Finance 1. Université d Evry Val d Essonne Séance 4. Philippe PRIAULET

Finance 1

Université d’Evry Val d’Essonne

Séance 4

Philippe PRIAULET

Plan de la formation

• Les swaps

• Définition

• Terminologie, convention et cotation

• Utilisations en pratique des swaps

• Evaluation des swaps de taux standards

• Présentation des swaps non standards

• Exercices

Les Swaps - Introduction

Les swaps sont des contrats caractérisés par des échanges de flux d’intérêt entre deux contreparties sans qu’il n’y ait d’échange de flux de capital.

Calculés à partir d’un montant principal, les échanges de flux d’intérêt ont lieu à des dates fixées lors de la conclusion du contrat de swap.

Il existe différents types de swaps:

- swaps standards

- swaps amortissables - «basis» swaps

Les Swaps - Introduction (2)

- swaps zéro-coupon - swaps de courbe

- swaps à départ différé

- swaps CMS (Constant Maturity Swap) - ...

Nous allons considérer dans un premier temps les swaps standards (dits «plain vanilla») et ferons une présentation des swaps non standards à la fin de la séance.

Qu’entend-on exactement par swap standard ?

Les Swaps - Introduction (3)

Ce sont des swaps caractérisés par:

- l’échange d’une patte (ou jambe) fixe dont les paiements dépendent d’un taux fixe pour une patte variable dont les paiements dépendent d’un taux variable.

- un montant principal constant tout au long de la vie du swap.

- enfin, la maturité du taux variable est identique à la durée entre deux paiements de la patte variable.

Les Swaps - Introduction (4)

Voici l’échéancier d’un exemple de swap standard.

Nous considérons au 01/01/01 un swap euribor 6 mois de maturité 2 ans, de taux fixe F et de montant principal 100000 euros.

E(t) est la valeur de l’euribor 6 mois constaté en t et payé en t+6 mois

01/07/01 01/01/02 01/07/02 01/01/03

100.000*F 100.000*F

-100.000*E(01/01/01)/2 -100.000*E(01/07/01)/2 -100.000*E(01/01/02)/2 -100.000*E(01/07/02)/2

Les Swaps - Introduction (5)

Tous les 6 mois et au prorata annuel de la période écoulée, l’acheteur du swap reçoit le taux euribor 6 mois observé 6 mois auparavant multiplié par le montant principal.

En contrepartie, il paie chaque année un taux fixe F multiplié par le montant principal.

Il est naturellement possible de recevoir la jambe fixe et de payer la jambe variable. Il suffit pour cela de vendre le swap.

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un swap standard

Cadre légal: tous les swaps sont en principe traités sous les termes et conditions légales fixés par l’ISDA.

Montant principal: il s’agit du montant qui permettra de calculer les flux d’intérêts entre les deux parties. Ce montant est identique pour les deux jambes.

Exemple: Soit un swap échangeant le taux euribor 3 mois contre un taux fixe à 5%. Le montant principal est égal à 100 millions d’euros. Dans ce cas, le flux d’intérêt de la patte fixe versé chaque année est égal à 5 millions d’euros.

5 millions = 100 millions . 5%

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un swap standard (2)

Base: elle renseigne sur la durée entre deux dates et sur le nombre de jours considéré dans une année. La base la plus souvent utilisée est la base «Exact/360» qui prend en compte le nombre exact de jours calendaires entre 2 dates et 360 jours pour une année. Cette base est classiquement utilisée pour les swaps en $ et en euros. La base «Exact/365» est utilisée pour les swaps en sterlings.

Devise: elle correspond à la devise dans laquelle le swap est libellé.

Échéance: il s’agit de la date à laquelle le swap n’existe plus. A cette date, les deux parties ont fini d’échanger tous les flux du swap.

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un swap standard (3)

Echéancier du swap: il correspond à l’échéancier des flux échangés entre les deux parties.

Les dates auxquelles les flux du swap s’échangent sont déterminées lors de la conclusion du contrat.

La fréquence de paiement des flux de la patte fixe est généralement annuelle ou bi-annuelle (aux Etats-Unis notamment).

La fréquence de paiement des flux de la patte variable est telle que la maturité du taux variable est identique à la durée entre deux paiements de la patte variable.

Terminologie, Convention Caractéristiques d’un swap standard (4)

Exemple: Soit un swap euribor 3 mois. Les paiements de flux sur la patte variable ont lieu tous les 3 mois.

Si les deux parties paient et recoivent des flux d’intérêt, à une date de paiement seule la différence entre les deux flux change de main.

Taux variable: Le taux variable généralement payé en fin de période est connu en début de période. Ainsi le premier paiement de la patte variable est connu au moment de la conclusion du swap.

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un swap standard (5)

Taux fixe: Le «market maker» calcule la valeur du taux fixe telle que la valeur du swap est égale à zéro, autrement dit telle que la valeur de la patte fixe égale la valeur de la patte variable. Ce taux fixe est appelé couramment taux de swap.

Cotation: Les swaps sont cotés de deux façons:

- en taux de swap.

Le «market maker» cote en fait une fourchette de prix. Le prix bid est le taux de swap auquel il est prêt à payer la patte fixe tandis que le prix ask correspond au taux de swap quand il paie la patte variable.

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un swap standard (6)

- en «swap spread».

Le swap spread d’un swap d’une certaine maturité M est égal à la différence entre le taux de swap et le taux de rendement d’une obligation d’Etat de même maturité M.

Le «swap spread» est exprimé en points de base.

Le «market maker» cote à nouveau une fourchette de «swap spread». Par exemple «45/50» signifie que le «market maker»

est prêt à payer la patte fixe 45 points de base au-dessus du taux de rendement de l’obligation d’Etat, et à payer la patte variable en échange d’une patte fixe 50 points de base au- dessus du taux de rendement de l’obligation d’Etat.

