:) Chapitre 1 Statique des fluides

Mécanique des fluides

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2016

Chapitre 1 Statique des fluides

1- Introduction

Un fluide est un milieu matériel constitué de particules infiniment petites pouvant se déplacer les unes par rapport aux autres : il peut subir de grandes variations de formes. Il existe deux familles principales des fluides: les liquides et les gaz. Les liquides ont la propriété d'être incompressibles, alors que les gaz sont compressibles. De nombreux fluides sont présents au sein du corps humain : l'eau (60 à 80 % de la masse corporelle), le sang, la salive, ... , mais aussi l'air que nous respirons !

La mécanique des fluides est la branche de la mécanique qui étudie le comportement des fluides au repos (statique des fluides) ou en mouvement (dynamique des fluides). Ses résultats sont indispensables à la plupart des systèmes biologiques tels que par exemple le sang, les veines et le cœur qui sont à l'origine de la vie.

a. Fluide parfait, fluide réel

Lorsqu'ils s'écoulent, les fluides réels sont soumis à des forces de frottements internes, qui aboutissent à un dégagement de chaleur. Ce frottement s'appelle viscosité 11· Dans le cas contraire où le mouvement du milieu se fait sans frottement, alors le fluide est dit parfait.

Au sein des fluides réels, on distingue newtonien et non newtonien.

Newtonien : la viscosité 11 est constante quel que soit le gradient de la vitesse ( : ) ( exemple eau)

Non newtonien : la viscosité varie en fonction du gradient de vitesse (exemple le sang)

..

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²⁰¹⁶

Visc.osité

non newtonien newtomen

gradient de vitesse

b. Masse volumique

La masse volumique d'un corps est définie par: p

= v

m

Où met V sont respectivement la masse et le volume du corps en question. L'unité est le kilogramme par mètre cube (kg/m³⁾

c. Densité

masse volumique d'un corps

d=---=---=---

. {de l' eau(liquides ou solides) volumique

de l'air(pour les gaz) masse

d. Notion de Pression

Dans un liquide au repos, la pression en un point M représente la force exercée

perpendiculairement par le liquide sur une surface S -réelle ou imaginaire entourant le point M

P=-F S

F

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La pression est une grandeur macroscopique, elle représente la résultante des chocs

microscopiques continuels qui ont lieu entre les molécules entre elles et 'contre les parois d'un volume.

e. Unités de pression

L'unité légale de pression est le pascal (Pa) lPa= JN/m^2•

Deux autres unités sont encore très utilisées en biologies :

- le centimètre d'eau (1 cm H20= 98 Pa). Cette unité est utilisée pour la mesure la pression veineuse.

- Le millimètre de mercure (1 mm Hg=l33,2 Pa). Cette unité est utilisée pour la mesure

de la pression artérielle

II. Statiques des Ouides incompressibles: les liquides

1-

Relation fondamentale de l'hydrostatique

Pour un fluide incompressible ( p

=

cte ), on peut démontrer qu'entre deux points A et B du liquide qu' on a :

C'est la relation fondamentale de l'hydrostatique avec : p= pression

p= la masse volumique ( constante quelle que soit l'altitude

A(zJ ^{-■A...._ _ _}

_

^_.

__ _

.B....---

puisque le liquide est supposé incompressible), g= accélération de la pesanteur ( également supposée constante avec l'altitude) et z= altitude du point où est mesurée la pression, c'est-à- dire la hauteur de ce point sur une verticale. On peut l'écrire aussi :

\ PA+ pgzA =PB+ pgzB ~-~o_n_sta.,_ri~

la quantité (p

+

pgz) est constante en tous les points d'un liquide en équilibre.

Si h est la dénivellation entre A et B ( h=zA-ZB)

.

'

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Ps =p,.,+pgh

Cette relation ( loi de Pascal) montre que :

-Dans un liquide, la pression croit du haut vers le bas

-Les surfaces d'égale pression sont des plans horizontaux ( caractérisés par h=O).

