HAL Id: jpa-00233155
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233155
Submitted on 1 Jan 1933
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
La diffusion des électrons et la répartition des flux
J. Winter
To cite this version:
J. Winter. La diffusion des électrons et la répartition des flux. J. Phys. Radium, 1933, 4 (6),
pp.316-323. �10.1051/jphysrad:0193300406031600�. �jpa-00233155�
LA DIFFUSION DES
ÉLECTRONS
ET LARÉPARTITION
DES FLUXPar J. WINTER.
Sommaire. 2014 Dans le problème de la diffusion des électrons, on étudie la répartition
angulaire des flux et on discute la validité des expressions asymptotiques employées.
But du
problème. -
Lesfaits expérirnentaux
qu’il s’agit d’interpréter
sont les-.phénomènes
de diffusion dejets électroniques
par les gazet, notamment,
l’effetRamsauer,
qui
a été ainsi mis en évidence : on a constaté des minima dediffusion,
lorsque
la vitesse des électrons incidents varie.Ici,
nous nousplaçons
à unpoint
de vuepurement
mathématique,
et reprenons unequestion,
que les étudesdéjà
faites(’)
ne traitaient pasrigoureusement :
larépartition
angulaire
des flux diffusés.Position du
problème. -
L’idée de base est due à M. Sommerfeld. Elle consiste àdéterminer la
perturbation
introduite par un corps diffuseur dans lapropagation
d’unesonde
plane,
en se donnant apriori
la forme del’expression
de l’ondeperturbée
à l’infini :si le
potentiel perturbateur, qui représente
l’influence de l’atomediffuseur,
a lasymétrie
sphérique,
on peut admettrequ’à
l’infini,
l’ondeperturbée comprendra :
1° L’ondeplane primitive;
2° Une onde
sphérique divergente,
introduite par le corpsperturbateur.
Il ne semble pas
qu’on puisse
considérer cette manièred’énoncer
les conditions auxlimites comme absolument
rigoureuse.
Quoi
qu’il
ensoit,
cette idée a été féconde :cette-condition,
jointe
auxconditions,
habituelles enmécanique
ondulatoire,
derégularité
de lafonction
d’onde,
apermis
de résoudreparfaitement
leproblème.
Hypothèses
de MM. Allis et Morse. - L’ondeplane
incidente dede Broglie
se-propage dans la direction ox(fig.
9).
Autour du centre0,
règne
unpotentiel perturbateur,
de
symétrie sphérique,
renfermé dans unesphère
So
de rayon ro. Afind’introduire,
d"une.manière
commode,
la condition à l’infini de M.Sommerfeld,
ondécomposera
l’ondeplanes
en fonctions
sphériques
par la formule connue de LordRayleigh.
(r,
0 définis surfigure (i)).
(K
quantité
de mouvement des électronsincidents,
J fonction deBessel,
Pn polynome
deLegendre).
On sait deplus,
quechaque
fonction deBessel,
Jn
sedécompose
en deuxfonctions de Hankel.
(’) ALLIS et Zeitschrift fur Physik, 70 (1931), p. 567 ; CONDON, Review of illodern
Physics,
3 (t931), 43 ;MoRsE, Review of J.’J1odern 4 (1932),511; DE BROGLIE, Annales de l’Institut Poincaré, 3 (i9j3), 349.
~ (z)
Nous n’écrirons jamais les exponentielles en t, car le problème est stationnaire et il n’y a paa, par hypothèse, d’échange d’énergie.317 R(l)
représentant
une ondeconvergente
et H(2) une ondedivergente.
Onreprésentera
donc l’onde résultante(onde
incidente+
ondediffusée)
par la formule :Les C7z sont des coefficients
qu’il s’agit
de déterminer etqui
mesurerontprécisément
ladiffusion
d’ordre n.A
l’intérieur
de lasphère
So,
on aura une fonction d’onde rqui
devra êtrerégulière
en’0. Ce ne sera pas une fonction propre de
l’équation
d’onde deSchrôdiager
à l’intérieur deSo.
En effet :1° r n’a pas à vérifier la condition de tendre vers 0 pour r infini.
~° Mais par
contre,
l’énergie
descorpuscules
estimposée, puisqu’on
a à faire à unstationnaire sans
échange
d’énergie.
r aura la forme :car le
problème
a lasymétrie
cylindrique.