Cotation de swaps de la zone Euro

Cotation de swaps de la zone Euro (2)

Cotation de swaps US

Cotation de swaps US (2)

Cotation de swaps - Un exemple

Utilisation en pratique des swaps

Les swaps sont utilisés en pratique pour quatre différentes applications:

- optimiser les conditions financières d’une dette - convertir les conditions financières d’une dette - créer de nouveaux produits synthétiques

- couvrir le risque de taux d’intérêt

Utilisation en pratique des swaps

Optimiser les conditions financières d’une dette

Les entreprises ont des conditions différentes d’endettement notamment fonction du niveau de leur rating.

Soient 2 entreprises A et B. Quand l’écart entre les conditions à taux fixe obtenues par A et B est différent de l’écart entre les conditions à taux variable obtenues par ces deux mêmes entreprises, A et B peuvent optimiser leurs conditions d’endettement en structurant un swap.

Exemple: Soient deux firmes A et B qui ont les mêmes besoins d’endettement en termes de montant et durée.

Utilisation en pratique des swaps

Optimiser les conditions financières d’une dette (2)

A et B ont les conditions d’endettement suivantes sur le marché:

- A: 10% à taux fixe et euribor + 1.5% pour un montant de 10 millions d’euros et une maturité de 5 ans.

- B: 8.5% à taux fixe et euribor +0.5% pour les mêmes caractéristiques d’emprunt.

B a 1.5% de mieux que A à taux fixe, et seulement 1% de mieux à taux variable.

L’écart entre les conditions à taux fixe et à taux variable de A et B s’élève à 0.5%.

Utilisation en pratique des swaps

Optimiser les conditions financières d’une dette (3)

Supposons à présent que B souhaite s’endetter à taux variable et A à taux fixe.

Il y a 2 solutions:

- Solution 1: B s’endette à euribor + 0.5% et A à 10%.

- Solution 2: B emprunte à 8.5% et A à euribor +1.5% et ils structurent le swap suivant:

B paie à A euribor + 0.75% et reçoit de A le fixe à 9%

Utilisation en pratique des swaps

Optimiser les conditions financières d’une dette (4)

L’opération de financement est résumée dans le tableau suivant

Les deux entreprises ont optimisé les conditions financières de leur endettement, gagnant chacune 0.25%.

Elles ont partagé équitablement l’écart de 0.5% qui existait entre les conditions à taux fixe et à taux variable de A et B.

Entreprise A Entreprise B Financement initial - (Libor + 1.5%) -8.5%

Swap A vers B -9% 9%

Swap B vers A Libor + 0.75% - (Libor +0.75%) Coût de financement -9.75% - (Libor + 0.25%) Coût de financement sans le swap -10% - (Libor + 0.5%)

Gain 0.25% 0.25%

Utilisation en pratique des swaps

Convertir les conditions financières d’une dette

Pour financer leurs besoins, les entreprises émettent souvent des obligations à taux fixe de maturité moyen ou long terme du fait de la bonne liquidité en général de ces obligations.

Un trésorier qui anticipe une baisse des taux souhaite transformer son endettement à taux fixe en un endettement à taux variable.

Ce trésorier va donc contracter un swap dans lequel son entreprise paiera la patte fixe et recevra la patte variable.

Utilisation en pratique des swaps

Convertir les conditions financières d’une dette (2)

Exemple: Il y a 1 an, le 25/05/00, l’entreprise A a émis une obligation de montant principal 10 millions de strerlings, de maturité 5 ans, de taux de coupon 7%.

Cette entreprise qui anticipe une baisse des taux souhaite transformer sa dette à taux fixe en une dette à taux variable.

Les conditions sur le marché pour un swap Libor 6 mois de maturité 4 ans sont les suivantes:

Libor contre 5.5% ou Libor + 1.5% contre 7%

Utilisation en pratique des swaps

Convertir les conditions financières d’une dette (3)

L’entreprise A entre donc dans un swap de montant principal 10 millions de sterlings, de maturité 4 ans où elle reçoit chaque année la patte fixe à 7% et paie tous les 6 mois la patte variable à Libor + 1.5%.

L’échéancier de ce swap est le suivant où L(date t) est le taux Libor à la date t et 10M signifie 10 millions.

-700.000

25/11/01 25/05/02

[L(25/05/01) + 1.5%]/2. 10M [L(25/11/01) + 1.5%]/2. 10M -700.000

25/11/02 25/05/03

[L(25/05/02) + 1.5%]. 10M [L(25/11/02) + 1.5%]/2. 10M -700.000

25/11/03 25/05/04

[L(25/05/03) + 1.5%]/2. 10M [L(25/11/03) + 1.5%]/2. 10M -700.000

25/11/04 25/05/05

[L(25/05/04) + 1.5%]/2. 10M [L(25/11/04) + 1.5%]/2. 10M

Utilisation en pratique des swaps

Convertir les conditions financières d’une dette (4)

Remarque: Dans l’échéancier précédent les flux Libor sont divisés par 2 pour tenir compte du prorata temporis annualisé.

En fait, il faudrait calculer la différence exacte de jours entre 2 dates et la diviser par 365 (voir base).

Convertir les conditions financières d’une dette peut aussi être utilisé pour optimiser le «matching» entre l’actif et le passif.

Exemple: Une banque détient un portefeuille d’obligations long terme à taux fixe 7%, qu’elle a financé en émettant du papier à 4 ans à euribor 1 an +0.2%.

Utilisation en pratique des swaps

Convertir les conditions financières d’une dette (5)

Si l’euribor 1 an vient à dépasser 6.8%, le coût de financement sera supérieur au taux de coupon perçu sur le portefeuille obligataire.

La banque qui souhaite bloquer la marge au delà du coût de financement entre dans un swap où elle reçoit la patte variable à euribor 1 an et paie la patte fixe à 6%.

