ToUT-En-Un PoUR LA LIcEncE 1 MathéMatiques

MathéMatiques

3

édition

ToUT-En-Un PoUR LA LIcEncE 1

“ramis_59893” — 2013/5/9 — 15:05 — page iv — #4

Jean-Pierre Ramis, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, membre de l’Institut (Académie des Sciences), membre de l’Institut Universitaire de France, professeur à l’Institut de Mathématiques de Toulouse (Université Paul Sabatier).

André Warusfel, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, a été professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand à Paris et inspecteur général de mathéma- tiques.

Xavier Buff, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, maître de conférences à l’Institut de Mathématiques de Toulouse.

Josselin Garnier, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, professeur à l’uni- versité Denis Diderot (Paris).

Emmanuel Halberstadt, maître de conférences à l’UPMC (Paris), ancien chargé de cours d’agré- gation aux Écoles normales supérieures d’Ulm et de Cachan.

Thomas Lachand-Robert, ancien élève de l’École polytechnique, professeur à l’université de Savoie à Chambéry.

François Moulin, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, professeur de chaires supérieures (spéciales MP*)

Jacques Sauloy, ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud, maître de confé- rences à l’Institut de Mathématiques de Toulouse.

Illustration de couverture :

An amazing fibonacci pattern in a nautilus shell © Ana Tramont

©Dunod, Paris, 2006, 2013 ISBN 978-2-10-059893-9

“ramis_59893” — 2013/5/9 — 15:05 — page iv — #4

Jean-Pierre Ramis, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, membre de l’Institut (Académie des Sciences), membre de l’Institut Universitaire de France, professeur à l’Institut de Mathématiques de Toulouse (Université Paul Sabatier).

André Warusfel, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, a été professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand à Paris et inspecteur général de mathéma- tiques.

Xavier Buff, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, maître de conférences à l’Institut de Mathématiques de Toulouse.

Josselin Garnier, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, professeur à l’uni- versité Denis Diderot (Paris).

Emmanuel Halberstadt, maître de conférences à l’UPMC (Paris), ancien chargé de cours d’agré- gation aux Écoles normales supérieures d’Ulm et de Cachan.

Thomas Lachand-Robert, ancien élève de l’École polytechnique, professeur à l’université de Savoie à Chambéry.

François Moulin, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, professeur de chaires supérieures (spéciales MP*)

Jacques Sauloy, ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud, maître de confé- rences à l’Institut de Mathématiques de Toulouse.

Illustration de couverture :

An amazing fibonacci pattern in a nautilus shell © Ana Tramont

©Dunod, Paris, 2006, 2013 ISBN 978-2-10-059893-9

Jean-Pierre Ramis, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, membre de l’Institut (Académie des Sciences), membre de l’Institut Universitaire de France, membre de l’Académie des Sciences, Inscriptions et Belles-Lettres de Toulouse, professeur émérite à l’Institut de Mathématique de Toulouse (Université Paul Sabatier), a été directeur de l’Institut de Recherches Mathématiques Avancées de Strasbourg et de l’Institut de Mathématiques de Toulouse.

André Warusfel, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, a été professeur de mathématiques spéciales au Lycée Louis-le-Grand à Paris et inspecteur général de Mathématiques.

Xavier Buff, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, professeur à l’Institut de Mathématiques de Toulouse, ancien directeur de l’Institut de Recherches sur l’Enseignement des Mathé- matiques de Toulouse.

Josselin Garnier, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, professeur à l’École Polytechnique, Centre de Mathématiques Appliquées.

Emmanuel Halberstadt, a été Maître de conférences à l’Université Paris 6 Pierre et Marie Curie, ancien chargé de cours d’agrégation aux Écoles Normales Supérieures d’Ulm et de Cachan.

François Moulin, ancien élève de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm, professeur de chaires supérieures au Lycée sainte-Geneviève (spéciales MP*).

Monique Ramis, ancienne élève de l’École Normale Supérieure de Sèvres, a été professeur de chaires supérieures (à Paris, Strasbourg, Toulouse).

Jacques Sauloy, ancien élève de l’École Normale Supérieure de Saint-Cloud, maître de conférences à l’Institut de Mathématiques de Toulouse.

ISBN 978-2-10-078278-9

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

©

Préface

Les mathématiques constituent l’ossature de la science moderne et sont une source intaris- sable de concepts nouveaux d’une efficacité incroyable pour la compréhension de la réalité matérielle qui nous entoure. Ainsi l’apprentissage des mathématiques est devenu indispen- sable pour la compréhension du monde par la science. Les nouveaux concepts eux-mêmes sont le résultat d’un long processus de distillation dans l’alambic de la pensée. Essayer de justifier les mathématiques par leurs applications pratiques n’a guère de sens, tant ce pro- cessus de création est sous-tendu par la soif de connaître et non l’intérêt immédiat.

Les mathématiques restent l’un des domaines dans lequel la France excelle et ceci malgré la mutilation des programmes dans le secondaire et l’influence néfaste d’un pédagogisme dont l’effet principal est de compliquer les choses simples.

Vues de loin les mathématiques apparaissent comme la réunion de sujets distincts comme la géométrie, qui a pour objet la compréhension du concept d’espace, l’algèbre, art de ma- nipuler les symboles, l’analyse, science de l’infini et du continu, la théorie des nombres etc.

Cette division ne rend pas justice à l’un des traits essentiels des mathématiques qui est leur unité profonde de sorte qu’il est impossible d’en isoler une partie sans la priver de son es- sence. En ce sens les mathématiques ressemblent à un être biologique qui ne peut survivre que comme un tout et serait condamné à périr si on le découpait en morceaux en oubliant son unité fondamentale.

