cette liste. Tester alors toutes les fonctions par des compositions multiples et écrire un convertisseur permettant de passer de l’écriture dans une base à l’écriture dans une autre base.

7. Introduire pour chaque fonction un contrôle de la validité des arguments ainsi que le traitement des erreurs correspondantes (messages d’erreurs).

Exercice 3 (Relations-applications). Le but est ici de tester les différentes propriétés d’une part de relations binaires sur des ensembles finis et d’autre part d’applications entre ensembles finis.

Tout ensemble fini de cardinal nétant en bijection avec l’intervalle d’entiers[[0,n−1]], on se limitera aux ensembles de ce type.

Important : Toutes les fonctions devront être testées sur des exemples que vous construirez vous- même afin de parcourir les différents cas de figure. Ces exemples seront écrits dans le même fichier que les fonctions Python, pour ne pas avoir à les rentrer manuellement à chaque test.

1. On représente les relations binaires par des listes de listes (tableaux bidimensionnels) de nombres entiers valant 0 ou 1 suivant que les éléments sont en relation ou pas. Par exemple, le tableau bidimensionnel

R = [[1,0,1],[0,0,0],[1,1,0]]

représente la relation binaire

R

définie sur[[0,2]]par 0

R

^{0, 0}

_R 6

1, 0

R

^{2, 1}

_R 6

0, 1

_R 6

1, 1

_R 6

2, 2

R

^{0, 2}

R

^{1 et 2}

_R 6

2.

Le(i,j)-ème élément du tableauR[i][j]vaut donc 0 sii

_R 6

jet 1 sii

R

^j.

Écrire des fonctions prenant en argument un tableau carréR de 0 et de 1 et retournantTrueouFalse suivant que la relation est ou n’est pas :

— réflexive (∀x∈[[0,n−1]], x

R

^x)

— symétrique (∀x,y∈[[0,n−1]], (x

R

^y⁼^⇒^y

R

^x))

— antisymétrique (∀x,y∈[[0,n−1]], ((x

R

^y^et^y

R

^{x) =}^⇒^x⁼^y))

— transitive (∀x,y,z∈[[0,n−1]], ((x

R

^y^et^y

R

^{z) =}^⇒^x

R

^z))

— une relation d’équivalence (réflexive, symétrique et transitive)

— une relation d’ordre (réflexive, antisymétrique et transitive)

— une relation d’ordre total (relation d’ordre telle que∀x,y∈[[0,n−1]], (x

R

^y^ou^y

R

^x))

— une application (∀x∈[[0,n−1]],∃!y∈[[0,n−1]], x

R

^y)

2. Une application entre deux ensembles est définie par son ensemble de départ [[0,n−1]], son ensemble d’arrivée [[0,p−1]] et les images des éléments de l’ensemble de départ. Plutôt qu’avec des tableaux bidimensionnels comme dans la question précédente, il est plus efficace de représenter les applications par des listes unidimensionnelles, le premier élément étant l’image de 0, le deuxième l’image de 1,etc. Pour signifier l’ensemble d’arrivée, il faut alors passer aux fonctions Python un deuxième argument : l’entierp.

Ainsi la liste et l’entier

F = [2,3,4,2,7,5,6,8,8,8,0,1], P = 9

représentent l’application f de[[0,11]]vers[[0,8]]telle que f(0) =2, f(1) =3,. . . f(11) =1.

Écrire des fonctions prenant en argument une listeFd’entiers naturels et un entier naturelPet retournant TrueouFalsesuivant que l’application est ou n’est pas :

— surjective (∀y∈[[0,p−1]], ∃x∈[[0,n−1]],f(x) =y)

— injective (∀x,y∈[[0,n−1]], (f(x) = f(y) =⇒x=y))

— bijective (∀y∈[[0,p−1]], ∃!x∈[[0,n−1]],f(x) =y, ce qui équivaut à être surjectiveetinjective) 3. Écrire une fonction calculant la composée de deux applications passées en arguments et en écrire une autre calculant l’application réciproque d’une bijection, puis tester la deuxième à l’aide de la première.