Elle se garantit ainsi une marge de 0.8% au delà de son coût de financement.

Utilisation en pratique des swaps Créer de nouveaux actifs en utilisant des swaps

Les swaps peuvent être utilisés pour créer de nouveaux actifs qui n’existent pas dans le marché. C’est ce qu’on appelle un

«asset swap».

Exemple:

Considérons une entreprise de rating BBB qui a émis des obligations de taux de coupon 10% et de maturité 4 ans.

Un investisseur qui pense que le coupon payé par l’entreprise est intéressant mais anticipe une hausse des taux courts va créer une obligation synthétique de cette entreprise qui délivre le Libor à un an plus marge.

Utilisation en pratique des swaps

Créer de nouveaux actifs en utilisant des swaps (2)

L’idée est d’acheter l’obligation de l’entreprise et d’entrer simultanément dans un swap où l’investisseur reçoit le Libor à 1 an et paie le fixe.

Le taux de swap coté par le marché est égal à 6%.

L’obligation synthétique délivre ainsi Libor + 4%.

Evaluation des swaps standards L’approche classique du marché

Cette approche postule que les taux variables futurs de la patte variable sont égaux aux taux forwards calculés à la date où l’on souhaite évaluer le swap.

Lorsque la maturité du taux variable est identique à la durée entre deux paiements de la patte variable, cette approche est parfaitement correcte.

Dans les autres cas, cette approche est défaillante, et un modèle de taux doit être mis en place pour calculer l’espérance du taux futur.

Evaluation des swaps standards (2)

Soit un swap de montant principal N.

- La patte variable délivre m flux aux dates pour j = 1,...,m.

- La patte fixe de taux fixe noté C délivre n flux aux dates pour i = 1,...n, k étant le rapport entre la fréquence annuelle de

paiement sur la patte variable et la fréquence annuelle de paiement sur la patte fixe. On a en particulier kn = m.

- est le taux variable constaté en et payé en .

- est le nombre de jours entre le j-ème paiement et le (j-1)-ème paiement.

T

Tj

−1

Vj T_j−1

Tj

−1

− _j

j T

T

Evaluation des swaps standards (3)

Le prix de ce swap à la date s’exprime comme la somme des flux actualisés du swap (en supposant que l’on reçoit le fixe et paie le variable):

L’approche du marché consiste à remplacer par sa valeur forward calculée à la date .

Le prix devient:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

∑ ∑

= =

− − n −

i

m j

j j

j j

ki ki

t ki T T B t T

V T

t T B

C T N

SWAP

1 1

1

1 1 . ( , )

. 360 )

, ( 360 .

. .

−1

Vj

T0

t =

T0

t = )

,

(t V_j−1 F

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

∑ ∑

= =

− − n −

i

m j

j j

j j

ki ki

t ki T T B t T

V t F T

t T B

C T N

SWAP

1 1

1

1 1 . ( , )

. 360 ,

) , ( 360 .

. .

Evaluation des swaps standards (4)

La méthode dite des zéro-coupon

Lorsque la maturité du taux variable est identique à la durée entre deux paiements de la patte variable, s’exprime de la façon suivante

L’équation du prix du swap se simplifie alors en

soit

) ,

(t V_j−1 F

( ) ( )

( )

1

. 360 , 1

, ,

−

− − ⎟⎟ −

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

j j

j j

j B t T T T

T t V B

t F

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎟ − −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

∑ ∑

=n − = −

i

m j

j j

ki ki

t Tki T B t T B t T B t T

C N

SWAP

1 1

1 . ( , ) ( , 1) ( , )

. 360 .

( )

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟ − −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

∑

= n − i

m ki ki

t Tki T B t T B t T

C N

SWAP

1

1 . ( , ) 1 ( , ) . 360

.

Evaluation des swaps standards (5)

La méthode dite des zéro-coupon (suite)

En général si bien que la formule d’évaluation du swap se simplifie en

soit

( )

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ − −

= ∑

= n

i ki m

t

N C B t T B t T

SWAP

1

) ,

( 1

) ,

( . .

360 1

1 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛T_ki −T_ki−

N T

t B T

t B C N

SWAP

n

i ki m

t

−

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ +

= ∑

=1

) ,

( )

,

(

.

.

Evaluation des swaps standards (6)

Retour sur le taux de swap

La valeur d’un swap standard de montant nominal N est égale à celle:

- d’une obligation à taux fixe de maturité identique à celle du swap et de même montant nominal que le swap;

- moins le montant nominal du swap.

A une date t donnée, le taux fixe C est déterminé de telle façon que la valeur du swap soit égale à 0.

Ce taux fixe est appelé taux de swap. C’est ainsi que sont cotés les swaps.

Evaluation des swaps standards (7)

Exemple

Considérons un swap standard de montant nominal 1.000.000 d’euros de maturité 10 ans receveur de l’Euribor 3 mois et payeur du fixe à 5%. La courbe des taux est supposée plate à 5%.

Le prix P de ce swap est égal au

- prix d’une obligation à taux fixe 5% de maturité 10 ans et de montant nominal 1.000.000 d’euros, soit 1.000.000 puisque le taux de coupon est égal au taux de rendement à maturité - moins le montant nominal du swap.

P = 1.000.000 - 1.000.000 = 0

Evaluation des swaps standards (8) Exemple (suite)

Que devient le prix de ce swap si la courbe des taux subit instantanément une translation à la hausse de 0.5% ? A la hausse de 1% ? A la baisse de 0.5% ?

1- Le prix P de ce swap est égal à

P = 962.312 - 1.000.000 = -37.688 2- Le prix P de ce swap est égal à

P = 926.399 - 1.000.000 = -73.601 3- Le prix P de ce swap est égal à

P = 1.039.564 - 1.000.000 = 39.564

Couverture contre le risque de taux d’intérêt en utilisant des swaps

Principe

Les quantités utiles pour mettre en place une couverture contre une faible variation parallèle des taux sont la duration modifiée et la $ duration

La duration modifiée (opposée de la sensibilité), et la

$duration (= - prix * duration modifiée) d’un swap sont identiques à celles de l’obligation à taux fixe qui la compose.