Lesfn
sont les solutionsrégulières
en 0 duterme radial de
l’équation
deSchrôdinger,
oùl’énergie
a une valeurimposée
d’avance. LesC’n sont des coefficients à déterminer.
or 1
En écrivant que q sur la
sphère
pSo,
r ’ et.:r ==
on assure larégularité
de lar or
’fonction d’onde dans tout
l’espace,
et on obtient deux séries de conditions(on
pourra traiterà
part
les coefficients dechaque
polynôme
Pn(cos 8))
qui
détermineront les Cn et les C’n.Voici les résultats obtenus. - i° 0 Si l’on
remplace
dans(3)
lesJ
1 par leurs~+2
valeurs
(2),
lesCn
sont tels que :1 ,1 1.1 A
Il y a dans l’onde
plane
incidente,
déphasage
des coefficients des fonctionsH~~~
1 parn+ ~
2° Si le
rapport
est suffisammentpetit (À
est lalongueur
d’onde des électronsinci-dents)
la série des(L’n)
converge comme(/(ro) 2n+t - Physiquement,
il faut pour celaqu’on
ait des électrons dequelques
volts seulement.3° Il
s’agit
maintenant de donner une définition de ladiffusion,
qu’on puisse
compareravec les résultats
expérimentaux.MM.
Allis et Morse admettent que la valeur de la diffusion d’ordre n est donnéepar l’intégration
sur unesphère
degrand
rayon de la densité de l’ondediffusée d’ordre n
multipliée
par lavitesseK
des électronsincidents ;
on trouve pour ceflux,
désigné
parQn.
ni .
Pratiquement,
en raison des dimensions des atomes du gazdiffuseur,
il suffira de calculerQ.,
Qi
etQ2-
On a pu ainsiinterpréter
d’une manière satisfaisante lesphénomènes
de diflusion des électrons et l’effet Ramsauer.
Critique
des résultatsprécédents. -
Nous remarquerons quel’expression
WW*doit être
intégrée
dans un volume et non sur une surface comme on l’a fait. Il y a làune-manière de
procéder
incorrecte.L’expression
du flux est :et doit être
intégrée
sur une surfaceDe
plus,
en raison de larégularité imposée
dans toutl’espace
à la fonctiond’onde,
le flux résultant traversant une surface ferméequelconque
doit être nécessairement nul. Et ilsemble,
aucontraire, qu’on
ait ici un fluxdivergent
résultant,
à travers lessphères
degrand
rayon, centrées en 0. Il y a donc là unparadoxe
apparent.
Le calcul doit montrerqu’il
n’en est rien.. Autre
position
duproblème
(2).
- Nous
pouvons poser le
problème
d’une manièrelégèrement
différente,
qui parait
mieuxadaptée
à unproblème
depropagation
etqui
nousconduira
intuitivement,
à certains des résultats obtenus.L’onde
plane
incidentepeut
êtredécomposée
par les formules(1)
et(2)
en ondesconvergentes
vers 0 et en ondesdivergentes
de 0. Si nous introduisons unesphère
depotentiel perturbatrice
So,
cettesphère
ne modifiera pas les ondesconvergentes
ayantqu’elles
aient pu atteindreS,.
Nous considérons doncséparément chaque
ondeconvergente
et chercherons à voir ce
qui
peut
advenir d’elleaprès
réfraction enSo ;
elle se transformera.en onde
divergente,
et sedissipera.
Si cette onde a pour
expression a,, R(l)
i (Kr)Pn(cos6),
l’ondedivergente
aura pourn+i
expression :
Ir.BB,
1!1B
(1) Afin de simplifier nous adopterons les unités de Hartree et n’écrirons plus e,
h,
m. (z) BORN, Z. Physih., t. 38 (1926), p. 808.319 En
effet,
leproblème
estréversible;
l’ondedivergente
doitpouvoir
êtreréfléchie,
revenir en sens inverse et redonner les fluxprimitifs, changés
de sens. Or si la fonction’V1
donne un certain
flux,
la fonction donnera des fluxopposés
et le résultat subsistera sion
multiplie
par un facteur dephase
arbitraire. Le fluxconvergent
dû àWi
l deviendraaprès
passage à traversSo,
le fluxdivergent
dû àW 2;
sije change
les sens de cesflux,
enremplaçant
~2
par’¥’*~2’
j’aurai
des fluxconvergents,
qui
se transformerontaprès
passage enSo
en les fluxdivergents
dus à D’autrepart,
lespropriétés
desymétrie sphérique de
4e,
doivent 8e retrouver enT2
puisque
lechamp
a lasymétrie sphérique
autour de 0.Donc les flux de
1Ft
doivent être ceux deW2
retournés.Donc,
à un facteur dephase près,
W1*
-W2.