2- Applications (Vases communicants)

Cas de deux liquides non miscibles

Considérons deux liquides de masse volumiques p1 et f)2 non miscibles en équilibre.

L'équilibre ne peut être stable que si le fluide le plus dense est situé au-dessous de l'autre.

Les deux branches du tube en U sont ouvertes à l'air libre sous la

pression atmosphérique P a1m. A

D'après la relation fondamentale de l'hydrostatique on a:

Il s'ensuit que:

Cette relation traduit l'équilibre du mélange des deux liquides non miscibles.

• Si p1 -< p2 ceci implique que h1>h2 :la colonne la plus haute correspond au liquide le moins dense.

• Si p1

=

A le liquide est à la même hauteur dans les deux vases communicants

3. Surface de séparation de liquides non miscibles

Considérons deux liquides de masse volumiques p1 et pi et non miscibles en équilibre. Soient deux points A et B sur la surface que nous supposons oblique. Soient PA et PB les pressions en A et B.

Soient les points A ' et B' tels que les segments AA' et BB' soient horizontaux :

..

p ^A

=

p ^A' car A et A' appartient au même liquide (1)

p JJ

=

p JJ' car B et B' appartient au même liquide (2) On a en outre: PJJ '= P,1 + p1gh

Cela implique h(p1 - p2 )g

=

^O

Comme p1

*

^p2 cela entraîne h=O

Cette relation ne peut être vérifiée pour tout couple de points A' et B' de la surface de séparation que si celle-ci est plane et horizontale.

4. Théorème de Pascal

Supposons qu'au point A (voir figure ci-contre.), intervienne une variation de pression telle que celle-ci devienne (A

+

/lp1) , /1p 1 étant un nombre algébrique. Calculons la variation de pression JJ.p₂ qui en résulté en B. Appliquons la relation fondamentale

z de l'hydrostatique :

Entre A et B, avec le nouvel état de pression

Il en résulte que

Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraîne la même variation de pression en tout point.

III. Manomètres

a. Manomètre hydrostatique

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Un manomètre est un appareil servant à mesurer la pression d'un fluide placé dans un espace fermé. Il est essentiellement constitué d'un tube en U contenant un liquide. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer une pression selon l'ordre de grandeur de cette dernière.

La différence des niveaux de liquide dans les deux branches du tube donnera la différence des pressions supportées par les surfaces libres du liquide correspondante: pA-pB=pgh

Il mesure donc les pressions différentielles. La sensibilité de l'appareil est

A

donnée par le rapport de la variation des niveaux à la variation des pressions qui la provoqué M 1

s = - = -

!lp pg

On voit que la sensibilité est d'autant plus grande que la masse volumique du liquide est très faible. Les deux liquides les plus utilisés sont :

- Le mercure pour les différences de pression importantes - L'eau pour les différences de pression faibles

b. Pression Atmosphérique :Baromètre de Torricelli

C'est un appareil qui sert à mesurer la pression atmosphérique. IL se compose d'un tube de verre d'environ 0,9 m de longueur, fermé à son extrémité supérieure et ouvert en bas. Lorsque le tube est rempli de mercure et que l'extrémité ouverte repose dans un récipient rempli de ce même fluide, le niveau du tube descend à une hauteur de 760 mm au-dessus de celui du récipient dans des conditions normales de pression, laissant dans l'espace libéré un vide presque parfait.

PB= Pc

=

^Pa11n

=

^latm

D'autre part

PB - PA= pgh pA=O (dans la chambre supérieure il y a du vide) Pa1m

=

^tygh

•

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A.N h=0.76 m, p=l3.610³kgrr13, g=9.8hns·²

p0 ,,.,

=

1.01310⁵ Pa

Une surface libre en contact avec l'air est une surface sur laquelle s'exerce la pression atmosphérique .