L’avantage du swap comparé à l’obligation est qu’il est beaucoup moins cher.

De ce fait, il est bien plus avantageux de se couvrir avec un swap plutôt qu’une obligation.

Le coût de financement de la couverture est ainsi quasi nul.

voir Exercice 2

Présentation de swaps non standards

Swaps à montant principal non fixe

On distingue 3 types de swaps différents:

- les swaps amortissables sont des swaps dont le montant principal décroît au cours du temps.

- les «accrediting swaps» sont des swaps dont le montant croît au cours du temps.

- les «roller coaster swaps» sont des swaps dont le montant nominal peut croître et decroître d’une période à une autre.

L’idée de ces swaps est d’ajuster l’évolution du montant principal à ce qu’il est pour un endettement.

Présentation de swaps non standards

«Basis swaps»

Un «basis swap» est un swap d’échange de deux pattes variables.

Les taux variables échangés peuvent être de deux marchés de taux différents avec éventuellement des maturités différentes, ou du même marché mais avec différentes maturités.

Exemples:

- swap Libor 6 mois contre CD à 3 mois - swap Libor 1 mois contre Libor 6 mois

Présentation de swaps non standards

Swaps CMS et CMT

Le swap CMS est un swap d’échange de deux pattes variables, l’une étant un taux euribor et l’autre le taux de swap d’un swap de maturité constante.

Exemple:

Le swap Libor 3 mois contre le taux de swap à 10 ans.

Le swap CMT est un swap d’échange de deux pattes variables, l’une étant un taux euribor et l’autre le taux de rendement actuariel d’une obligation d’Etat de maturité constante.

Exemple:

Le swap euribor 3 mois contre le tec 10 ans (taux de rendement actuariel de l’OAT de maturité constante 10 ans)

Présentation de swaps non standards

Swaps à départ différé

Un swap à départ différé est un swap qui ne débute pas à la date où est conclu le swap mais à une date dans le futur.

Swaps de courbe

Un swap de courbe est un swap d’échange de deux pattes variables où les deux contreparties échangent la différence entre deux taux d’une même courbe mais de maturité différentes.

Exemple:

Le swap du T-Bill à 6 mois contre le taux CMT à 5 ans.

Présentation de swaps non standards

Swaps zéro-coupon

Le swap zéro-coupon est un swap d’échange d’une patte fixe ou variable délivrant périodiquement des flux contre une patte fixe ou variable délivrant un seul flux.

Exemple:

Le swap zéro-coupon de maturité 4 ans qui échange une patte fixe 7% avec des paiements annuels contre une patte délivrant un unique flux F dans 4 ans.

Exercices

Exercice 1

Nous considérons deux firmes A et B qui ont les mêmes besoin de financement en termes de montant et maturité.

Ces deux firmes peuvent emprunter aux conditions suivantes sur le marché:

Firme A: 11% à taux fixe et Libor +2% pour un prêt de 10 millions d’euros à cinq ans.

Firme B: 9% à taux fixe ou Libor +0.25% pour le même prêt.

1- Nous supposons que B préfère s’endetter à taux variable tandis que A s’endette à taux fixe. Quel swap vont-elles réaliser pour optimiser leurs conditions financières ?

2- Si B préfère s’endetter à taux fixe et A à taux variable, y-a t-il un swap à mettre en place entre ces deux firmes ? Conclure.

Exercices

Exercice 2

Nous considérons aujourd’hui un swap standard Euribor 6 mois de maturité 6 ans. Le montant nominal est égal à 1 million d’euros. Le taux fixe (différent du taux de swap) est égal à 6%.

La courbe des taux zéro-coupon est la suivante:

1- Quelle est la formule d’évaluation d’un swap standard par la méthode des zéro-coupon ?

2- Calculer les facteurs d’actualisation 3- Quel est le prix du swap ?

Maturité Taux ZC Maturité Taux ZC

0.5 4.005% 3.5 5.785%

1 4.575% 4 5.896%

1.5 4.925% 4.5 6.001%

2 5.134% 5 6.069%

2.5 5.412% 5.5 6.121%

3 5.599% 6 6.148%

Exercices

Exercice 2 (suite)

4- Quel est le taux de swap (prix du swap = zéro) ?

5- Un investisseur a acheté 100.000 obligations de maturité 5 ans, délivrant un coupon annuel de 7.2% et de montant nominal 1.000 euros.

Quels sont le prix, le taux de rendement à maturité et la duration de ce titre ?

6- L’investisseur craint une hausse des taux. Combien de swaps doit-il vendre pour protéger son portefeuille obligataire ?

7- La courbe des taux de rendement à maturité subit un mouvement de translation de +0.3%. Quelle est la nouvelle position de l ’investisseur avec et sans la couverture à l’aide de swaps ?

Plan du cours

• Les contrats forward et future

• Définition

• Terminologie, convention et cotation

• Utilisations en pratique

• Evaluation des forward et future

Les contrats forward et future - Introduction

Un contrat forward ou contrat future est un engagement à acheter ou vendre à la date t un actif spécifié à une date future T appelée date de livraison et à un prix appelé le prix forward ou prix future.

Le prix forward ou future est calculé de telle façon que la valeur du contrat à la date t soit égale à zéro.

A la date T, le vendeur délivre l’actif à l’acheteur du contrat au prix déterminé en t.

Si l’acheteur du contrat fait un gain (perte) à la date T, le vendeur réalise la perte (gain) opposée si bien que «le jeu est à somme nulle».

