Transformation empirique des tables numeriques de Galton en tables des probits

Transformation empirique des tables numeriques de Galton en tables des probits

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Authors Zabi, S.G.

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Arch. Sc. Cent. Rech. Ocdanogr. Abidjan Vol. IX, n°3, Août 1983 35-56

TRANSFORMATION EMPIftIQUE DES TABLES NUMERIQUES DE GALION EN TABLES DES PROBITS

par

Soko Guillaume ZABI'

RESUME

La compraisonde l'équation de Galton à celle des modèles log-normaux de Preston a permIs de reconstituer de façon empirique les tables des probits.

Mots-clés

^:

Transformation empirique, Probits.

ABSTRACT

Comparison between Calton eouation and Preston normai log-garithms models altowed an empirical reconstitution of probits tables.

Key words

^:

Empirical transformation, Probits.

Centre de Recherches Océanographiques - LP. V 18 - ABIDJAN (Côte d'Ivoire)

y-

INTRODUCTION

Les tables numériques sont un outil précieux de travail dont on se soucie peu quand on n'en a pas un besoin précis et urgentj Et comme le dit Boll (1964) "aucun chercheur, aucun technicien ne peut savoir s'il n'aura jamais besoin de tableaux, de prime abord étrangers à ses préoccupations habituelles".

Et

est souvent très déçu de ne pas avoir sous la main la table numérique que l'on voudrait immédiatement consulter. C'est donc pour cette rai-

son que nous proposons une méthode empirique de reconstitution des tables de probits qui n'existent pas au C.RO. à partir de l'intégrale de la loi normale réduite appliquée aux modales log-norrnaux de Preston et à partir de l'équation de Calton basée sur cette marne intégrale mais avec des bornes différentes et qui a donné les tables de Galton rassemblées par Boll (1964).

Elaboration empirique des tables des probits.

Elle se réfère à l'équation de Galton oui s'écrit

Or nous savons, selon Daget (1976), que les modàles log-normaux obé- issent à la relation suivante

6(x)

-

^V211

f ^{e - dt -}

⁽²⁾

-x

Les deux relations sont des formes d'intégrales analogues de la loi normale réduite

y-

2

- 36 -

2ll

C'est-à-dire une courbe normale pour laquelle l'écart-type O =

et la moyenne ¡n

O.

(1)

Ces deux intégrales présentant des bornes différentes et en posant

x = t la relation (2) devient

N N+1

e2 ^dt=

⁽³⁾

On petit alors comparer (1) et (3). Ceci amène b noter que les bornes de l'intégrale de la relation. (1) varient évidemment de O à x et que celles de

l'intégrale de la relation (3) passent de -x à O et de O à x de façon continue.

En d'autres ternes on peut dire que

0(x) =

ou encore

N

- 37

Cette dernière relation se vérifie très bien avec les données utili- sées par Daget (1976) et celles des tables de Galton (cf. Annexe).

En effet, pour mieux comprendre ce que représente la droite des probits par rapport à la courbe des espèces et à la courbe des individus, Daget (1976) étudIe le modèle canonique correspondant à N = 36. Ce quí donné

0(x) =

36

0,973

avec une valeur de x donnée par les tables de O qui est de 2.21.

Si on se réfère aux tables de Galton pour x = 2.21 y = 0.4864474.

Ce qui montre très bien que 0(x)

2y.

Par ailleurs nous savons que pour une loi normale réduite

co

ydx =

(4)

Si nous nous mettons dans ce cas la relation (3) ^devient

0(x) =

iT - ^{= 0.5}

et dans le second

6(x) < 0.5 0(x) - 0.5 < O - 38 -

dtaprs Daget (1976), on remarque que lorsque 10 0(x) > 0.5 cela veut dire que

+6 <

x ^{< +cx} --

6(x)< 0.5 cela signifie que

<X <0

Dans le premier cas on peut écrire que

Dans l'autre cas où

cc < X

< O

ou encore X < O P1(k) ^{X + 5}

En appelant ki les valeurs des pourcentages cumulds du rang i des espOces, on note tout de suite que

Ainsi, les valeurs de Y données par les tables de Galton s'obtiennent à partir des ve].;tions (5) et (6), ce qui permet donc par simple lecture de connaître les valeurs correspondantes de X.