Exercice : Calculer la sensibilité :

a. d'un manomètre à mercure (pHg =

13,6.10

³ kg/m3 )

b. d'un manomètre à eau (Peau= 10³ kg/ m3 )

Exercice : On considère un sujet, en position debout. La pression artérielle moyenne du sang à la sortie du cœur est de 100 mm Hg. En ne considérant que l'effet de pesanteur :

1. Calculer la pression artérielle moyenne au niveau des pieds 2. Calculer la pression artérielle moyenne au niveau de la tête On donne : distance tête-cœur =45 cm, distance cœur-pieds =130 cm et masse volumique du sang p

=

^{1000 kg}

/m

³

,·

~

..

..

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Chapitre 2 Dynamique des fluides parfaits

I. Les lois de l'écoulement des fluides: hydrodynamique

L'hydrodynamique a pour objet l'étude des liquides en mouvement. Dans cette étude on applique à une portion du liquide les lois générales de la dynamique : Le principe de la conservation de la masse, le principe de l'énergie cinétique, le principe de la quantité du mouvement ; on peut ainsi donner les lois de l'écoulement des liquides.

a. Débit volumique

Le débit volumique c'est le volume du fluide traversant une section droite S pendant l'unité de temps:

dV &il Q = - = - = v S

" dt dt

v étant la vitesse moyenne d'écoulement dans la conduite de section S

b. Débit massique

C'est la masse du fluide traversant S pendant l'unité de temps : Q =-=pvS

dm

m dt

Remarque : Q,.,

=

pQ,,

c. Ecoulement permanent ou stationnaire

Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ... ), ont une valeur constante au cours du temps.

1. Equation de Continuité ou équation de conservation de la masse

a. Définitions

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✓ Lignes de courant : Les lignes de courant se sont des courbes tangentes aux vecteurs vitesses qu'elles rencontrent. Elles indiquent la direction du mouvement.

✓ Tube de courant :C'est un ensemble formé à partir de lignes de courant

ligne de coUf'ant

, surface ~\S entourant le point M

tuba da courant . /

section S2

c. Equation de continuité

Ecrivons que la masse élémentaire dm de fluide qui s'écoulée à travers S1 est la même que celle qui s' écoulée à travers S2. Sachant que

En introduisant les vitesses

Vi

^et

Vi

^{on a donc}

Soit finalement

dxl

p=-m donc

V

(J e ^►

^Vi

Sa

Cette relation traduit la conservation du débit volumique dans un écoulement permanent.

Dans une canalisation sans fuites et sans embranchements, le débit est partout le même. Par conséquent, lorsque l'aire de la section augmente, la vitesse d'écoulement du liquide diminue.

d. Applications : Cas de la circulation sanguine

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• Sténose

On considère une artère présentant un rétrécissement (sténose vasculaire):

" •

• ^•

•

. l

Sl, Vl ^t S2., V2

•

• • ^•

1 !

¹

• ^•

D'après la relation de conservation du débit, on a:

Or S1> S2 donc par conséquent on a V2> Vi.

Dans une sténose vasculaire la vitesse d'écoulement du sang augmente.

• Anévrisme

On considère une artère présentant un élargissement (anévrisme)

'

¹

1

•

•• •

'

______ ^{_ , ~ .. ---}

81, VI

Par un raisonnement similaire, on montre dans le cas d'un anévrisme la vitesse diminue. Un anévrisme est susceptible de se rompre, ce qui peut être à l'origine d'une hémorragie interne parfois fatale.

2.

Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d'un fluide parfait incompressible

Soit dm la masse du fluide qui s'écoule entre les sections S1 et Si

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A,. (p2, S2, 7-i, v,) Zz • ···----·-···--···-·

0

Si aucune énergie n'est échangée entre le fluide et le milieu extérieur pendant le trajet de celui-ci, de la position 1 à 2 (pas de frottement, pas d'échange de chaleur etc) nous savons que l'énergie mécanique est invariante.