T

Ft

T

Ft

Les contrats forward et future - Introduction (2)

Exemple: Considérons au 12/03/01 un contrat forward dont le sous-jacent est un T-Bill à 3 mois. La maturité de ce contrat est égale à un mois et le prix future vaut 98.6. Le vendeur du contrat délivre à l’acheteur le T-Bill à 3 mois au 12/04/01 et au prix de 98.6.

Les contrats future sont similaires aux contrats forward dans leur conception mais diffèrent quant à leur échange.

Les contrats future sont standardisés et négociables sur des marchés de future reconnus.

Les contrats forward et future - Introduction (3)

Au contraire, les contrats forward sont traités de gré à gré et ont pour objectif de correspondre directement aux attentes de l’acheteur.

Nous distinguons trois grands types de contrats future selon la nature du sous-jacent qui est soit une obligation à coupons telle que l’OAT de maturité 10 ans, soit un taux d’intérêt tel que l’euribor à 3 mois, ou soit un bon à taux fixe (T-Bill ou BTF).

Les contrats future sont traités dans le monde entier. Les marchés de future de taux les plus importants sont:

Les contrats forward et future - Introduction (4)

- the International Money Market of the Chicago Mercantile Exchange (www.cme.com)

- the Chicago Board of Trade (www.cbot.com) - the Sydney Futures Exchange

- the Toronto Futures Exchange - the Montréal Stock Exchange - the Winnipeg Stock Exchange

- the London International Financial Futures Exchange (www.liffe.com)

- the Tokyo International Financial Futures Exchange

- le Marché à Terme International de France (www.matif.fr) - Eurex (www.eurexchange.com)

- ...

Les contrats future sur le CME, CBOT et LIFFE

CME CBOT LIFFE

Eurodollar Futures 30-Year US Treasury Bonds Long Gilt Contract 13-Week Treasury Bill Futures 10-Year US Treasury Notes German Government Bond

Contract

Libor Futures 5-Year US Treasury Notes Japanese Government Bond Contract

Fed Funds Turn Futures 2-Year US Treasury Notes 3-Month Euribor Future 10-Year Agency Futures 10-Year Agency Notes 3-Month Euro Libor Future

5-Year Agency Futures 5-Year Agency Notes 3-Month Sterling Future Argentine 2X FRB Brady Bond

Futures

Long Term Municipal Bond Index

3-Month Euro Swiss Franc Future

Argentine Par Bond Futures 30-Day Federal Funds Mortgage 3-Month Euroyen (TIBOR) Future

Brazilian 2 X C Brady Bond Futures

3-Month Euroyen (LIBOR) Future

Brazilian 2 X EI Brady Bond Futures

2-Year Euro Swapnote Mexican 2 X Brady Bond

Futures

5-Year Euro Swapnote

Euro Yen Futures 10-Year Euro Swapnote

Japanese Government Bond Futures

Euro Yen Libor Futures Mexican TIIE Futures Mexican CETES Futures

Les contrats future sur le MATIF et EUREX

EUREX MATIF

1-Month Euribor Future 30-Year E-Bond Future 3-Month Euribor Future Euro Notional Future

Euro Schatz Future 5-Year Euro Future Euro Bobl Future 2-Year E-Note Future Euro Bund Future 3-Month Euribor Future

Euro Buxl Future Conf Future

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un contrat future standard

Actif sous-jacent: il s’agit de l’actif que le vendeur du contrat est censé délivrer à l’acheteur. Cet actif existe dans le cas d’un taux d’intérêt et d’un bon à taux fixe, et le plus souvent est fictif dans le cas d’une obligation à coupons.

Quand l’actif est fictif, le contrat stipule les actifs réels qui peuvent être délivrés à la place de l’actif fictif.

Exemple: L’actif sous-jacent du CBOT 30-Year US T-Bond Future est une obligation fictive de maturité 30 ans et de coupon 6%. Les obligations réelles qui peuvent être délivrées sont des obligations sans clause optionnelle qui ont une maturité résiduelle d’au moins 15 ans le premier jour du mois où l’obligation est délivrée.

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un contrat future standard (2)

Taille du contrat: il s’agit du montant principal de l’actif à délivrer.

Exemple: Le montant nominal du CBOT 30-Year US T-Bond Future est 100.000$. Le montant nominal du contrat Matif Euribor 3 mois est 1.000.000 euros.

Marge initiale: elle correspond au montant minimum à déposer pour prendre position sur un contrat. Pour prendre position sur un contrat, par exemple de 100.000$ de montant principal, il est simplement nécessaire de déposer un % de la taille du contrat qui peut être en cash ou en équivalent d’une obligation reconnue.

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un contrat future standard (3)

Cela permet à un intervenant de profiter d’un effet de levier.

L’effet de levier se calcule en divisant la taille du contrat par la marge initiale.

Exemple: Le contrat future Euro Notional du Matif exige un dépôt initial de 1500 euros par contrat. Sachant que la taille du contrat est de 100.000 euros, l’effet de levier du contrat est égal à 66.66.

Exemple: Le contrat future euribor 3 mois du Matif exige un dépôt initial de 500 euros par contrat. Sachant que la taille du contrat est de 1.000.000 euros, l’effet de levier du contrat est égal à 2000.

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un contrat future standard (4)

Le mois de livraison: il s’agit du mois où le contrat expire.

Exemple: Le contrat Matif Euro Notional fonctionne par cycle trimestriel avec des mois de livraison en mars, juin, septembre et décembre.

Calendrier: il spécifie le dernier jour de trading, le jour de répartition quand les vendeurs indiquent aux acheteurs quels actifs ils vont leur livrer, le jour de livraison quand les actifs sont effectivement livrés et les jours par rapport auxquels sont calculés les intérêts courus et les facteurs de conversion.

