Statique des fluides avancée I

Statique des fluides avancée I

₃₂

.

Soit une étoile sphérique, de centre O, de rayon R et de masse M. En un point P situé à l’intérieur de l’étoile, on note r la distance au centre, la pression, µ la masse volumique et g la pesanteur. On suppose que

, où C est une constante. On note G la constante de la gravitation et la masse située dans une sphère de centre O et de rayon r.

OP

= p ^G

/ 2

p µ =C M r^{( )}

1) Exprimer la pesanteur g en fonction de G r M r, , ^{( )}. 2) Montrer que gradpJJJJG = µgG.

3) Montrer que

2 2

2 2 0

d d G

r r

dr C dr

µ + µ + π µ = .

4) On pose f r( )= µr ⁽r⁾. Déduire de cette définition une expression de d f r^{2 (}₂ ⁾

dr en fonction de r , de la fonction et de ses dérivées. Ecrire l’équation différentielle satisfaite par . La résoudre et exprimer la forme de la solution générale faisant intervenir deux constantes d’intégration.

(r)

µ f r^{( )}

(r)

µ

5) Préciser la solution en tenant compte de ce que la masse volumique ne peut être infinie. Tracer le graphe de et montrer que

(r)

µ 2GR2

C =

π .

6) Achever la détermination de µ⁽r⁾.

II

₁₁

. Ultracentrifugeuse (d’après mines-ponts 2005).

Un réservoir cylindrique fermé, de rayon R, de hauteur H, rempli complètement par un fluide, tourne à une vitesse angulaire constante

par

autour de son axe vertical Oz ; on attend que le régime permanent soit atteint, de sorte que le fluide est en équilibre par rapport au réservoir. On note g la pesanteur, les coordonnées cylindriques d’un point courant et

la base associée.

ω , ,

r θz

r, , u u uG G Gθ

z

u

)

1) Montrer que la pression P et la masse volumique

µ satisfont à gradJJJJGP = µω2ruG_r −µgG_z

.

2) Le fluide est un gaz parfait en équilibre thermique à la température T. Exprimer sa

masse volumique µ en fonction de P, T, de la masse m de ses molécules, supposées toutes identiques et de la constante de Boltzmann . k

3) Trouver la loi de la distribution de la pression ; cette loi est déterminée ici à une constante multiplicative près, qui sera calculée à la question 5.

( , P r z

4) Quelle est cette loi si ω=0, en appelant P0 la pression à l’origine O ?

5) En exprimant la conservation de la masse, déterminer complètement la loi P r z( , ).

Réponses

I. 1) GM r₂^{( )} r

g u ; 4)

=− r

G G ^{2 ( ) ( ) 2 ( )}

2 2 2

d f r d r d r ; dr r

dr dr

µ µ

= +

( )

( )

2 2

2 0

d f r G

C f r dr

+ π = ;

( ) 2 2

cos sin

A G B G

r r r

r C r C

⎛ π ⎞⎟ ⎛ π ⎞⎟

⎜ ⎜

µ = ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠+ ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠ ; 5) ^{( )} 2

Bsin G

r r

r C

⎛ π ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠

µ = ; 6)

( )

2 sin 4

M r

r R r R

µ = π .

II. 2) mP µ = kT ; 3)

2 2

exp 2

m r mgz

P A ; 4)

kT kT

⎛ ω ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ ^{P Poexp}

(

^mgz

)

^;

5)

= −kT

( )

2 2 2 2

0 2 2

2 exp 2

,

exp 1

2

m R m r mgz

kT kT kT

P r z P

m R kT

⎛ ⎞

ω ⎜⎜⎜⎝ ω − ⎠⎟⎟⎟⎟

= ⎛⎜⎜⎜⎝ ω ⎞⎟⎟⎟⎟⎠−

z

O

H

R

DS : statique des fluides et électromagnétisme, page 1

Corrigés I.

1) Le théorème de Gauss montre que la pesanteur est la même que si l’on concentrait au centre la masse et si on ne tenait pas compte du reste de la masse de l’étoile :

( )

M r

( )

2 r

g GM r u

=− r

G G

.

2) Un petit parallélépipède de volume dτ =dxdydz est soumis à la force de pression dFJJG telle que :

( ) ( )

x

dF p x dydz p x dx dydz pdxdydz x

= − + =−∂

∂ ; de même, _y p

dF dxdydz et y

=−∂

∂ ^z

dF p ; donc

la force de pression est − ; l’équilibre suppose que la somme de la force de pression et du poids soit nulle :

dxdydz z

=−∂

∂ JJJJG τ

gradpd gradpd dmg 0 gradp g

−JJJJG τ+ G =G ⇒JJJJG = µG 3)D’après la relation précédente, dp

dr =−µg. Comme p = µC ², dp 2 d

C .

dr dr

= µ µ

D’où

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2 2

0

2 2

2

2 2

2 2

2

2

2 4

2 4

2 2

2 2 0

r

d GM r

C g

dr r

Cr d

M r r r dr

G dr d d Cr

r r dr G dr

d d

Cr Cr

r r G dr G dr

d d G

r r r

dr C dr

µ =− =−

µ ′ ′

− = = π µ

⎛ µ⎞⎟

⎜− ⎟= π µ

⎜ ⎟⎟

⎜⎜⎝ ⎠

µ µ

− − = π µ

µ+ µ+ π µ =

∫

^′

4) ^{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

2 2

2 2 2

d r d r d r

df r d f r .

r r r

dr dr dr dr dr

µ µ µ

= µ + ⇒ = +

L’équation différentielle devient : ^{( ) ( )}

2 2

2 0

d f r G .