Pour un fluide incompressible, l'énergie mécanique peut prendre trois formes Energie cinétique

Energie potentielle de pression Energie potentielle de pesanteur.

Energie cinétique

Soit v le vecteur vitesse de l'écoulement à travers la section S

Energie potentielle de pression

E =-dmv2 1

C 2

Cette énergie s'exprime comme le travail des forces de pression à travers la section S pour un déplacement dx :

Energie potentielle de pesanteur

dm

Epra

=

p.S.Jx

=

p . - p

Cette énergie s'exprime comme le travail possible des forces de pesanteur.

donc l'équation de Bernoulli pour une masse de fluide est:

{' I. E01PM.i .... ^-=c

F . cl

^'X,

~ -6(/l,,r."€' ~ •. --·•·..,... 12

P

^~

^V

p-i.ew-~>t-1 ;;;-

P id~

-- ~ =

P.clv

.... -·····-- -···· · - ···· .. •-··· ··· · - - - --- - -

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1 pdm

-dmv2

+ - - +

dmgz

=

cte

2 p

~ pt~ ^{fic~.. /1}

ci.~~,. ,,ev1,

^'l'v1.

ou encore p -^v2 + pgz+ p

=

cte 2

2

p est la pression statique, pgz est la pression de pesanteur, p ~ est la pression cinétique ( ou 2

dynamique). On appelle charge du fluide la somme p v2 + pgz + p 2

En particulier si v=O (fluide immobile) on retrouve l'équation de la statique des fluides:

p+ pgz=cte.

Le théorème permet de relier entre elles les pressions en différents points d'un fluide incompressibles, en écoulement permanent et soumis au champ de pesanteur.

Lorsque, dans un écoulement d'un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points 1 et 2 d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s'écrire sous la forme suivante :

l ² 1 2

- /N1 + pgz1 + Pi =-pv2 + pgz2 + P2

2 2

IV. Applications du théorème de Bernoulli

La mesure du débit des fluides circulant dans les conduites est possible à l'aide de plusieurs types d'appareils.

a. Tube de Pitot

On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en Best le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur. Au point B, le liquide a la même vitesse v que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide.

. ··- - --- --

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Le théorème de Bernoulli pour un écoulement horizontal ( ZA-ZB)entre le point A et B s'écrit:

Le point A est un point d'arrêt s3: vitesse est donc nulle Ps+

2

1 ^fJl'ê,=PA

Appliquons la loi fondamentale de la statique aux fluides au repos dans les tubes

, . pA=Patm+pghA

manometnques : ^~

Ps =Patm + pgh8

\i ',)

...

Soit PA - Ps

=

^pgh

soit donc 1

-pv,.=pgh

r:=-~)

2

En mesurant la dénivellation du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v d'écoulement du fluide et par la suite on peut calculer le débit volumique comme suit:

Qv

=

Sv

=

S

figh

avec S la section du tube.

b. Tube de venturi

Une conduite de section principale SA subit un étranglement en B où sa section est SB. Les points A et B se trouvent sur un même plan horizontal

•

Mécanique des fluides

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---· I

^h

Le théorème de Bernoulli s'écrit ici : p A +

.!.

^{pv~ = p} 8 +

.!. pv;

2 2

D'après l'équation de continuité SA.vA

=

S8v8 ,..:)

V =

^{S~ v}

. 8 -

s,

p

Donc p,-p,

=½pv{-(!J]

^<:;if

^{. >t·}

^{1 'f;,}

_ ?_r_ ^--i°I

La quantité

7 r, "

k =

!B

est appelée rapport de contraction du tube de Venturi (ou le degré de

A

v;.. (\

sténose en physiologie).

~ iz.~

~~ ,-z. __ \ ( ~: •

r~~~j\

Cette expression montre que pB<pA: la pression dans le col est plus faible qu'à l'entrée de celui-ci : lors d'un rétrécissement il y a une chute de pression au bénéfice d'une élévation de vitesse.