Terminologie, Convention

Caractéristiques d’un contrat future standard (5)

Exemple: Calendrier pour le contrat future Euro Notional du Matif venant à échéance en septembre 2001

Dernier jour de trading 17/09/2001 Jour de répartition 18/09/2001 Jour de livraison 21/09/2001

Cotation

Caractéristiques d’un contrat future standard (6)

Prix du future: il est coté différemment en fonction de la nature de l’actif sous-jacent, taux d’intérêt type Euribor, obligation à coupons ou bon à taux fixe type T-Bill ou BTF.

Quand l’actif sous-jacent est un taux d’intérêt, le contrat future est coté à la troisième décimale comme 100 - taux d’intérêt.

Quand l’actif sous-jacent est une obligation à coupons, le contrat future est coté en % du montant nominal de l’actif sous-jacent jusqu’à la deuxième décimale.

Quand l’actif sous-jacent est un T-Bill, le contrat future cote 100 - taux d’escompte

Rappel - Cotation d’un bon à taux fixe

Le bon à taux fixe est coté de deux façons différentes:

- soit à partir du taux d’escompte e (yield on a discount basis) comme suit

P = N.(1-e.d/360)

où N est le montant nominal et d le nombre de jours jusqu’à échéance du bon.

- soit à partir du taux in fine r (yield on a money market basis) comme suit

P = N/(1+r.d/360)

Cotation

Caractéristiques d’un contrat future standard (7)

Le tick: il correspond à la fluctuation minimale du prix d’une cotation à une autre.

Exemple: Le contrat Matif Euribor 3 mois à échéance dans deux mois, est coté comme 100 - le taux futur Euribor 3 mois dans 2 mois. Le tick de ce contrat est égal à 1/5 point de base, ce qui correspond à 5 euros.

Exemple: Le CBOT 30-Year US T-Bond Future est coté en % du montant nominal de l ’actif sous-jacent. Le tick pour ce contrat est égal à 1/32 de point ce qui représente 31.25$.

NB: 80-16 correspond à 80 16/32 soit 80.5

Cotation

Caractéristiques d’un contrat future standard (8)

Sur certains contrats, il existe des variations de prix limitées et des limites en position par jour de trading.

Exemple: Le contrat Matif Euribor 3 mois a une variation de prix quotidienne limitée à +/-16 points de base, soit +/- 400 euros.

Exemple: Le CBOT Mortgage Future offre une position quotidienne limitée à 5000 contrats.

Contrats cotés sur le MATIF

Cotation de l’Euro Notional 10Y

Cotation de l’Euro 5Y Bond

Cotation du contrat Euribor 3 mois

Contrats cotés au CBOT

Cotation de l’US Long Bond

Appels de marge

Le Rôle de la Chambre de Compensation

Quand 2 intervenants s’accordent pour échanger dans le futur un actif à un certain prix, le risque est que l’une des 2 contreparties ne puisse honorer son contrat. Le rôle de la chambre de compensation est d’éliminer ce risque de défaut.

La marge initiale est justement déposée auprès de la chambre de compensation qui crée un compte pour chaque intervenant.

Mais comme le prix du future est amené à varier, la perte éventuelle d’une des 2 contreparties peut être supérieure à la marge initiale. C’est la raison pour laquelle ils existent les appels de marge.

Appels de marge

Le Rôle de la Chambre de Compensation (2)

A la fin de chaque jour de trading, le gain ou la perte de chaque intervenant est ajoutée à son compte.

Si le solde du compte est inférieur à la marge initiale, l’intervenant doit ramener le solde de son compte au niveau de la marge initiale.

La marge additionnelle déposée par l’intervenant est appelée appel de marges.

Facteur de concordance

Facteur de Concordance et Moins Chère à Livrer

Lorsque l’actif sous-jacent du contrat est fictif, le vendeur du contrat doit livrer un actif réel qui peut différer de l’actif fictif en termes de maturité et coupon.

Il est donc nécessaire de calculer un facteur de concordance qui permet de rendre les deux actifs équivalents.

Le facteur de concordance est calculé à la date de répartition.

Etant donnés un contrat future sur un actif fictif et un actif réel, le facteur de concordance est un facteur constant qui est connu à l’avance.

Facteur de concordance

Facteur de Concordance et Moins Chère à Livrer (2)

Soit un contrat future sur un actif fictif de maturité m années et de taux de coupon r.

Nous supposons que l’actif réel est une obligation de maturité x ans et de taux de coupon c.

Le facteur de concordance noté FC est égal à FC = PV - IC

où PV est la valeur actualisée de l’actif réel au taux r et IC représente les intérêts courus sur ce même actif.

Facteur de concordance

Facteur de Concordance et Moins Chère à Livrer (3)

Exemple: Soit un contrat future sur un actif fictif de maturité 10 ans et de taux de coupon annuel 6%. Supposons que l’actif réel à la date de répartition est une obligation de maturité 8.5 ans et de taux de coupon annuel 7%, le facteur de concordance est égal à

Etant donnés un contrat future sur une obligation fictive et une obligation réelle à délivrer, et la date de répartition connue, ce facteur est constant.

459 . 106 5

. 3 959 .

109 7

5 . 0

%) 6 1 (

5

7

. 8

5 . 0

=

−

=

× + −

= ∑

i=

FC

Facteur de concordance

Facteur de Concordance et Moins Chère à Livrer (4)

Le facteur de concordance est utilisé pour calculer le prix que paiera l’acheteur du contrat s’il est livré d’un actif réel. Ce prix noté IP («invoice price») est donné par la formule suivante

IP = taille du contrat. [prix du future. FC + IC]

Exemple: Soit un contrat future dont la taille est égale à 100000$, le prix du future est égal à 98. Le facteur de concordance est égal à 106.459 et les intérêts courus se montent à 3.5. Le prix payé par l’acheteur sera égal à

IP = 100000$.[98%.106.459% + 3.5] = 104333.32$

Moins Chère à Livrer

Facteur de Concordance et Moins Chère à Livrer (5)

A la date de répartition, il y a de nombreuses obligations qui peuvent être livrées par le vendeur.