L’une des caractéristiques de l’apprentissage des mathématiques, c’est la possibilité donnée à tout étudiant de devenir son propre maître et en ce sens il n’y a pas d’autorité en mathéma- tiques. Seules la preuve et la rigueur y font la loi. L’étudiant peut atteindre par le travail une maîtrise suffisante pour pouvoir s’il le faut tenir tête au maître. La rigueur, c’est être sûr de soi, et à l’âge où l’on construit sa personnalité, se confronter au monde mathématique est le moyen le plus sûr de construire sur un terrain solide. Il faut, si l’on veut avancer, respecter un équilibre entre les connaissances qui sont indispensables et le « savoir-faire » qui l’est autant. On apprend les maths en faisant des exercices, en apprenant à calculer sans l’aide de l’ordinateur, en se posant des questions et en ne lâchant pas prise facilement devant la dif- ficulté. Seule la confrontation réelle à la difficulté a une valeur formatrice, en rupture avec ce pédagogisme qui complique les choses simples et mélange l’abstraction mathématique avec le jeu qui n’a vraiment rien à voir. Non, les mathématiques ne sont pas un jeu et l’on n’apprend pas les mathématiques en s’amusant.

L’ouvrage qui suit est un cours soigné et complet idéal pour apprendre toutes les Mathé- matiques qui sont indispensables au niveau de la Licence. Il regorge d’exercices (850) qui

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iv Préface

incitent le lecteur à réfléchir et ne sont pas de simples applications de recettes, et respecte parfaitement l’équilibre nécessaire entre connaissances et savoir-faire, permettant à l’étu- diant de construire des images mentales allant bien au-delà de simples connaissances mé- morisées. Il s’agit d’un ouvrage de référence pour la Licence, non seulement pour les étu- diants en mathématiques mais aussi pour tous ceux qui s’orientent vers d’autres disciplines scientifiques. Il insiste sur la rigueur et la précision et va au fond des notions fondamentales les plus importantes sans mollir devant la difficulté et en respectant constamment l’unité des mathématiques qui interdit tout cloisonnement artificiel. Il répond à une demande de tant de nos collègues d’un ouvrage qui les aide à « redresser la barre », mais sera aussi un atout merveilleux pour l’étudiant travaillant seul par la cohérence et la richesse de son contenu.

Il est l’œuvre d’une équipe qui rassemble des mathématiciens de tout premier plan ayant une véritable passion pour l’enseignement. Il était grand temps !

Alain Connes, Médaille Fields 1982, Professeur au Collège de France.

Table des matières

Préface iii

Avant-propos xv

I Notations et vocabulaire

I.1 Fondements 3

1 Ensembles . . . 4

1.1 Appartenance, éléments. . . 4

1.2 Définition en compréhension . . . 7

1.3 Constructeurs . . . 8

2 Applications . . . 11

2.1 Applications et graphes . . . 11

2.2 Images et antécédents . . . 13

2.3 L’ensemble F(E, F) des applications de E dans F . . . 18

3 Suites et familles . . . 19

3.1 Suites d’éléments d’un ensemble . . . 19

3.2 Familles d’éléments d’un ensemble. . . 20

3.3 Familles d’ensembles. . . 21

3.4 Familles de parties d’un ensemble . . . 23

4 Lois de composition . . . 24

4.1 Vocabulaire général . . . 24

4.2 Application au calcul ensembliste . . . 28

5 Relations. . . 28

5.1 Relations binaires sur un ensemble. . . 29

5.2 Relations d’équivalence . . . 31

5.3 Relations d’ordre . . . 33

6 Cardinaux . . . 37

6.1 Induction . . . 37

6.2 Équipotence . . . 39

6.3 Cardinaux finis et cardinaux infinis. . . 42

7 Rudiments de logique . . . 46

7.1 Logique propositionnelle . . . 46

7.2 Prédicats et quantificateurs . . . 50

7.3 Théorèmes et démonstrations . . . 54

EXERCICES . . . 56

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vi TABLE DES MATIÈRES

II Algèbre

II.1 Arithmétique 61

1 Ensemble des entiers naturels . . . 62

1.1 Relations d’ordre et entiers naturels . . . 62

1.2 Récurrence . . . 63

1.3 Addition et multiplication des entiers naturels. . . 66

2 Dénombrement . . . 70

2.1 Ensembles finis, ensembles dénombrables . . . 70

2.2 Analyse combinatoire. . . 75

3 Divisibilité . . . 80

3.1 Division euclidienne. Numération . . . 80

3.2 Nombres premiers — Factorisation des entiers . . . 83

3.3 Plus grand commun diviseur, algorithme d’Euclide . . . 87

4 Entiers relatifs . . . 91

4.1 Opérations sur les entiers relatifs . . . 91

4.2 Sous-groupes de Z, divisibilité dans Z . . . 94

5 Nombres rationnels . . . 99

EXERCICES . . . 104

II.2 Groupes, anneaux, corps 111 1 Lois de composition internes. . . 112

2 Groupes . . . 118

2.1 Définitions, règles de calcul . . . 118

2.2 Sous-groupes, morphismes de groupes . . . 120

2.3 Groupe symétrique . . . 125

2.4 Groupe additif des entiers modulo n . . . 130

3 Anneaux. . . 132

3.1 Définitions, règles de calcul . . . 132

3.2 Sous-anneaux, idéaux, morphismes . . . 137

3.3 Divisibilité dans un anneau intègre. . . 142

3.4 Anneau des entiers modulo n. . . 144

4 Corps . . . 150

EXERCICES . . . 153

II.3 Espaces vectoriels et applications linéaires 159 1 Vocabulaire et propriétés élémentaires. . . 160