De la relation ci-dessus, on tire : ^v 4 = 2k2(_p ^{A -} P 8 )

· p(l-k²⁾

Appliquons la loi fondamentale de la statique aux fluides au repos dans les tubes manométriques :

Soit donc p A - Pa

=

pgh

---•··--···-- ·- - - -····-·- - -- - ... ·-•··- - --··- · - - -··•-· ·-·-••··-···-·- --·-···- - -

2k²gh Donc l'expression de la vitesse est v ^A = (1-k2)

Soit

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²⁰¹⁶

Le venturi est un appareil qui est réservé à la mesure des débits importants. Il peut être utilisé pour les gaz mais il est généralement réservé aux liquides et à l'eau en particulier.

Application à l'athérosclérose

L'athérosclérose est une maladie où le diamètre des artères diminue localement et progressivement par la formation d'une plaque d'athérome: accumulation de lipides et de tissu fibreux, pouvant conduire à une sténose artérielle, voire une thrombose ( obstruction

totale du flux sanguin)

c. Ecoulement d'un liquide contenu dans un réservoir-Théorème de TORRICELLI.

Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de sections et une ligne de courant partant de la surface libre (S) au point A et arrivant au point B au niveau de l'orifice. Sous l'effet de son propre poids, le liquide s'écoule par l'orifice avec une vitesse vs que nous proposons de détenniner.

7.

En appliquant le théorème de Bernoulli entre A et B : B

l i l i

PA+-pv A+ pgzA =PB+-/J'l'B + pgzB

2 2

Mécanique des fluides l

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En A la pression qui agit sur la surface S est la pression atmosphérique ; en B s'est également la pression atmosphérique: pA=pB=parm

donc

Comme s<<S, on peut admettre que la vitesse du liquide en A est négligeable devant la vitesse en B . En définitive, nous obtenons la relation suivante

~ghj

C'est la relation de TORRICELLI. La vitesse varie avec la hauteur h.

Exercice 1: Quelle est la vitesse moyenne Vm du sang circulant dans une artère de diamètre 0,3 cm dont le débit volumique, Qv, est de 0,24 1/min ?

Exercice 2 : Un fluide paifait incompressible de masse volumique p circule dans une canalisation horizontale. La canalisation est formée de deux conduites : une conduite primaire de rayon R1 au quelle est raccordée une autre conduite secondaire de rayon

··-··-··-··-r-··-··-··-··-

Le fluide arrive à la conduite primaire à la pression p1 et à la conduite secondaire à la pression p2=p112.

Déterminer le débit volumique en fonction de p, p1 et R1

· -

··- -·-··-·--- -- ···--- - - - -

Mécanique desfluides

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²⁰¹⁶

Chapitre 3 Dynamique des fluides visqueux

1. La notion de perte de charge

L'essentiel des notions vue jusqu'à présent, même si elles peuvent s'appliquer partiellement( ou approximativement) à un fluide réel ne sont vraies en toute rigueur que pour un fluide idéal.

22 . ---···-···---···--·

0

Dans le cas d'un fluide réel, il existe des forces de frottement, entre les molécules du fluide et entre celles-ci et la paroi de la conduite de telle sorte que l'énergie mécanique d'un fluide en mouvement dans un circuit à tendance à diminuer au cours de son trajet. L'énergie mécanique ainsi perdue (la perte de charge) s'est transformée en une autre forme d'énergie, non mécanique, notamment une énergie thermique.

L'équation de Bernoulli pour un fluide réel entre (1) et (2) s'écrit donc :

1 ² 1 ²

- /JV1 + pgzl

+

Pi = - pv2

+

pgz2 + P2 + f,,p

2 2

6p : ensemble des pertes de charge entre (1) et (2). Elle s'exprime en Pa.

2. Viscosité

Considérons deux couches animés respectivement de vitesse v et (v+&v), soit &x leur distaffce, et soit deux éléments de même surface S pris sur ces deux couches.