Ces obligations sont différentes en termes de coupon et maturité.

Etant donné que le facteur de concordance est une mesure imparfaite, le vendeur va choisir l’obligation la moins chère à livrer.

Concrètement, le vendeur du contrat qui livre une obligation doit acheter sur le marché cette obligation au prix CP et reçoit l’invoice price IP de l’acheteur.

Moins Chère à Livrer

Facteur de Concordance et Moins Chère à Livrer (6)

Rappelons que CP est donné par la formule suivante CP = taille du contrat. [prix coté + IC]

L’objectif du vendeur est donc, entre toutes les obligations livrables, de maximiser la quantité Max (IP - CP)

Max (IP - CP) = Max (prix du future.FC - prix coté)

Moins Chère à Livrer

Facteur de Concordance et Moins Chère à Livrer (7)

Exemple: Soit un contrat future de taille 100000$ dont le prix est 97. Soient trois obligations livrables A, B et C aux prix cotés et facteur de concordance suivants

Le vendeur du contrat choisira de livrer l’obligation C.

Prix coté Facteur de concordance

IP-CP Obligation A 103.90 107.145% 3065$

Obligation B 118.90 122.512% -6336$

Obligation C 131.25 135.355% 4435$

Utilisations en pratique des contrats forward et future

Spéculer sur les taux d’intérêt

Comme les obligations classiques, le prix des futures varient en sens inverse du mouvement des taux d’intérêt.

Les futures sont classiquement utilisés pour spéculer sur les taux d’intérêt car ils ont 3 avantages:

- les coûts de transaction sur les contrats futures sont inférieurs aux coûts de transaction sur les obligations.

- il est plus facile de vendre à découvert un contrat future qu’une obligation.

- les contrats future permettent de profiter d’un effet de levier important contrairement aux obligations.

cf Exercice suivant pour illustration

Exercice

Le prix d’une obligation de maturité 10 ans, de montant nominal 1.000$ est 116.277. Au même moment, le prix d’un contrat future qui expire dans 2 mois est 98.03. Son montant nominal est 100.000$ et le dépôt initial égal à 1.000$. Un mois plus tard,le prix de l’obligation est 120.815 alors que le prix du future est 102.24.

1- Calculer l’effet de levier sur le contrat future

2- Un investisseur anticipe une baisse des taux à court terme.

Son cash à disposition est égal à $100.000.

a) Combien d’obligations va t-il acheter ?

b) Calculer le taux de rendement de l’investissement dans l’obligation et dans le contrat future

c) Conclusion

Utilisations en pratique des contrats forward et future

Arbitrer les marchés de taux d’intérêt

L’arbitrage est une opération sans risque qui consiste à tirer profit de décalages anormaux de cours entre différents instruments.

L’arbitrage peut impliquer un contrat forward ou future et l’actif sous-jacent; c’est ce qu’on appelle l’arbitrage comptant-terme ou arbitrage cash and carry (achat au comptant + vente à terme = opération de prêt) ou reverse cash and carry (vente au comptant et achat à terme = opération de placement).

L’arbitrage peut aussi impliquer deux contrats forward ou future;

c’est ce qu’on appelle l’arbitrage terme-terme.

cf Exercice suivant pour illustration

Exercice

Au 15/11/2001, on observe les prix suivants sur le marché:

- le prix d’un future qui arrive à maturité le 30/11/2001 de sous- jacent un bon à taux fixe de maturité 91 jours est égal à 94.5.

- le taux d’escompte du BTF à 106 jours (qui expire le 01/03/02) est égal à 5.53%.

- le taux de financement à 15 jours (base Exact/360) est égal à 5.3%.

1- Quel est le taux d’escompte impliqué par le prix du future ?

2- Décrire l’arbitrage cash-and-carry pour un montant nominal de 10,000,000 d’euros. Quel est le gain réalisé ?

1- e = 100 - 94.5 = 5.5%

2- Au 15/11/01, l’arbitrageur cash-and-carry achète le BTF 106 jours et vend le contrat future.

Exercice (2)

2- suite

Il achète le BTF au prix de:

P = 10,000,000.(1-5.53%.106/360) = 9,837,172 et vend le contrat future au prix de

Pf = 10,000,000.(1-5.5%.91/360) = 9,860,972

Au 30/11/2001, l’arbitrageur vendeur du contrat future délivre le BTF, qu’il a acheté au 15/11/2001 et donc de maturité résiduelle 91 jours (106 -15), et reçoit en échange 9,860,972.

L’opération revient à prêter 9,837,172 pendant 15 jours en contrepartie d’une somme de 9,860,972 reçue 15 jours plus tard.

Il y a arbitrage cash-and-carry dès lors que le taux de prêt est supérieur au taux de financement du marché

Exercice (3)

2- suite (2)

Le taux de prêt annualisé se calcule ainsi

(360/15) * (9,860,972 - 9,837,172)/(9,837,172) = 5.807%

En l’occurrence il est supérieur au taux de financement à 15 jours égal à 5.3%

Le gain réalisé est égal à:

9,860,972 - [9,837,172*(1+5.3%*(15/360))] = 2,076

Exercice (4)

Remarques:

1- On peut mettre en place un arbitrage reverse cash-and-carry dès lors que le taux implicite d’emprunt de l’opération vente au comptant et achat à terme est inférieur au taux de placement du marché.

2- Les mêmes arbitrages se mettent en place pour n’importe quel autre contrat future. En particulier, pour les contrats future sur obligation à coupons, c’est ainsi que l’on choisit l’obligation la moins chère à livrer anticipée.

3- Nota Bene: L’arbitrage marche parfaitement pour les contrats forward. Pour les contrats future, on devrait prendre en compte l’effet des appels de marge.