1.1 La structure d’espace vectoriel . . . 160

1.2 Combinaisons linéaires . . . 163

1.3 Sous-espaces vectoriels . . . 166

2 Applications linéaires. . . 170

2.1 Vocabulaire et exemples . . . 170

2.2 Noyau et image. . . 175

2.3 Quelques applications linéaires particulières . . . 178

2.4 Espaces d’applications linéaires . . . 181

3 Familles de vecteurs . . . 183

3.1 Familles génératrices. . . 183

3.2 Familles libres . . . 185

3.3 Bases . . . 189

3.4 Dimension finie. . . 193

4 Sommes directes et projections. . . 194

4.1 Somme directe de deux sous-espaces vectoriels . . . 194

4.2 Projections . . . 196

EXERCICES . . . 200

II.4 Calcul matriciel élémentaire 205 1 Algèbre matricielle. . . 205

1.1 Définitions et généralités . . . 205

1.2 Matrices carrées . . . 214

1.3 Matrices et applications linéaires . . . 219

2 Opérations élémentaires et algorithmes de Gauß. . . 223

2.1 Opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes d’une matrice . . . 224

2.2 Algorithmes de Gauß : lignes seules . . . 228

2.3 Algorithmes de Gauß : lignes et colonnes . . . 231

EXERCICES . . . 235

II.5 Le corps des nombres complexes 239 1 Construction et axiomes . . . 239

1.1 Approche axiomatique . . . 240

1.2 Construction effective de C . . . 241

2 Règles élémentaires de calcul . . . 243

2.1 Représentation cartésienne. . . 243

2.2 Le plan d’Argand-Cauchy . . . 245

2.3 Conjugaison . . . 246

2.4 Module. . . 247

2.5 Racines carrées. . . 251

3 Représentation trigonométrique . . . 254

3.1 Le groupe des nombres complexes de module 1 . . . 255

3.2 Racines de l’unité . . . 256

3.3 Arguments d’un nombre complexe. . . 260

3.4 Racines nèmesdes nombres complexes . . . 262

3.5 Applications à la trigonométrie . . . 263

4 Quelques applications géométriques . . . 265

4.1 Similitudes planes . . . 265

4.2 Angles de vecteurs et angles de droites . . . 266

4.3 Constructions à la règle et au compas. . . 268

5 Topologie de C . . . 269

5.1 Rappels sur la convergence dans C. . . 269

5.2 L’exponentielle complexe . . . 270

5.3 Le théorème de d’Alembert-Gauß . . . 272

EXERCICES . . . 274

II.6 Polynômes et fractions rationnelles 279 1 Polynômes sur un corps quelconque. . . 279

1.1 Construction et axiomes . . . 279

1.2 Règles élémentaires de calcul. . . 281

1.3 Propriétés arithmétiques des polynômes. . . 288

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viii TABLE DES MATIÈRES

1.4 Fonctions polynomiales et racines d’un polynôme . . . 294

1.5 Polynômes dérivés. . . 299

2 Polynômes sur les corps R et C . . . 304

2.1 Applications du théorème de d’Alembert-Gauß . . . 304

2.2 Cyclotomie . . . 305

2.3 Polynômes de Tchebychef . . . 308

2.4 Nombres algébriques. . . 310

3 Fractions et fonctions rationnelles . . . 312

3.1 Le corps des fractions rationnelles . . . 312

3.2 Propriétés arithmétiques de K(X) . . . 316

3.3 Fonctions rationnelles . . . 319

3.4 Développements limités. . . 321

EXERCICES . . . 322

II.7 Espaces vectoriels de dimension finie 329 1 Espaces vectoriels de dimension finie . . . 329

1.1 Définition de la dimension . . . 330

1.2 Applications linéaires en dimension finie. . . 336

2 Applications linéaires et matrices. . . 340

2.1 Écriture matricielle d’une application linéaire . . . 340

2.2 Changements de bases . . . 347

3 Déterminants. . . 349

3.1 Déterminant d’une matrice carrée . . . 350

3.2 Mineurs d’une matrice . . . 356

3.3 Déterminant d’un endomorphisme, déterminant d’une famille de n vecteurs. . . 362

3.4 Valeurs propres et vecteurs propres . . . 366

4 Systèmes linéaires. . . 373

4.1 Équations linéaires. . . 373

4.2 Systèmes linéaires. . . 375

EXERCICES . . . 381

II.8 Initiation à l’algorithmique et au calcul formel 389 1 Exemple introductif : l’addition en base b . . . 390