..

Mécanique des fluides

l

²⁰¹⁶

La norme de la force F de frottement, exercée par une couche sur l'autre sera proportionnelle

à Set à /iv et inversement proportionnelle à /ix. Newton a proposé la formule suivante:

LlV F

=

^11S-_Llx

où LlV le gradient de vitesse, appelé encore « taux de cisaillement». Quant à

r,,

qui est un

Llx

coefficient caractéristique du fluide, c'est par définition le coefficient de viscosité. Elle caractérise les frottements internes ou intermoléculaires à l'intérieur du fluide

a. Unité de la viscosité

Dans le système international, l'unité de viscosité est le Poiseuille (Pl) tel que lPl

=

lPa.s.

3. Ecoulement laminaire, écoulement turbulent, nombre de Reynolds

Les fluides parfaits s'écoulent théoriquement avec une vitesse identique pour chaque particule en mouvement, étant donné qu'il n'y a aucune interaction, ni entre les différentes particules, ni entre celles-ci et les parois du tube. Si l'on considère donc la vitesse moyenne d'écoulement (celle qui intervient dans le calcul du débit : Q

=

V S ) on doit admettre que toutes les particules élémentaires se déplacent avec cette même vitesse. Il n'en est pas de même d'un fluide réel, dans lequel les particules élémentaires se déplacent à des vitesses variables en fonction des interactions, notamment avec les parois du tube.

Dans ces conditions on distingue deux régimes d'écoulement différents pour un fluide réel :

a. Ecoulement laminaire

Il se produit dans le cas des fluides suffisamment visqueux. Les trajectoires des particules de fluide restent parallèles à la paroi. La vitesse des particules qui se succèdent en un point de l'écoulement est constante au cours du temps.

Mécanique des fluides 1

²⁰¹⁶

➔ -=== ... _➔>=;:➔-➔,

^{_, _ _ . . . , .}

S. 7

_ ?

=z

⁷

Z

⁷

b. Ecoulement turbulent

La vitesse des particules de fluide qui se succèdent en un point de l'écoulement varie au cours du temps

c.

Nombre de Reynolds Re

En utilisant des fluides divers (viscosités différentes), en faisant varier le débit et le diamètre d de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par :

R =pVd

e 1J

où p masse volumique du fluide, V vitesse moyenne d'écoulement, d diamètre de la conduite et 1J viscosité du fluide.

0::e~,11,,_tl

Si ~<2400 le régime est laminaire Si 2400<~<10 000 le régime est instable Si Re> l 0 000 le régime est turbulent

Ces valeurs doivent être considérées comme des ordres de grandeur, le passage d'un type d'écoulement à un autre se faisant progressivement.

Remarques:

Mécanique des fluides f

²⁰¹⁶

• Les trois variables V, d, p agissent dans le sens direct : le régime aura tendance à être turbulent lorsque la vitesse moyenne augmente, lorsque le diamètre du tuyau augmente et lorsque la masse volumique du liquide augmente; la variable TJ, au contraire agit en sens inverse : le régime sera d'autant plus volontiers turbulent que la viscosité sera plus faible, c'est à dire que le liquide sera plus "fluide".

• La valeur seuil de 2400 permet de définir une vitesse dite "vitesse critique" en dessous de laquelle le régime est probablement laminaire et au-dessus de laquelle il aura tendance à devenir instable, avec donc une possibilité de devenir turbulent :

Yc: =

²⁴⁰⁰⁷⁷ _pd

Exercice: déterminer le nombre de Reynolds d'un écoulement de sang (viscosité dynamique

1]=2.J0-³Pa.s, masse volumique 1,1.lfY kg/m³⁾ circulant à la vitesse de 2 cms·¹ dans une artère de rayon R=4 mm. En déduire la nature de l'écoulement.