Exercice 4 (Problème de Caligula(qui comme chacun le sait était un fou sanguinaire)).

Caligula décide de s’amuser : il prendnpersonnes au hasard et décide de les tuer toutes sauf une. Pour faire durer le plaisir, il décide de procéder de la manière suivante : il numérote les personnes de 0 àn−1 et les fait disposer en cercle autour de lui dans l’ordre des numéros. Il choisit un nombreqquelconque puis, partant du numéro zéro, se décaleqfois d’une personne en partant dans l’ordre croissant et faisant éven- tuellement plusieurs tours. Il tue alors la personne en face de lui. Le corps enlevé, il recommence le procédé

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(qdécalages à partir de la position de la dernière victime, en ne comptant que les personnes encore en vie, puis assassinat) jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’une personne en vie, qu’il épargne alors généreusement.

Écrire une fonctionsurvivant(n,q)qui retourne le numéro de la personne qui sera épargnée.

Exercice 5 (Graphes). On travaille ici sur les graphes finis non orientés : un tel graphe est la donnée d’un ensemble fini de nsommets (qu’on prendra toujours égal à [[0,n−1]]) associée à la donnée d’arêtes non orientées pouvant joindre deux sommets différents. Deux sommets joints par une arête sont ditsvoisins.

On se limitera au cas sans arêtes multiples entre deux sommets, donc ce graphe pourra être représenté par une matriceA= (ai,j)_(i,j)∈[[0,n−1]]² de taillen×nà coefficients valant 0 ou 1 de la manière suivante : le coefficienta_i,_j vaut 1 si les sommetsiet jsont reliés par une arête et 0 sinon. Les élément diagonaux sont nuls et la matrice est symétrique. Cette matrice est appelée lamatrice d’adjacencedu graphe.

On représente ici les matrices en Python par des listes de listes (tableaux bidimensionnels) comme a = [[0,1,1,0],[1,0,0,1],[1,0,0,0],[0,1,0,0]]

1. Dessiner à la main le graphe représenté par cette matrice d’adjacence. Dessiner un graphe quelconque, expliciter sa matrice d’adjacence et faites-là vérifier par votre voisin.

2. Écrire une fonctionadjacence(a)qui retourneTruesi l’objet python nomméaest une matrice d’adjacence etFalsesinon.

3. On appellevalenced’un sommet son nombre de voisins. Écrire une fonctionval(a,s)qui retourne la valence du sommetsdu graphe dont la matrice d’adjacence esta, puis une fonctionvalMax(a)qui retourne la valence maximale des sommets de ce graphe. Écrire aussi une fonctionregulier(a)qui retourneTrue si le graphe estrégulier,i.e.si tous les sommets ont la même valence, etFalsesinon.

4. ?On dit que le graphe estconnexe si deux sommets quelconques peuvent toujours être joints par une suite finie d’arêtes (un telle suite est appelléechemin). Écrire une fonction connexe(a)qui retourneTrue si le graphe est connexe etFalsesinon.

5. ?On dit que le graphe estsimplement connexes’il est connexe et s’il n’existe aucun chemin sans aller- retours joignant un point à lui-même (un chemin comporte unaller-retours’il utilise deux fois de suite la même arête). Écrire une fonctionsimplementConnexe(a)qui retourneTruesi le graphe est simplement connexe etFalsesinon.

Exercice 6

1. Écrire une fonction intersect(list1,list2) qui compare deux listes list1 et list2et retourne TRUEsi les deux listes ont un élément en commun etFALSEsinon.

2. ??On ne considère ici que des listes de nombres entiers pris dans l’intervalle[[1,8]]. On suppose définie la fonction de la question précédente dont on se servira directement ici. Écrire une fonctionf(list) qui affiche toutes les listes de même taille que la listelistqui n’ont aucun élément en commun aveclist. Exercice 7 ? ? ?(Permutations). Écrire une fonctionpermutations(n)qui liste à l’écran les permutations den éléments, chaque permutation étant listée exactement une fois. Par commodité, chaque permutation sera décrite sur une ligne séparée.

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