1.1 L’algorithme d’addition . . . 390

1.2 Analyse de l’algorithme d’addition . . . 396

2 Vocabulaire . . . 398

2.1 Langage algorithmique simplifié. . . 398

2.2 Des mathématiques aux algorithmes . . . 402

2.3 Un exemple détaillé : l’algorithme d’Euclide. . . 406

3 Quelques exemples fondamentaux . . . 408

3.1 L’exponentiation dichotomique . . . 408

3.2 Tris et permutations . . . 410

3.3 Polynômes . . . 415

EXERCICES . . . 418

III Géométrie

III.1 Géométrie dans les espaces affines 423

1 Espaces affines . . . 424

1.1 Structure d’espace affine . . . 424

1.2 Barycentres . . . 426

1.3 Sous-espaces affines . . . 427

1.4 Applications affines . . . 430

2 Représentation des sous-espaces affines . . . 434

2.1 Hyperplans . . . 434

2.2 Repère . . . 437

2.3 Systèmes d’équations . . . 438

3 Géométrie affine dans R² et dans R³ . . . 439

3.1 Droites de R² . . . 440

3.2 Plans de R³ . . . 443

3.3 Droites de R³ . . . 447

3.4 Géométrie euclidienne dans R² et R³ . . . 449

4 Les coniques . . . 454

4.1 Cercles. . . 455

4.2 Coniques . . . 456

4.3 Équations de degré 2. . . 460

EXERCICES . . . 464

III.2 Courbes paramétrées 467 1 Courbes planes . . . 467

1.1 Notion de courbe paramétrée. . . 467

1.2 Étude locale . . . 469

1.3 Deux exemples. . . 477

2 Courbes en coordonnées polaires. . . 481

2.1 Définition . . . 481

2.2 Tangente . . . 482

2.3 Branches infinies . . . 483

3 Étude métrique d’une courbe plane . . . 484

3.1 Longueur d’une courbe . . . 484

3.2 Paramétrage normal . . . 486

3.3 Courbure . . . 489

3.4 Théorème fondamental . . . 493

4 Courbes de l’espace . . . 495

4.1 Tangente et plan osculateur . . . 496

4.2 Courbure, torsion . . . 498

4.3 Théorème fondamental . . . 500

EXERCICES . . . 500

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x TABLE DES MATIÈRES

IV Analyse

IV.1 Nombres réels, suites numériques 507

1 Le corps des nombres réels . . . 508

1.1 Bornes inférieures et supérieures . . . 508

1.2 Le corps des nombres réels . . . 511

1.3 Intervalles de R. . . 518

2 Suites numériques. . . 520

2.1 Généralités sur les suites . . . 520

2.2 Convergence d’une suite . . . 537

2.3 Cas des suites réelles. . . 552

2.4 Suites bornées . . . 558

2.5 Limites infinies — formes indéterminées. . . 574

3 Un exemple de construction de R. . . 577

3.1 Écritures décimales . . . 578

3.2 Définition des nombres réels à partir des écritures décimales . . . 584

3.3 Théorème de la borne supérieure . . . 589

3.4 Opérations sur les réels. . . 589

EXERCICES . . . 594

IV.2 Fonctions réelles 613 1 Limites et continuité . . . 613

1.1 Généralités . . . 613

1.2 Limite d’une fonction. . . 615

1.3 Continuité. . . 624

1.4 Théorème des valeurs intermédiaires et image continue d’un segment . . . . 627

2 Dérivabilité. . . 633

2.1 Définitions, exemples . . . 633

2.2 Opérations sur les dérivées . . . 636

2.3 Dérivées d’ordre n . . . 638

2.4 Sens de variation et extrema . . . 640

2.5 Théorème de Rolle, accroissements finis. . . 642

2.6 Formules de Taylor . . . 646

2.7 Dérivée de la réciproque. . . 651

2.8 Fonctions convexes . . . 651

3 Étude d’une fonction. . . 662

3.1 Définition et variations . . . 662

3.2 Branches infinies . . . 662

EXERCICES . . . 664

IV.3 Fonctions transcendantes 671 1 Fonctions logarithme et exponentielle . . . 672

1.1 Logarithme népérien . . . 672

1.2 Exponentielle . . . 674

1.3 Représentation graphique des fonctions logarithme népérien et exponentielle . 676 1.4 Logarithmes et exponentielles de base quelconque . . . 676

2 Fonctions racines et puissances . . . 678

2.1 Fonctions racines . . . 678

2.2 Fonctions puissances. . . 678

2.3 Croissances comparées des fonctions puissances, logarithme et exponentielle . 681 3 Fonctions trigonométriques . . . 682

3.1 Fonctions sinus et cosinus . . . 682

3.2 Fonctions tangente et arc-tangente. . . 685

3.3 Fonction arc-tangente . . . 686

3.4 Expressions de sinxetcosx en fonction de tan^x₂ — Paramétrage du cercle . . 689

3.5 Arc-sinus et arc-cosinus. . . 690

4 Trigonométrie hyperbolique . . . 692

4.1 Sinus, cosinus et tangente hyperboliques . . . 692

4.2 Expressions de sinhx et coshx en fonction de tanh^x₂ — Paramétrage de l’hy- perbole équilatère. . . 694

4.3 Réciproques des fonctions hyperboliques . . . 695

4.4 Extension au domaine complexe. . . 698

5 Formulaires . . . 699

5.1 Dérivées des fonctions élémentaires . . . 699

5.2 Fonctions trigonométriques inverses . . . 699

5.3 Fonctions trigonométriques hyperboliques inverses. . . 700

EXERCICES . . . 700

IV.4 Séries numériques 707 1 Convergence d’une série . . . 707

1.1 Définitions . . . 707

1.2 Premiers résultats . . . 711

2 Séries à termes réels positifs. . . 714

2.1 Convergence par comparaison . . . 714

2.2 Utilisation d’une intégrale . . . 718

2.3 Application : développement d’un réel positif . . . 721

3 Séries à termes réels ou complexes . . . 724

3.1 Convergence absolue. . . 724

3.2 Séries alternées. . . 726

EXERCICES . . . 729

IV.5 Introduction à l’intégration 733 1 Intégrale des fonctions en escalier . . . 734

1.1 Subdivision d’un segment . . . 734

1.2 Fonctions en escalier. . . 734

1.3 Intégrale d’une fonction en escalier. . . 735

1.4 Propriétés de l’intégrale des fonctions en escalier . . . 736

2 Fonctions continues par morceaux . . . 737

2.1 Définition, exemples . . . 737

2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux. . . 739

2.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . 740

3 Propriétés de l’intégrale. . . 742

3.1 Linéarité, relation de Chasles . . . 742

3.2 Inégalités . . . 743

3.3 Cas des fonctions continues . . . 745

3.4 Sommes de Riemann . . . 748

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xii TABLE DES MATIÈRES

4 Intégration et dérivation, calcul des intégrales. . . 750

4.1 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle. . . 750

4.2 Le théorème fondamental de l’analyse. . . 751

5 Méthodes de calcul d’intégrales . . . 753

5.1 Intégration par parties . . . 755

5.2 Changement de variable. . . 757

5.3 Quel changement de variable choisir ?. . . 759

5.4 Intégration des fractions rationnelles . . . 763

EXERCICES . . . 766

IV.6 Introduction aux fonctions vectorielles d’une variable réelle 771 1 Suites vectorielles . . . 771

1.1 Distance entre deux vecteurs. . . 772

1.2 Convergence de suites . . . 774

1.3 Suites vectorielles définies par une récurrence linéaire. . . 777

1.4 Suites réelles définies par une récurrence d’ordre 2. . . 779

2 Fonctions vectorielles . . . 781

2.1 Continuité. . . 781

2.2 Dérivabilité . . . 783

2.3 Opérations sur les dérivées . . . 784

2.4 Inégalité des accroissements finis . . . 786

2.5 Intégration . . . 787

3 Équations différentielles linéaires. . . 789

3.1 Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 . . . 790

3.2 Équations vectorielles d’ordre 1 . . . 794

3.3 Allure des solutions d’une équation homogène en dimension 2 . . . 799

3.4 Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants . . . 803

EXERCICES . . . 808

IV.7 Première initiation aux fonctions de plusieurs variables 811 1 Continuité . . . 813