Si on se met dans l'hypothèse où

O < x < +, donc X positif.

On peut calculer le probit correspondant

avec donc P (Id) > O 0(x) - 0.5 > O

₍₅₎

0.5 - 0(x) > O

(6)

- 39 -

le probit correspondant est

Et les tables de Galton montrent bien que lorsque O(x) < 0.5, le pro- bit P2(ki) est positif.

toute cette démarche que nous avons suivie pour calculer les probits P(ki) que nous avons comparés à ceux lus directement dans les tables de probits par Daget (1976). Le tableau I ci-dessous récapitule tous ces résul-

tats.

Tableau I - Comparaison des probits et des probits cal-

culés *

Il ressort de ce tableau que les probits calculés sont aux 3 dernières décimales près analogues à ceux donnés par les tables. Il est cependant utile de rappeler que la précision du calcul relève des corrections qu'il est ^indispen- sable de faire parce que les valeurs de 0(x) ou de Y déterminées à ^{l'aide des} relations (5) et (6) ne sont pas identiques à celles des tables de Galton pour permettre une lecture directe des X correspondants. L'exemple de calcul suivant donne la démarche utilisée pour les corrections et qui est la même pour 0(x) <

ou 0(x) > 0.5.

1 lu

P(ki) lus

(Daget, 1976)

P(ki' calculés Zabi (1983)

1

94,118 6.5647 6.5647564

2

88.235 6,1867 6.1868166

3

82.353 5.9289 5.9289016

4 76,471

5.7215 5,7215376

5

70.588 5,5414 5,5413880

6

64,706 5,3773 5,3773949

7

58.824 5.2230 5.2230200

8 52.941

5.0738 5.0737866

9

47.059 4.9262 4.9262134

10

41,176 4.7770 4.7769800

11 35.29,4

4.6227 4,6226051

12

29.412 4,4586 4.458612

13

23,529 4.2785 4.2784624

14

17.647 4.0711 4.0710984

15

11.765 3.8133 3.8131834

16

5.882 3.4353 3.4352436

P2(k)

=

- X + 5 ou P2(ki) = 5 - X

X1 =

1564

=

1,5651 - 40 -

Pour ki = 0.94118 on a

Y = ki - 0.5 = 0.94118 0.5 = 0.44118

Cette valeur se situe dans les tables de Calton entre 0.4410912 et 0.4412086 et celle de X correspondante se trouve entre 1.564 et 1.565. AY peut

s

calculer soit par rapport à la plus grande valeur de Y soit par rapport à la plus petite de Y ce qui, exactement, donne le même résultat pour le même Ax.

Ceci donne d1une façon pratiQue dans le cas où Y est égal à 1.565 selon le mode de calcul suivant

Avec

Yo

=

0.44118

Y' 0. 4410912 Y2 ⁼

0.4412086 on a

AY = Y - Y,

= 1174 x 10

=

Y2 - Y

=

286 x

La correction à faire pour trouver X0 la valeur cherchée est donc

10

x 286

X

ioY

A1X

= _-

2436

X

1174 x

X0

=

1.565 - 2436 x 10 .5647564

Quand y prend sa plus petite valeur 1.564 la démarche est la suivante A"Y

=

Y0 - Y1

= 888 X

10'

10

x 888

X -7

A"X

= _-

7564

X 10

1174 x

X0 =

1,564 + 7564 x

=

1.5647564 Le probit P(ki) correspondant à Xo est évidemment _{égal à}

P(ki) = Xo + 5 =

P(ki) = 1.5647564 + 5 _6.5647564

AX = X2 - X1 =

41 -

Nous venons donc de voir comment B. partir des tables numériques de Galton, nous pouvons reconstituer celles des probits qui sont aussi d'un usage pratique.

BIBLIOGRAPHIE

Boll M., 1964,- Tables numBriques universelles des laboratoires et bureaux

d' 6tude.

3è ed. Dunod Paris.

Daget J., 1976.- Les modèles mathdmatiques en doologie.

Mas son.