4. Ecoule~ent laminaire d'un fluide visqueux : Loi de Poiseuille a. Vitesse d'écoulement d'un fluide visqueux

Lors de l'écoulement laminaire d'un fluide visqueux dans une conduite cylindrique horizontale de longueur/ et de rayon R., la vitesse n'est pas la même en différents points de la section du

.• P~J/'--

d€.:J ^{v ~} v,

^Ve,~)

nec~ .Oo,)i\.t,~10-i.~

( ?.-Gû.,i ck

1

'\#-•t~·" V> ^Ve

^.-=.) .riéÇ_}l~k

··k-J~e-J.-

..

·-- -- --···--···---·-- -- --·----- --- .

Mécanique des fluides

l

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J

_{·),\,• .. ::./, ~ . . - -}

^b,P s~

^L

b. Loi de Poiseuille

~h

A B

Si on fait couler un liquide visqueux on constate que les hauteurs de liquide aux points A, B ne sont pas les mêmes et que les pressions sont telles que P2<P1. Cette différence dans les pressions au cours de l'écoulement est due à une perte d'énergie du liquide. Dans le cas d'un

\ écoulement laminaire,1cette perte d'énergie est donnée par la loi de Poiseuille : B11lQv

l>.P = P1 - P2 = rrR4

Elle exprime la relation entre le débit volumique et la différence de pression aux deux extrémités d'une canalisation de longueur/ et de rayon R.

S. R _ 87'/l 1 pose _{1 - ,rR4}

la loi de poiseuille devient

R1 s'appelle résistance à l'écoulement ( ou résistance vasculaire en physiologie). Elle se mesure en Pa.s/m^3•

- - •·••••- •m r ·· · · ·.••· · · . -~- ~ - ••• , .. ,-.•r,•,-- • -•~·•·•··~ , •··. --•~--••- - ••- • • • --- - - · -- - ---···--·--··· --.---· ^.. -·--······- - -

Mécanique des fluides l

²⁰¹⁶

La loi de Poiseuille est très importante en biologie, elle régit l'écoulement des liquides à travers les pores des membranes de toutes natures et le long des conduits biologiques de petites sections, vaisseaux capillaires des plantes et des animaux.

Remarques

• Lorsque le liquide circule très rapidement, son écoulement devient turbulent et la loi de Poiseuille ne s'applique plus.

• Si l'écoulement se fait dans un tube cylindrique de rayon R, on peut exprimer la vitesse moyenne d'écoulement à partir du débit en considérant que

On trouve

Q

=

^v.n.R2

- t:,.p 2 - 1

V - - R --Vmax

871l 2

Exemple: le débit de sang de viscosité 1,06.Jü3 Pl à travers l'artère d'un chien (rayon 4 mm) est de 1 cm³ /s. Calculer la vitesse moyenne du sang, la vitesse maximum et la perte de charge le long de l'artère ~ur une distance de JO cm.

c. Analogie électrique- La loi de Poiseuille

La loi de Poiseuillee_:= R1Q) est analogue à la loi d'Ohm (ll.U = RI)

- ~

Cette analogie électrique permet d'en déduire les lois d'association, ainsi que la puissance dissipée lors d'un écoulement visqueux

• Association en série

Si les tubes sont associés en série, le débit est le même pour toutes les sections et les pertes de charge s'ajoutent :

- - - ~ - - - , ___ _

A JU . . . . JU

---··--- ···••·---··-' ···-·--- ... -----

Mécanique des fluides· l

²⁰¹⁶

Soit donc

• Association en parallèle

Si les tubes sont associés en parallèles, les pertes de charges sont identiques et les débits s'ajoutent:

Rl QI

J

1:

~

: 1

lt: Ql

§

~ A B ~

,, _§;QX

¹

,,

1 1 1

Q = Q1

+

Q2

+ · · ·

Qn = ll.P(R₁

+ -+ ··· - )

R2 Rn

=AP-1

Rt

Soit donc

-=-+-+ .. ·+-

^{1 1 1 1}

Rt R1 R2 Rn