Etude de la
répartition
des flux. - Nous venonsdonc de voir que le seul effet
possible
de lasphère
sera dedéphaser
les coefficients des fonctions de HankelH(21,
parrapport à
ceux des fonctions H(l)qui
ne seront pas modifiés. Etudions l’effet de cesdéphasages
sur larépartition
de flux dansl’espace,
en faisant leshypothèses
suivantes,
qui
ne modifieront pas sensiblement l’allure des
phénomènes.
i°
roll,
est assezpetit
pour que seul ledéphasage ao
(diffusion
d’ordre0)
soit àconsi-dérer. Nous avons vu que pour certains
problèmes,
cettehypothèse
peut
être vérifiée.2°
Remplaçons
les fonctions de Hankel par leursexpressions
asymptotiques
Cette
opération
estpermise
pour le calcul des’ flux àgrande
distance,
car les dérivée* des fonctions de Bessel sont des combinaisonssimples
de fonctions de Besselelles-mêmes,
etpeuvent
être aussireprésentées asymptotiquement.
3° Nous calculons les flux sur une
sphère
degrand
rayon. Nousnégligeons
donc lestermes
qui
dans le flux serontmultipliés
par
avec 12 > 2.ri%
a)
Calcul du flux nonperturbé
traversant une couronne(a,
0-
- Sonexpression
est :avec :
et :
d’où : 1
b)
Introduction dudéphasage
200.
- Iln’agira
que sur les termesprovenant
des 1/(2)a e- iï.n
et sontréelles,
en vertu de l’identitéi == e 1’:’: 2.
Ledéphasage
2 ~o
multi-pliera
le terme d’indice(0,n)
par et le terme(n,0)
par e-21Õo. Comme ces termes sontréels,
celaéquivaudra
àmultiplier
les deux par cos(200).
Ecrivons doncl’expression
du fluxsupplémentaire, ajouté
à +(les
flux sortants sontcomptés positivement),
sous l’influencedu
déphasage
d’ordre0,
considéré commeagissant
seul.Supposons
ce fluxintégré
dans une couronne(01,
62)
(fig. 1)
en
appelant l’intégrale
7~.
On a l’identité suivante
(1) :
donc
18t
‘ limite pour n infini deOr
Pi
(cos
8)
= cos6,
et deplus,
on a les identitésDonc
Pn
(x)
tend vers 0quand
tend vers l’infilaiquel
que soit x, pourvu que x soitcompris
entre(2013i;
et(+1).
Donc :
Ce résultat subsiste si 62 = 7c car on a
toujours
Mais on a :
Il
apparaît
donc pour 0 =0,
une discontinuitéqui
tient auxpropriétés
despolynomes
deLegendre
etqui
se manifestera parl’apparition
d’un fluxdiscontinu,
d’intensitéfinie,
coupant
unesphère
de centre 0 sur une surface nulle. On a dono :Il Un flux
divergent
isotrope,
issu de 0.~° Un flux
discontinu,
dirigé
vers0,
en sens inverse du fluxincident,
et dontl’inten-sité est
égale
à l’intensité totale du fluxdivergent.
Ce fluxreprésente
la diminution d’inten-sité du flux incident et lève leparadoxe auquel
nous avons fait allusion.c)
Introduction desdéphasages
d’ordresupérieur.
-Supposons qu’il
y ait mainte-nant à considérer des
déphasages
~0,
01,
...cp
en nombrequelconque,
mais fini.Reportons-nous
àl’expression
du flux initial 1>. Nous pourronspartager
les termes enplusieurs
classes.i° On a n et n’ > p. - Les termes ne
sont pas modifiés. Il ne leur
correspond
aucunflux
supplémentaire.
321
2° On a n et 7~ - Nous avons ici des termes en nombre fini. Chacun devra être
multiplié
par cos 2(on
-o’n)..
Il en résultera un certain flux
continu,
issu de 0.3° Un seul des deux indices n et
n’ est >
p. - Nous avons alors à étudier l’influencede p
+ 1
sériesanalogues
à celles ci-dessus étudiées. Celle d’indice h seraOn
procèdera
d’une manièreidentique :
On
remplacera (2 n
+
1)
Pn par une différence de dérivées. Tous les termess’élimi-ront sauf :
Il Les deux dérivées d’indices inférieurs
qui
donneront de nouveau des flux continusissus de 0. "
2° Les deux dérivées d’indice
supérieur n
et n+ 1.
On aura à évaluer la limite de : -.