- 43

AN NEXE

TABLE

DE GALTON

45 -

X

i ^{X Y}

^{Y h}

^X Y

0,000 0,000001)0

0,001 0,0005W)9

UNI

0.02033/2 0.101 0.0 302247 0,131 0.0310(27

0,002 0,11007919 0.052 0.003 0.03) 053 03335

0.021)7356 0,102 0.11106216

0.02(340

^{0. 3fl3} o 3 (0135

0.1 0.0001066

11. 0.11003999

0.001 0.00 0.054 0,02)5324 0,1114 0.0113-353

5. 64

_{0.063 (952}

0,005

0.Cil09.7

0.095 0.0216303 0,305 0,04181 2) 0,135 0,06) 3.394 0.303 0.3623223

0,6:0

0.0223231 0,106 3.1322360 0.333 0.2333223 0.007 0. 00271)26 0.037 0.0227274. 0.107 3.04213033 0.15'! 0.0623777 0.008 OE 093 9 IS 0,058 0.0231237

0.l0&

0.0337322 0.353 0.0027737 0.009 0, 003 005 0.059

0.010 0,0035594 0,020

0,0235240 0.109

0,0239222

o,Ílo

^13,0)335830,0137953

' 0.159 0.653(9139 0,300 _0.0635535

0.011 0.0043083 0.061 0.0243204 0.111

0,01 31)8

^' 0,161 0.0035333

0.012 0.113 7872 0.002 0.0247196 0,112 0.01 >333 13,132

U(;64371

u.J O 0,IJZoI 1b3 10113 JO c>7

LIb

³⁾ LP

0.0(4 0.0055660 0,00'3 0,015

0.050$30

0,065 0,01 & 0.0053837 0,006

0.0255349 0, 0,0259)30 0, 0.0253111 0.

14 0.043383!

IS 0.0357774 6 0,04>3)7:30

,

6.164 0.131331243 0,360

0,0o3230 0.69

0.06592)5 0.037

0,018

0,0(9

0,020 0,021

6.03013! 9 0.007 0.0071800 0.068 (1 0073764 fl,139 0,0072703 0,070 3.0032712 0,071

0.0267032 0,0271072 0.0275057 0,0279032 O 02830(2

0, 0, 0, 0, 0.

17 38 19 20 21

0.0465700 0.0313132 00371394

.' 0,167 0.0133)50 0.103 0.5007034

i59

' 0.96110)7 0,310 0,111313949 0.171 13,9575333 0,022

0,023 0,024 0,020

fj.023i700

0.972 3713 0,073

0,13.103 113 0.074

0.13350724 0,075

0.0280991 0. 02'323) O 0.0291349 0,02913327

(I, û, 0, 0,

22 23 24 23

0.013,3530 0>1185 55 0,131>0431

0,0197303

Ui /2

9>1>353>3(2

5.)'i 3 Qf>"3,;> 74') 0.378 0,6>1310072 0,115 0,11394532

0.026 C.1fl02712 0.0302905

0,20

0.903(37') (1313 0.0 5 03 330

0,027 0.020 0,029

001u7709

OOil

0.3311038 '. 0.079 0.0311317 0.379

0,0353003 0, 0.0330660 0, 0.03(4037 ^0.

27 25 20

0.0352J3 0,0'95I3

0.0533213

0.171 0,1 13 0J13.

0.0703439 0.0706285 0,117)3411 0,030

0,03 I

0.031>1655 010m 0,0327603 9,081

0,0318014 0,

0,0322791 0

30 31

0,13i173.8

0.05212)

0,130 5,6/34207

i>, 31 0.11711393

0.032

0,0127040:

^{0.032 0.0026767 0.132 0.0503978 5.302 0.0122026}

0,083 0.0131027 0.0330743 ³ 0,333 0,03 3,ir.34 0.102 0.0726530

0,034 0.01313614 1. 0,084 0.0134719

0.l3

0,1332.2353 0.134 0.1729933

0,030 U0136b01 h 0,005 0033 36 '94 0,135 I I

[j,l:3

_{00723 351}

0,036 0.5(43398 ' 0.256 0.0342569 0,305 0.05 f0235

0.3.')

