Lycée Berthollet MPSI1 2021-22
Feuille d’exercices sur le langage mathématique
Logique
Exercice 1 On considère les propositions suivantes : A : Il fait beau.
B : Je travaille.
C : Je me promène.
Traduire les phrases suivantes sous forme symbolique à l’aide des lettres “A”, “B”, “C” et des opérateurs logiques “non”, “et”, “ou” et “=⇒” :
1. Je me promène. Il fait beau.
2. Il ne fait pas beau mais je me promène.
3. S’il fait beau, je me promène.
4. Chaque fois que je me promène, il fait beau.
5. Je travaille uniquement s’il ne fait pas beau.
6. Je ne travaille pas lorsqu’il fait beau.
7. Il suffit que je travaille pour qu’il fasse beau.
8. De deux choses l’une, soit je travaille, soit je me promène.
Exprimer ensuite les négations de ces phrases, à la fois en français et de manière symbolique.
Écrire une phrase en français pour exprimer “A⇐⇒B”.
Exercice 2 L’île des Purs et des Pires (d’après R. Smullyan).
Sur cette île, il y a deux types d’habitants : les Purs, qui disent toujours la vérité, et les Pires, qui mentent toujours. Chaque habitant de l’île est soit un Pur, soit un Pire.
1. Vous rencontrez deux habitants de l’île, A et B. A affirme : Au moins l’un de nous deux est un Pire. Que sont A et B ?
Supposons que A dise plutot : Je suis un Pire ou B est un Pur. Que sont alors A et B ?
2. Vous êtes maintenant avec trois habitants, A, B et C. A dit : Nous sommes tous des Pires, ce à quoi B répond : Un et un seul d’entre nous est Pur. Que sont A, B et C ?
3. Qu’aurait-on pu dire si B avait répondu : Un et un seul d’entre nous est Pire ?
Exercice 3 Lucas possède des crayons de couleur, les couleurs possibles étant noir, bleu ou rouge. Parmi les crayons de Lucas, deux (exactement) ne sont pas noirs, deux ne sont pas bleus et deux ne sont pas rouges.
1. Montrer que Lucas possède des crayons d’au moins deux couleurs différentes.
2. Montrer que Lucas possède des crayons des trois couleurs.
3. Déterminer le nombre de crayons de chaque couleur que possède Lucas. Justifier qu’il n’y a qu’une possibilité.
4. Retrouver ce résultat par un raisonnement ensembliste.
Exercice 4 Voici cinq affirmations relatives aux mêmes quatre nombres entiers a, b, c et d.
Parmi elles, on sait qu’une seule est fausse. Laquelle ?
1. betcsont des entiers pairs.
2. cetdsont soit tous deux pairs, soit tous deux impairs.
3. detbsont deux nombres impairs.
4. cest pair.
5. aest pair oucest pair.
Exercice 5 Trois commerçants habitent dans 3 maisons situées aux numéros 21, 23 et 25 de la même rue. Le boucher habite dans la maison jaune, qui est à côté de la rouge mais qui n’est pas à côté de la verte. L’épicier, qui n’est pas suisse, habite à côté du Français. L’Italien habite au numéro 21 et sa maison n’est pas jaune. Quelle est la nationalité du pharmacien, quelle est la couleur de sa maison, et où habite-t-il ?
Exercice 6 Construire les tables de vérité de ((A=⇒B) =⇒C)et(A=⇒(B=⇒C)). Qu’en déduisez vous ?
Exercice 7 Construire la table de vérité de (((A=⇒B)et(B=⇒C)) =⇒(A=⇒C)). Qu’en déduisez vous ?
Exercice 8 Construire les tables de vérité de((A ⇐⇒ B) ⇐⇒ C)et(A ⇐⇒ (B ⇐⇒ C)).
Qu’en déduisez vous ? Exercice 9
1. Montrer que(Aet(BouC))et((AetB)ou(AetC))sont équivalentes.
2. Que dire de(Aou(BetC))?
Manipulations ensemblistes
Exercice 10 Dans une classe de 60 étudiants, les étudiants peuvent s’inscrire en arabe, en bir- man et en coréen. Parmi les étudiants, 19 étudient l’arabe, 23 le birman, 31 le coréen, 8 sont inscrits en arabe et en birman, 9 en birman et en coréen, 11 en arabe et en coréen et enfin 5 étudiants ont opté pour les 3 matières.
1. Quel est le nombre d’étudiants de cette classe qui n’étudient aucune des 3 matières ? 2. Quel est le nombre d’étudiants de cette classe qui étudient exactement une des trois ma- tières ?
3. Quel est le nombre d’étudiants de cette classe qui étudient le birman ou le coréen, mais pas l’arabe ?
Exercice 11 Écrire la négation des formules mathématiques suivantes : 1. ∃(a,b)∈(R?+\Q)2,ab∈Q
2. ∀ε>0,∃α>0,∀x∈R,((|x−x0| ≤α) =⇒(|f(x)−1| ≤ε)) 3. ∀ε>0,∃N∈N,∀n∈N,∀p∈N,(((n≥N)et(p≥N)) =⇒
un−up
≤ε)
Exercice 12 Soient les ensembles suivants :E={a,b,c,d,e,f},A={a,{b,c}}, B={{a,d},{{b,c},{e,f}}},C={{a,d},{e,f}}.
1. CalculerA∪B∪C.
2. Est-ce queB=E? 3. Est-ce queA⊂B?
2
4. Est-ce queA⊂
P
(E)?B⊂P
(E)?C⊂P
(E)?5. Comparer [
X∈B
X etE. Que dire de [
X∈C
X etE? 6. Exprimer
P
(B).7. CalculerB\AetB\C.
8. Quel relation y a-t-il entreCet
P
(P
(E))?Exercice 13 Montrer que, quels que soient les ensemblesA,BetC,
A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C) et A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C).
Exercice 14 Montrer que, quels que soient les ensemblesA,BetC, on a
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
Exercice 15 SoientE, Aet Bdes ensembles tels queA∪B=E etA∩B=0. Exprimer/ Ben fonction deEetA.
Exercice 16 SoientE, A,B,CetDdes ensembles tels queD⊂E,A∪B∪C=E,A∩D⊂B, B∩D⊂CetC∩D⊂A. Montrer queD⊂A∩B∩C.
Exercice 17 SoientA,B,CetDquatre ensembles. Montrer que(A×C)\(B×D) = ((A\B)× C)∪((A∩B)×(C\D))et que cette réunion est disjointe.
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