Or on a
Le terme
intégré
donne 0 si xi et Xi sont différents de - 1 et+ 1 ;
il donne -1,
six2 = 1. La deuxième
intégrale
donnetoujours
0,
carP,.
est bornéesupérieurement
et Pn tend vers 0 pour infini.Dans
chaque déphasage
2Õ n introduira un flux de direction 6 ~0,
dont l’intensité seradonnée par
l’expression
--et
dirigé
en sens inverse du flux incident.Nous voyons donc que les
Qn
d’Allis et Jlol’se ne sont autres que les intensités lescontre- flux
de diJ’eclion (1 = 0 et d’ordre n(ou
cequi
revient aumême,
les intensités résul-tantes de tous les fluxcontinus,
puisqu’il
y a conservation desflux).
d)
Les résultatsprécédents
n’ont de sens que si la série de termegénéral
est
convergente.
Nous avons vu que si
ri)..
est suffisammentpetit,
cette convergence est assurée et est mêmerapide;
cela suffit pour les caspratiquement
étudiés.Etude de la formule de
Rayleigh. - Ainsi,
la conservation des flux n’est assuréequ’au
prix
de l’introduction de contre-fluxdiscontinus,
cequi
estphysiquement
inadmis-sible.L’origine
de ceparadoxe
est à chercher dans la nature de la formule deRayleigh.
Celle-ci s’obtient de la manière suivante : La forme du
développement
de l’ondeplane
enl-fonctions
sphériques
étantadmise,
on détermine les coefficients(- 1)n
V
(2n
+
1)
en2
écrivant que les dérivées successives de la série par
rapport
à cos0,
prise
pour r - 0sont les mêmes que celles de
l’expression
0. On obtient ainsi unereprésentation
de l’onde
plane, qui
pour des valeurs croissantes de n, devient deplus
enplus
exacte aul’on admet une
approximation donnée).
Mais,
jamais
l’on n’aura unereprésentation
valable à l’infini. La
figure 2
rendcompte
de ce processus(convergence
faible).
Les courbes Cconvergent
faiblement vers AB.Fig. 2.
Si dans la formule
(4)
qui
donne lesflux,
nous nous limitons à l’indice n, nous obte-nons, y par un calculqui
ressemble à celuidéjà
fait,
que le flux de l’ondeinitiale,
nonperturbée,
à travers une couronne(01,
82)
de lasphère
de rayon infini vautCe flux est très faible
partout,
sauf auvoisinage
de la direction 0 =0,
où il devienttrès
grand
etpositif,
et de la direction 0 = ~r,où il devient très
grand
etnégatif.
La formulede
Rayleigh,
limitée à l’ordre n, donnera donc de l’ondeplane
unereprésentation
telle que celle de lafigure
3. Si ncroît,
lapartie
assi-milable à une onde
plane, s’élargit
deplus
enplus.
Elle est sensiblementcomprise
dans uncylindre qui
a son axe suivant la direction fi -~0,
dont lalongueur 1,,
et le rayon r,,croissent indéfiniment avec n mais le
rapport
croît aussi indéfiniment avec n, mais endehors de la
partie plane,
leslignes
de flux vont se resserrer deplus
enplus
autour desdemi-droites 8 = 0 et 0 = x. Le contre-flux
discontinu
représente
doncsimplement
la diminution du flux sortant par la droite etqui
sera transformée en ondedivergente
(fig. r~).
Ainsi,
l’origine
des fluxsinguliers
dansnos calculs est la suivante : nous avons a’’abord
3.
remplacé
toutes les fonctions de Hankel par 10’ °leurs
expressions
asymptotiques,
et ensuiteavons fait
augmenter
n indéfiniment. Nousintroduisons une
singularité
àl’infini,
qui provient
de la nature de la formule de323
supplémenta,ire C,,
n(!)
dont
ils ont calculé le flux sans tenircompte
des autres termesn+i
de la fonction d’onde.
Fig. 4.
Conclusion. - Le calcul
précédent
nepermet
pas uneinterprétation rigoureuse
des courbesexpérimentales,
aussi ne sejustifie-t-il
que par les deux raisons suivantes :1° Il tient
compte
de la définitionthéorique
exacte du flux. 2° Ilpermet
uneinterprétation
des faits
expérimentaux, qui
est certesgrossière,
mais résulte d’un calcul très court. Leshypothèses
dedépart,
trèssimplifiées
(on
néglige
lesphénomènes d’échange,
depolari-sation)
nepermettent
pas d’attendreplus.
Bullard etMassey
(’)
ont étudié larépartition
angulaire
de la diffusion d’électrons lents(à partir
de 6volts).
On trouve bien aux basvoltages
des diffusionsisotropes; puis,
si levoltage croît,
des fluxdirigés
vers l’avant. Ornotre calcul montre immédiatement que le
déphasage a,
aura pour effetd’ajouter
au fluxisotrope,
un flux en cos-’ 0 et un flux en cos3 0.En
