Enoncé C223 (Diophante)
Raymond Bloch le futé sur son (vieux) kayac
De manière à obtenir les deux membres d’une égalité, insérer les trois symboles /(division), = (égalité) et , (séparateur décimal) dans la chaîne de caractères KAYACBLOCHBLOCHBLOCH. . .. où chaque lettre représente un seul chiffre et la sous-chaîne BLOCH se repète une infinité de fois.
Variante : Insérer les symboles /(division), = (égalité) et . (séparateur décimal en mode anglo-saxon) avec la chaîne de caractères
FUTEBLOCHBLOCHBLOCH. . .
Nota : Kayac est une autre écriture (ancienne) de Kayak.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit P/Q = D l’égalité à obtenir, D étant un développement décimal.
Entre la virgule et le premier B qui la suit, il y aasymboles. Alors 10a(105− 1)D est un entier Z. Si P GCD(P, Q) = d, q = Q/d est un diviseur de 10a(105−1)P/d.
105 −1 = 32 ·41·271 ; si q n’était divisible ni par 41 ni par 271, la période du développemennt décimal se réduirait à un chiffre ; si q était divisible par 41 et 271, il serait multiple de 11111 et Q devrait avoir au moins 9 chiffres pour avoir tous ses chiffres distincts ; de même pour P, sous peine d’avoir une répétition de zéros après la virgule, ce qui n’est pas compatible non plus avec les chaînes de caractères de l’énoncé. J’admets donc que q est divisible par un et un seul des facteurs 41 et 271. Cela peut se traduire pour q par 41, 123, 271, 369, 813. . . Corrélativement, les périodes du développement sont multiples des quotients de 99999 par ces dénominateurs, soit 2439, 813, 369, 271, 123.
Pour la première chaîne de caractères, j’essaie de donner à YA la valeur 41 ; alors KA peut être 21, 31 (avec 0 pour C) ou 91 (avec 2 pour C). Mais seul 31 donne au C de KAYAC la même valeur (0) que dans BLOCH 31/41 = 0,7560975609. . .
avec les insertions KA/YA=C,BLOCHBLOCHBLOCH. . .
Pour la deuxième chaîne de caractères, je cherche quels chiffres peuvent former la fin de Q et le début d’une période. Dans la liste des périodes possibles, on trouve avec une période telle que abcde les périodes bcdea, cdeab, deabc, eabcd ; d’où 10 périodes multiples de 2439, compatibles avec 41 pourQ, 10 multiples de 813 compatibles avec 123, 70 multiples de 271 compatibles avec 369 ; d’autre part 55 périodes multiples de 369, compa- tibles avec 271 pour Q, 135 multiples de 123 compatibles avec 813, 415 multiples de 41, compatibles avec 2439.
La difficulté est de trouver assez de recouvrement entre Q et BLOCH pour que la période commence à la 5e lettre. Je n’en ai pas vu avec 271 divisant Q, P étant alors trop grand. Avec Q multiple de 41, et les in- sertions FUT/EBL=O,CHBLOCHBLOCH. . .390/369 = 1,056910569. . ., mais FUTE est en ce cas ELCE.
De même FUTE est OUCE dans 360/82 = 4,390243902439. . . avec les insertions FUT/EB=L,OCHBLOCHBLOCH. . .
Le mode anglo-saxon permet de gagner un caractère zéro dans P avec (pour les exemples précédents) 39/369 =.105. . ., 36/82 = .439. . . qui ne conviennent pas, mais remettent dans la course 271 comme facteur deQ.
Curieusement, ce n’est pas de ce côté que vient la solution, l’exigence de 9 chiffres différents pour FUTEBLOCH étant trop prégnante, mais de 23/41 =.5609756097. . .
avec les insertions FU/TE=.BLOCHBLOCHBLOCH. . .