Utilisations en pratique des contrats forward et future

Se couvrir contre le risque de taux d’intérêt

Considérons un gérant qui a investi dans un portefeuille obligataire P et souhaite se couvrir contre une hausse des taux d’intérêt en vendant des contrats future F.

Il cherche à déterminer le nombre de contrats N qu’il doit vendre tel que

où et sont les montants principaux du portefeuille obligataire P et du contrat future F.

dP et dF sont les variations de prix du portefeuille obligataire et du contrat future.

0 .

.

. dP + N M dF =

M

MP M_F

Utilisations en pratique des contrats forward et future

Se couvrir contre le risque de taux d’intérêt (2)

On fait l’hypothèse que la variation de prix du future est égale à la variation de prix de l’actif sous-jacent. Comme l ’actif sous- jacent n’existe pas, on le remplace par l’obligation la moins chère à livrer (OMCL) ajustée du facteur de concordance. On écrit donc:

où FC est le facteur de concordance pour l’OMCL.

On obtient alors

En utilisant le développement de Taylor à l’ordre un, c’est-à-dire en adoptant une couverture simple en sensibilité, l’équation précédente devient

dF FC dP

= .

0 .

.

. + =

FC M dP

N dP

M

Utilisations en pratique des contrats forward et future

Se couvrir contre le risque de taux d’intérêt (3)

soit

où:

R et R1 sont les taux de rendement du portefeuille obligataire et de l’OMCL.

P(R) et sont les prix du portefeuille obligataire et de l’OMCL.

et sont les sensibilités du portefeuille obligataire et de l’OMCL.

0 ) ( . '

) ( '

. + P R

=

FC M R N

P

M

0 ).

( . .

).

(

. ⎟

=

⎠

⎜ ⎞

⎝

+ ⎛

P

P

P R Sens

FC M Sens N

R P M

) (R₁ P_OMCL

SensP Sens_OMCL

Utilisations en pratique des contrats forward et future

Se couvrir contre le risque de taux d’intérêt (4)

L’équation précédente permet de déduire la quantité N de contrats future à vendre.

Exercice: Soit un portefeuille obligataire de montant nominal 10.000.000 euros, de prix 109, de sensibilité -6.5 que l’on cherche à couvrir contre le risque de taux d’intérêt. Le contrat future de montant principal 100.000 euros cote 100.93. Le facteur de concordance de l’OMCL est égal à 98.1189. Sa sensibilité est égale -7.2.

Quel est le nombre de contrats à vendre ? Réponse : 92

Evaluation des contrats forward et future

La Parité Forward-Spot ou Comment Déterminer le Prix Forward ?

Il s’agit de déterminer le prix forward d’un contrat.

Supposons à la date t un investisseur qui souhaite porter à une date future T une obligation B dont le montant nominal, le taux de coupon et le prix en t sont respectivement 100, c et .

Il a 2 alternatives:

- soit il achète à la date t un contrat forward qui lui délivrera l’obligation B au prix déterminé de .

- soit il emprunte de l’argent au taux linéaire r sur le marché pour acheter l’obligation en t.

Ft

Pt

Evaluation des contrats forward et future

La Parité Forward-Spot ou Comment Déterminer le Prix Forward ? (2)

Les cash-flows impliqués par ces 2 opérations sont les suivants

où IC représente les intérêts courus.

Date t T

Achat du contrat forward 0 F_t

Emprunt P_t

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ −

− . 1 T360t r

P_t Achat de l’obligation − P_t

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

. 365 .

100 T t

c IC

Evaluation des contrats forward et future

La Parité Forward-Spot ou Comment Déterminer le Prix Forward ? (3)

Ces deux opérations ont un coût égal à zéro à la date t.

En l’absence d’opportunités d’arbitrage, les flux générés par ces 2 opérations à la date T doivent être égaux.

Nous obtenons donc

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ −

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ −

= 100 . . 365

1 360

. T t

t c r T

P

F

Evaluation des contrats forward et future

La Parité Forward-Spot ou Comment Déterminer le Prix Forward ? (4)

En définissant R et C comme

On obtient finalement

Contrat Forward sur Taux d’Intérêt: Détermination du taux forward (voir séance 2).

( ) _⎥⎦ ^⎤

⎢⎣ ⎡

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ − +

= . 1 . T 365 t C

R P

F

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Pt

C c

t r T

t R T

. 100

360 365

Evaluation des contrats forward et future

Relation entre les prix forward et future

Nous avons vu que les gains et pertes en trading de futures sont crédités ou débités sous forme d’appels de marge en fin de journée.

Considérons 2 contrats forward et future initiés en t = 0 et arrivant à échéance en T. Ces 2 contrats ont le même actif sous- jacent P. Supposons que les prix forward et future en t =0 sont égaux à G0 et F0.

Le tableau suivant montre clairement les différences de cash- flows entre les deux contrats.

Notons que P_T = F_T

Evaluation des contrats forward et future

Relation entre les prix forward et future (2)

Date Contrat Forward Contrat Future

0 0 0

1 0 F₁ − F₀

2 0 F₂ − F₁

3 0 F₃ − F₂

...

...

...

T-1 0 F_T−1 − F_T−2

T P_T − G₀ F_T − F_T−1

Total P_T − G₀ P_T − F₀

Evaluation des contrats forward et future

Relation entre les prix forward et future (3)

Il n’y a pas de cash-flows intermédiaires dans le contrat forward alors que les cash-flows intermédiaires du contrat future sont dus aux appels de marge.

Le tableau précédent montre clairement que les prix forward et future ne sont pas identiques.

Il y a toutefois une exception. Quand les taux d’intérêt sont constants, le prix forward est égal au prix future (pour la démonstration voir John Hull, «Options, Futures and Other Derivatives», 2000, Prentice Hall).