1.1 Ouverts, fermés et compacts . . . 813

1.2 Fonctions continues . . . 815

1.3 Théorème des bornes . . . 816

1.4 Norme d’une application linéaire . . . 817

2 Différentiabilité . . . 818

2.1 Dérivées partielles. . . 818

2.2 Dérivée suivant un vecteur. . . 820

2.3 Différentielle. . . 821

2.4 Matrice jacobienne. . . 822

3 Propriétés fondamentales . . . 824

3.1 Opérations élémentaires . . . 824

3.2 Différentielle d’une application composée . . . 827

3.3 Applications continûment différentiables. . . 830

3.4 Théorème des accroissements finis. . . 831

4 Applications de la notion de différentiabilité . . . 833

4.1 Plan tangent au graphe d’une fonctionf:R²→R . . . 833

4.2 Dérivation sur C . . . 838

EXERCICES . . . 842

IV.8 Approximation 847

1 Introduction . . . 847

2 Formules de Taylor . . . 848

2.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . 849

2.2 Formules de Taylor pour les fonctions vectorielles . . . 850

3 Équivalents et notations de Landau . . . 852

3.1 Équivalents . . . 853

3.2 Notations de Landau . . . 859

4 Développements limités. . . 863

4.1 Définition et premières propriétés — Exemples . . . 863

4.2 Développements limités des fonctions usuelles . . . 867

4.3 Développements limités à droite et à gauche — Développements limités à l’infini . . . 870

4.4 Opérations sur les développements limités . . . 872

4.5 Calculs de limites et d’équivalents . . . 883

5 Méthodes de calcul approché d’intégrales . . . 885

5.1 Méthode des rectangles. . . 886

5.2 Méthode des rectangles médians . . . 887

5.3 Méthode des trapèzes . . . 889

5.4 Méthode de Simpson. . . 891

EXERCICES . . . 895

V Probabilités, statistiques

1.1 Données statistiques . . . 905

1.2 Représentation des données . . . 907

2 Statistique descriptive univariée . . . 912

2.1 Mesures de tendance centrale. . . 912

2.2 Mesures de dispersion . . . 915

3 Statistique descriptive bivariée . . . 918

3.1 Ajustement linéaire par moindre carrés . . . 919

3.2 Covariance et corrélation . . . 922

3.3 Corrélation et régression . . . 923

3.4 Régression linéaire facile avec des outils logiciels. . . 924

EXERCICES . . . 925

V.2 Probabilités finies 931 1 Introduction aux probabilités . . . 931

1.1 Expériences aléatoires, événements . . . 931

1.2 Espace de probabilité fini . . . 933

1.3 Probabilités de réunions d’ensembles : règle d’inclusion-exclusion . . . 937

2 Combinatoire. . . 939

2.1 Généralités sur le dénombrement . . . 939

2.2 Dénombrements classiques . . . 941

2.3 Dénombrement appliqué au loto. . . 943

✐ “lun” — 2018/7/17 — 0:14 — page xiv — #12

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xiv TABLE DES MATIÈRES

3 Conditionnement et indépendance . . . 944

3.1 Probabilité conditionnelle . . . 944

3.2 Probabilités composées, formule des probabilités totales. . . 946

3.3 Formule de Bayes . . . 948

3.4 Indépendance de deux événements. . . 949

3.5 Indépendance d’une famille d’événements . . . 952

EXERCICES . . . 954

V.3 Variables aléatoires 957 1 Lois et variables aléatoires. . . 957

1.1 Définitions . . . 957

1.2 Histogrammes . . . 958

2 Quelques lois usuelles . . . 959

2.1 Loi de Bernoulli. . . 959

2.2 Loi binomiale et nombre de succès. . . 960

2.3 Echantillonnage et loi hypergéométrique. . . 963

3 Espérance de variables aléatoires réelles . . . 965

3.1 Définition de l’espérance . . . 966

3.2 Propriétés élémentaires de l’espérance . . . 967

3.3 Propriétés de transport . . . 967

3.4 Une application de la linéarité de l’espérance : formule d’inclusion-exclusion. . 968

3.5 Variance . . . 969

3.6 Espérances et variances pour des lois usuelles. . . 971

4 Familles de variables aléatoires. . . 973

4.1 Loi d’un vecteur aléatoire . . . 973

4.2 Covariance et corrélation . . . 976

4.3 Indépendance . . . 977

4.4 Indépendance et covariance . . . 979

4.5 Loi faible des grands nombres . . . 981

EXERCICES . . . 982

Avant-propos

Ce livre est le premier d’une série de trois ouvrages de mathématiques pour la licence¹. Il couvre les programmes de mathématiques des diverses filières scientifiques de première année. Il contient un cours complet, illustré d’exemples et d’applications, et des indications historiques. De plus, il propose au fil du texte de nombreux exercices corrigés qui permet- tront à l’étudiant de s’entraîner au fur et à mesure de son apprentissage. On trouvera aussi à la fin de chaque « module » des exercices supplémentaires² avec des indications de solu- tions. Une correction détaillée d’une grande partie de ces exercices est accessible sur le site de l’éditeur.

Dans cette nouvelle édition nous avons tenu compte de l’évolution récente des programmes de l’enseignement secondaire (importante pour certains thèmes) et des modifications des enseignements universitaires et, d’autre part, des remarques de nos lecteurs et de nos col- lègues enseignants.

Nos livres sont conçus comme une aide à l’enseignement oral dispensé par nos collègues dans les cours et travaux dirigés, en particulier par une construction « modulaire ». Les différents sujets apparaissent, pour chaque année d’enseignement, groupés dans un seul volume mais l’ordre de lecture n’est pas imposé, et chaque étudiant peut se concentrer sur tel ou tel aspect en fonction de son programme et de son travail personnel.