0.0737736

0.037 0.03 ?57S 0.081 0.03.16643 0,137 0.0 3).) 0,33? 0.07411397

0,031 0.0131502 0.033 003561$ 7

0. 33

0.0333709 0.334 0.07356(7 0,009 0.cflSiSlO 0,030 0.0354591 0.139 0.6032750 0(6>9 0. 1; 740333 0.0.30 0,0350334 h 0.650 0,0858564 0,140 O. 0';56 7 13 0 0,359 0,0753334

1013 0.031 0.0302937 0.141 3) II 13393 0,1133 ' 130797312

0.642 U.0 87066 (3.092 0.03365)0 (1,1(2 0.006.3509 0.392 0.0793209

1(043 0.9:73412 0.003 0.0376482 0. 1.13 OIS.» 23 DU t> .13 >5IJ, 0.044 0.0373478

06H

O 03 73 404 0.114 0.1(379433 Ij,1334 ^. i(.>j703 320 0.045 U.0 70403 0,1133 0,0378'l 26 11)13 0.63 73 .i IB 0.395

0.043 11,0385413 ^' 0,000 1)5322397

0.49

o.oso :393 11,300 5.6775019 0.047 0.1097)3:3 0,057 0,02360(03 0.317 0.059 '343 0.39? 0337513262 0.048 0.QIIJI3IO ^11.1303 0,0320.331) 3>. 1.10 0,1113.12:33 3,3,0347314 0.049 t). 3) 62' 03 6,053 0.10314303 0,319

ç'..,1.,,

0,333 3,9761337

(1,050 0,0)92268 L 0,300 0,02 i3278 0,350 0,05.3 377 0.230 0,0732137

X

^Y

46 -

Y

0,201 0.0750507 0,251 8,0990929 0.303 0,1182927 _L 0.351 0.3372059

0.202 0,0890416 0,252 0.0994754 0,302 0,1136739 0.352 0.3376330

0,203 01)301324

0233

0,0 59365 8 0,303 0.1190350 0,363

0,379559

0,204

0205

0.03232

0.251 0,0312130 0,255

0, II 002523

flfl''

^{0.3 U-1}0,305

0.1191360 0,3198369

.

.:

0.361 0.355

0.1393307 0,3337053

0.206 0,0316015 0,256 0. 038244 0,303 0,3203977 0.356

0,330793

0207

0,203

0.10119950 0,257 0,

0,0823355 0,258 0.

014104 0,307

1137964 0.308

0,203733

0.3 2,j0593

3.337

0.3j0

^0,33343433.3 393283 0,209

0,210 0,211

0,0327759 0,0331632 0.0835564

0,259 0,250 0,261

0, 0, 0.

021823 0.339 0.3233992 025683 0,3 lO 0.1211395 028537 L 0.311 0.3223296 '

0.333 0.350 0,363 ^'

0.1402023 0,3401764 0.1439502 0.212 0.0323464 _0.252 0. 032392 0.332 0,3224797 0.352 0.1413241 0,213 0.0343365

0,214 0.0317263 0,2 15 0,0351 63 0,216 0.0855000 0.217 0.0853957

0.263 0.254 11,255 0,266 0.267

0, 0, 0, 0, 0.

036246 L 0.313 040059 H 0.314 043951 11,313 047802 _L 0,333 053652 0.317

0.3228596 0,3232394 0,3230393 8,3 23098'!

0,1243731

0.3:3

0,364 0.333 0.S'i6 0.337

0.3435973 0,1420731 0.3424444 0.3423375 0.3433903 0.213 0.0662354 0.233 0. 033502 0.313 0,123737.1 0.399 0,3435635

0.210 0.0866750 0,269 0. 059351 0.319 0,1251337 0.363 0.3433332

0,220 0.0310644 0,270 0, 0.221 0.0371333 ^' 0,271 0, 0,222 0.0378429 L 0.272 0.

054399 0,320 03301 .1 0.323 071390 0.322

0,3265013 0.1233947 0.1203736

0,370 0.371 '3.072

0,3443033 0.1410312

0.453337

0,223

0,224

0.0:93922 0,273 I),

0,0380233 0,274 0.

075734 0,323 0.3201524 079576 0,324 0,1270310

0.373 0.3 '4

0.3.133253 0.3-137979 0,225

0,226 0,227 0,228

0,0393032 0.275 8, 0.0393993 L 0.276 0, 0.0301300 0.277 0,

0.0801768 0.278 0.

033437 0,323 01271039

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.

t

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j'

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- 47 -

X

Y

X Y X Y _Y

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0,'i (2364

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U, 0.

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lu ^0(057233

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''

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^,, 0,271 '

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0475

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8'30398

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0, 9(4625

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48 -

X

Y

Y X

Y

X

Y

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