C f r dr

+ π =

Sa solution générale est

( ) 2 2 ( ) 2

cos G sin G Acos G Bsin

f r A r B r r r r

C C r C r

⎛ π ⎞⎟ ⎛ π ⎞⎟ ⎛ π ⎞⎟ ⎛ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠+ ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠⇒µ = ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠+ ⎜⎜⎝ ⎠ 2 G

C π ⎟⎟⎟⎟

5) Comme µ( )0 ne peut être infini, A=0 et ^{( )} 2 Bsin G

r r

r C

⎛ π ⎞⎟ µ = ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠. La forme du graphe de sinx

x est représentée ci-contre. Comme pour et pour r , il s’ensuit que

µ >0

r <R µ =0 =R 2 G 2GR²

R C

C

π =π ⇒ =

π . 6) Alors ^{( )} Bsin r

r r R

µ = π . La masse de l’étoile détermine B :

( )

( )

2 0

0

2 2

0 2 0

0

2

2

4

4 sin

cos cos sin

4 4

4 sin

R

R

R R R

r r dr M B r rdr M

R

M rR r R r R R r R

B R Rdr R

B M R

M r

r R r R

π µ =

π π =

π π π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢− ⎥ + = + ⎢ ⎥

π ⎣ π ⎦ π π π ⎣ ⎦

= µ = π

∫

∫

∫

⁼ _π²

DS : statique des fluides et électromagnétisme, page 2

II. Ultracentrifugeuse.

1) Le gradient de la pression est égal à la force volumique. Un élément de masse dm est soumis au poids et à la force centrifuge , d’où la relation proposée.

= µdτ

dmgG ₂

dm ruω Gr

2) Nm mP

PV NkT

V kT

= µ = = .

3) grad

(

²

)

² ln ^{2 2}

2

mP dP m mg m r mgz

dP P dr rdr gdz rdr dz P cste

kT P kT kT kT kT

ω ω

= JJJJG ⋅ G = ω − ⇒ = − = − +

2 2

exp 2

m r mgz

P A

kT kT

⎛ ω ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠.

4) Si le réservoir ne tourne pas, ^{P =Poexp}

(

^−mgz_kT

)

^.

Remarque : en pratique , P P0.

5) La masse contenue dans le réservoir au repos est ^{M = πR2mP}_kT^o

∫

₀^Hexp

(

^−mgz_kT

)

^dz ; elle doit être égale à la masse dans le réservoir en rotation

0^R2 0^HmP

M rdr

=

∫

π

∫

kT ^dz. D’où, après avoir simplifié par l’intégrale sur l’égalité des expressions de la masse :

z ² ₀ ^{2 2}

0 2 exp

2

R m r

R P rdrA

kT

⎛ ω ⎟

=

∫

⎜⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠^⎞. L’intégrale se calcule par le changement de variable

( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2

0

2 2

2 2 exp exp exp

2 2 2 2

m r m R m r kT kT m R

u du rdr rdr du u

kT kT kT m m kT

⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞

ω ω ⎜ ω ⎟ ⎜ ω ⎟

= =

∫

⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠= ω

∫

= ω ⎜⎜⎜⎝ ⎝^⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎠−¹⎠^⎟⎟⎟⎟ ^{; d’où}

2 2

0 22 2

exp 1

2 m R A P kT

m R kT ω

= ⎛⎜⎜⎜⎝ ω ⎞⎟⎟⎟⎟⎠−

et ( )

2 2 2 2

0 2 2

2 exp 2

,

exp 1

2

m R m r mgz

kT kT kT

P r z P

m R kT

⎛ ⎞

ω ⎜⎜⎜⎝ ω − ⎟⎟⎟⎟⎠

= ⎛⎜⎜⎜⎝ ω ⎞⎟⎟⎟⎟⎠−

.

Remarque : en pratique ( )

2 2 2 2

0 2 2

2 exp 2

,

exp 1

2

m R m r

kT kT

P r z P

m R kT

⎛ ⎞

ω ⎜⎜⎜⎝ ω ⎟⎟⎟⎟⎠

= ⎛⎜⎜⎜⎝ ω ⎞⎟⎟⎟⎟⎠− .

DS : statique des fluides et électromagnétisme, page 3