Ce livre peut être utilisé par un enseignant comme ouvrage de base pour son cours, dans l’es- prit d’une pédagogie encore peu utilisée en France, mais qui a largement fait ses preuves ailleurs. Nous avons aussi pensé à l’étudiant travaillant seul, sans appui d’un corps profes- soral.

Dans les mathématiques d’aujourd’hui, un certain nombre de théories puissantes sont au premier plan. Leur maniement, au moins à un certain niveau, devra évidemment être acquis par l’étudiant à la fin de ses années de Licence. Mais celui-ci devra aussi avoir appris à calcu- ler, sans s’appuyer exclusivement sur les ordinateurs et les logiciels, à « se débrouiller » de- vant un problème abstrait ou issu des applications. Nous avons donc, à cette fin, mis en place une approche adaptée. Nous insistons, dès la première année, sur les exigences de rigueur (définitions précises, démonstrations rigoureuses), mais les choses sont mises en place de façon progressive et pragmatique, et nous proposons des exemples riches, dont

1Dans ce livre, les deux autres ouvrages seront notés L2 (Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2) et L3 (Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 3).

2Certains, plus difficiles, sont marqués d’une ou deux étoiles

✐ “lun” — 2018/7/17 — 0:14 — page xvi — #14

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xvi Avant-propos

l’étude met souvent en œuvre des approches multiples. Nous aidons progressivement le lec- teur à acquérir le maniement d’un outillage abstrait puissant, sans jamais nous complaire dans l’abstraction pour elle-même et un formalisme sec et gratuit : le cœur des mathéma- tiques n’est sans doute pas un corpus de théories, si profondes et efficaces soient-elles, mais un certain nombre de problèmes dans toute leur complexité, souvent issus d’une réflexion sur le monde qui nous entoure.

Historiquement les mathématiques se sont développées pendant des siècles en relation avec les autres sciences. Après une phase de « repliement sur elles-mêmes », leurs interactions se développent à nouveau vigoureusement (avec la physique, l’informatique, la mécanique, la chimie, la biologie. . . ). Nous souhaitons, au niveau de l’enseignement des premières années d’université, accompagner ce mouvement et, en pratique, la mise en place ici ou là de filières scientifiques pluridisciplinaires avec une composante mathématique pure ou appliquée. Nous avons, par exemple, introduit de solides initiations aux probabilités et sta- tistiques et à l’algorithmique dès ce volume de première année.

Malgré tout le soin apporté à cet ouvrage il est inévitable que quelques erreurs subsistent.

Nous prions le lecteur, qui pourra les signaler à l’éditeur ou à l’un des auteurs pour correc- tion lors d’un nouveau tirage, de nous en excuser.

Une correction détaillée des 530 énoncés supplémentaires est accessible sur le site http://www.dunod.comde l’éditeur à la page de ce livre. Ces corrigés sont au for- mat pdf, ce qui permet facilement de faire une recherche sur un mot ou le numéro d’un exercice ou d’imprimer une solution.

Edmond Ramis à enseigné de longues années en classes préparatoires et écrit une série de livres pour ces classes. Ces livres ont fortement contribué à la formation de plusieurs générations d’étudiants, finissant par acquérir un nom commun : « le Ramis ». Plusieurs de ces étudiants sont maintenant enseignants-chercheurs ou chercheurs dans les universités. Au début des années2000, André Warusfel a eu l’idée de prolonger l’œuvre d’Edmond Ramis par une série d’ouvrages pour l’enseignement universitaire. André nous a hélas quittés.

Nous poursuivons l’édition de ces livres au plus près de l’esprit initial.

Jean-Pierre Ramis

✐ “lun” — 2018/7/17 — 0:14 — page 1 — #15

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P ar ti e I ^Notations et vocabulaire

Vers 1870 Cantor, avec Dedekind puis Peano et quelques autres, créa la théorie des ensembles. Elle fut d’abord mal accueillie et, plus tard, conduisit à une crise aussi violente que féconde. Aujourd’hui cette théorie (au moins à son niveau élémentaire), avec son langage et ses principales notations, est l’outil de base du mathématicien.

Après Cantor apparurent un certain nombre de problèmes : discussions entre Le- besgue, Borel et Baire sur l’axiome du choix, graves paradoxes de la théorie des en- sembles découverts par Russell (l’ensemble de tous les ensembles). Toujours au début duXX^e siècle, Hilbert entreprit de donner des bases solides, totalement indiscutables (dans la ligne historique d’Aristote, Leibniz, Boole, Frege, Peano. . . ). Il avait l’am- bition de formaliser complètement tout le raisonnement mathématique. Mais malgré le génie de Hilbert, ce programme finit par un échec retentissant avec, en 1931, une stupéfiante découverte de Gödel (le théorème d’incomplétude, relié à des paradoxes classiques : un crétois dit que tous les crétois sont menteurs).

Toutefois, si la réponse de Hilbert était fausse, sa question était bonne ! En effet, elle conduisit, entre autres, à l’invention des ordinateurs et à un extraordinaire dévelop- pement de la programmation et du calcul. . . initiés par des travaux de von Neumann et Turing (eux-mêmes fortement influencés par le résultat de Gödel). L’histoire n’est pas finie et tout cela se prolonge dans d’importantes recherches récentes en informa- tique théorique (comme par exemple les travaux de G.J. Chaïtin, en relation avec le concept physique de l’entropie).

Ce premier module n’est évidemment pas à lire en premier ! Mais il faut y revenir sans cesse, au moins au départ, pour préciser tel ou tel point, lever telle obscurité apparente, bref l’utiliser comme un dictionnaire de scrabble ou un manuel de gram- maire. Certains passages (sur les cardinaux, ou les connecteurs logiques) peuvent paraître complexes à première vue. Cela correspond à de vraies difficultés et ne doit surtout pas décourager le lecteur. Il est conseillé de s’y replonger plusieurs fois, en fonction des besoins, et un jour son contenu sera devenu tout à fait abordable. Bonne lecture discursive !

I.1

Fondements

Du paradis que Cantor a créé pour nous, nul ne nous chassera (Hilbert).

La théorie des ensembles a été créée par Georg Cantor à la fin duXIX^e siècle pour résoudre des problèmes d’analyse réelle. Elle a suscité des résistances psychologiques (certains ma- thématiciens y voyaient de la métaphysique) et posé d’importantes difficultés logiques (la

« crise des fondements », au début duXIX^e siècle). Cependant, elle a rapidement investi les autres parties des mathématiques ; en particulier, l’algèbre moderne, créée en Allemagne entre les deux guerres mondiales, est entièrement formulée dans le langage des ensembles.

Dans leur version moderne, toutes les mathématiques sont fondées sur la théorie des en- sembles et tout objet mathématique est un ensemble. Ainsi, dans la théorie de Von Neu- mann, on définit l’entier naturel n comme un ensemble particulier à n éléments ; par exemple,0 :=∅(voir la section 6.3).

Nous adopterons un point de vue plus naïf. Nos ensembles et nos applications contiennent (ou mettent en jeu) des éléments, qui sont des objets mathématiques plus ou moins élé- mentaires et dont on ne précise pas nécessairement la nature. Toutes ces « entités » sont cependant soumises à des axiomes que nous rendrons explicites, autant du moins que ce point de vue non formel le permet. Il ne s’agit pas à proprement parler de fondations des mathématiques, mais plutôt de la mise en place de l’outillage de base qui interviendra dans toutes les structureset toutes les théories qui seront exposées dans cet ouvrage. Ainsi, l’ex- position n’est pas strictement linéaire : des exemples seront tirés des modules ultérieurs, certaines définitions (lois de composition, nombres entiers, relations d’ordre) apparaîtront à plusieurs reprises si des points de vue différents le justifient. Notons que la section 6 (cardinaux) peut être omise en première lecture

✐ “lun” — 2018/7/17 — 0:14 — page 4 — #18

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4 I.1•Fondements

Enfin, nous ne formaliserons pas la logique. Nous admettrons une connaissance intuitive de la notion de vrai et de faux, de l’égalité et même des entiers naturels. Des règles de raisonnement seront décrites à la fin de ce module, alors que nous aurons déjà suffisamment de matière pour les illustrer.

Une théorie exposée de manière purement formelle et sans exemples serait bien in- digeste ! Et par ailleurs, nous savons bien que dans le secondaire ont été rencontrés de nombreux ensembles, en particulier les ensembles de nombres : N(entiers naturels), N^∗ (entiers naturels non nuls), Z(entiers relatifs), Q(nombres rationnels), R (nombres réels), R+ (nombres réels positifs ou nuls), R^∗₊ (nombres réels strictement positifs), C (nombres complexes), etc. Tous ces ensembles seront redéfinis formellement¹ dans les modules cor- respondants de ce cours. Cependant, le lecteur est invité à profiter de la connaissance intui- tive qu’il en a déjà pour illustrer les définitions et constructions qui vont suivre.

1 Ensembles

Le lecteur qui ne désire pas s’initier à l’axiomatique des ensembles peut aborder la lecture de ce module à la page 7 ; s’il est familier avec les définitions de base, il peut même commencer par le théorème 1 de la page 14.

1.1 Appartenance, éléments

Les ensembles sont formés d’éléments. Ce que sont ces derniers n’est pas précisé. On introduit donc une relation particulière entre un élément x et un ensemble E, la relation d’appartenance. Cette relation s’écrit x∈E, ce qui se lit «xappartient àE », «xest élément deE», «E contientx».

Notons cependant que cette dernière formulation est ambiguë, à cause de l’inclusion (définition 2 de la page 7). La négation de la relation d’appartenance s’écrit : x�∈E, ce qui signifie que x∈E est faux, ou encore que ¬(x∈E) est vrai (en logique, le symbole¬signifie « non »). On lit : « x n’appartient pas à E », etc.

Les ensembles les plus célèbres sont N (dont les éléments sont appelés entiers naturels),Z (dont les éléments sont appelés entiers relatifs), Q(dont les éléments sont appelés nombres rationnels), R (dont les éléments sont appelés nombres réels) et C (dont les éléments sont appelés nombres complexes).

Axiome 1.L’axiome fondamental est l’axiome d’extensionalité pour les ensembles, qui dit qu’un ensemble est totalement caractérisé par ses éléments :

∀x , x∈E⇔x∈F

=⇒ E=F. (1)

Lire : « deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont égaux ».

Dans la phrase entre guillemets, l’usage de l’article défini « les » (mêmes éléments) dit qu’il s’agit de tous les éléments : c’est pourquoi la formule (1) comporte un quantificateur ∀x, qu’il faut lire

« quel que soitx», ou encore « pour toutx».

Remarquons que l’implication réciproque va de soi, pour des raisons de logique pure. L’usage ma- thématique veut en effet que, si l’on a une égalité E =F, alors toute propriété vérifiée par E est

1À noter que l’ensembleNdes entiers naturels sera même construit deux fois : une première fois dans ce module (entiers de Von Neumann, voir la section 6.3) et une deuxième fois dans le module suivant. C’est cette dernière construction qui doit ici être regardée comme « officielle ».

vérifiée par F (« substitutivité de l’égalité »). C’est même ainsi que Leibniz définissait l’égalité ! Pour en revenir à nos ensembles, si l’on aE=F etx∈E, on en déduit quex∈F. Pratiquement, on pourra prouver l’égalité de deux ensembles par équivalence.

Exercice 1.

Déterminer l’intersection des droitesD:y= 2x+ 1 etD^′:y= 3x−2.

Solution.C’est l’ensemble des points(x, y)qui appartiennent àD et àD^′, c’est-à-dire qui satisfont le système d’équations(y= 2x+ 1, y= 3x−2). Les méthodes de résolution du secondaire (par équivalence, justement) permettent de déduire que(x, y)est solution de ce système si, et seulement si,x= 3, y = 7. Comme nous allons le voir, il y a un ensemble dont le seul élément est le point P = (3,7), c’est le singleton{P}. On a donc :M ∈D∩D^′⇔M ∈ {P}, d’oùD∩D^′={P}. La plupart des axiomes qui vont apparaître dans ce module mettront en jeu une certaine pro- priété P(x) d’un élément indéterminéx(P s’appelle un prédicat²) ; un axiome dira alors que les élémentsxtels que P(x) est vrai forment un ensemble, autrement dit, qu’il existe un ensembleE tel que ∀x , x∈ E ⇔ P(x). Cela se lit : « quel que soitx, x∈ E si, et seulement si, P(x) ».

L’axiome d’extensionalité permettra alors de déduire queE est unique. En effet, siF est un (autre) ensemble tel que ∀x , x ∈ F ⇔ P(x), les règles usuelles concernant l’équivalence logique en- traînent :∀x , x∈E ⇔x∈F, donc E=F. Après quelques exemples simples, ce procédé sera systématisé en 1.2.

1.1.1 Construction d’ensembles finis

Nous allons commencer par les ensembles « finis » dans un sens intuitif, terme qui sera précisé à la section 6.

Axiome et définition 2.Il existe un ensemble qui n’admet aucun élément.

∃E : ∀x , x�∈E. (2)

On le note ∅et on l’appelle ensemble vide.

L’existence d’un (sous-entendu : « au moins ») ensemble qui n’a aucun élément (« un », article indéfini, exprime l’existence, quantificateur∃) est le contenu de cet axiome. Mais, d’après l’axiome d’extensionalité, l’ensemble qui n’a aucun élément est unique. C’est pourquoi, dans la deuxième partie de la phrase, on dit le (note), qui sous-entend l’unicité. La formule (2) peut donc être renforcée ainsi :

∃!E : ∀x , x�∈E.

Le symbole∃!signifie « il existe un unique ».

Axiome et définition 3. Soit a un objet mathématique. L’axiome du singleton dit qu’il existe un ensemble dont le seul élément esta. On le note{a}, lire « singletona».

Notant E ={a}, on a donc : ∀x , x ∈ E ⇔ x = a. D’après l’axiome d’extensionalité, un tel ensemble est unique. Tout objet mathématique est donc élément d’un ensemble, et nous appellerons donc élément un tel objet. Naturellement,{a}={b} équivaut logiquement àa=b.

Axiome et définition 4.Soienta, bdeux éléments (non nécessairement distincts). L’axiome de la pairedit qu’il existe un ensemble dont les seuls éléments sonta et b. On le note{a, b}. Si a�=b, on l’appelle « paire formée deaetb ».

2La notion de prédicat et son usage seront abordés de manière plus détaillée à la section 7.2

✐ “lun” — 2018/7/17 — 0:14 — page 6 — #20

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6 I.1•Fondements

D’après l’axiome d’extensionalité, l’ensemble {a, b} est unique. L’axiome de la paire implique d’ailleurs celui du singleton : lorsque a = b, on trouve {a, a} = {a}. On démontre de même que{a, b}={b, a}par de la logique pure ! Pour toutx:

x∈ {a, b} ⇐⇒(x=aoux=b)⇐⇒(x=boux=a)⇐⇒x∈ {b, a},

et l’on applique l’axiome d’extensionalité. On prendra donc garde à ne pas confondre la paire{a, b} et le couple (a, b)(ces derniers apparaîtront à la page 10) : on n’a(a, b) = (b, a)que sia=b. Exercice 2.

Montrer que les ensembles∅,{∅},{{∅}}et{∅,{∅}}sont deux à deux distincts.

Solution. Seul le premier n’a aucun élément, il est donc différent de chacun des trois autres ; par ailleurs, puisque ∅ �={∅} (on vient de le voir), les singletons correspondants sont différents. Le dernier ensemble est une paire parce que ∅�={∅}, il n’est donc égal à aucun des trois premiers.

1.1.2 Définition en extension

Chaque fois que l’on se donne des objets a1, . . . , an, on dispose d’une version plus générale des axiomes précédents.

Axiome et définition 5. Il existe un ensemble dont les seuls éléments sont a1, . . . , an

(d’après l’axiome d’extensionalité, il est unique). Cet ensemble est noté {a1, . . . , an}. On dit que l’on a défini cet ensemble « en extension », c’est-à-dire en énumérant ses éléments.

Exercice 3.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’on ait l’égalité {a1, . . . , an} = {a}, puis {a1, . . . , an}=∅.

Solution. La première égalité a lieu si, et seulement si, les objetsa1, . . . , an sont tous égaux àa. La seconde est en principe impossible. Il existe cependant une convention (en fait, un abus de langage) selon laquelle, lorsquen= 0(aucun objet !), la notation{a1, . . . , an}désigne l’ensemble vide.

Pour n = 1,2, on retrouve les axiomes précédents. Au delà, on trouve les ensembles {a, b, c}, {a, b, c, d}, etc. La notation générale a1, . . . , an est légèrement abusive car elle sous-entend que l’on sait interpréter les . . . intermédiaires. Dans la pratique, on s’autorise des « définitions en ex- tension incomplètes » comme{0,2, . . . ,2n}parce que l’on devine aisément la loi de formation des éléments énumérés : ici, les entiers de la forme2k, où l’entier kvarie de 0 àn. Par abus courant, la même notation s’emploie pour énumérer des ensembles infinis, comme N = {0,1,2, . . .} ou l’ensemble2N={0,2,4, . . .} des entiers naturels pairs. Cela peut être dangereux (ambiguïté sur la loi de formation) et cela cache en réalité des axiomes plus puissants. En fait, pour anticiper, on a une suite (un)n∈N et l’ensemble {u0, u1, . . .} est l’ensemble image de cette suite, c’est-à-dire l’ensemble{un|n∈N}.

Exercice 4.

Reconnaître l’ensemble{0,1,−1,2,−2, . . .}.

Solution. Il s’agit bien sûr de l’ensembleZ. On peut le décrire à l’aide de la suite (un)n∈Ndéfinie par les formulesu2p=−petu2p+1=p+ 1.