Algèbre Groupes
Denis Vekemans∗
Exercice 1 Soit⋆ la loi de composition surRdéfinie par x ⋆ y=x+y−xy.
1. Montrer que⋆ est commutative et associative.
2. Montrer que⋆ admet un élément neutreeque l’on précisera.
3. Montrer que tout élémentx∈R\{1} admet pour inverse x x−1. 4. (R, ⋆, e) est-il un groupe ?(R\{1}, ⋆, e)est-il un groupe ?
5. Calculerx ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x
| {z }
nfois .
Exercice 2 (d’après septembre 2001)
Soit G=R×R∗ et∗la loi de composition définie surG par : (x, y)⋆(x′, y′) = (x′y+ x
y′, yy′).
1. Vérifier que⋆ est une loi interne dansG.
2. La loi⋆est-elle associative ? Est-elle commutative ? 3. A-t-on un élément neutre dans(G, ⋆)?
4. (G, ⋆) est-il un groupe ?
Exercice 3 Montrer que la différence symétrique∆ : P(X)× P(X)→ P(X)munit l’ensembleP(X)des parties d’un ensemble X d’une structure de groupe abélien.
Exercice 4 Sin∈N, on note
nZ={nz tels quez∈Z}.
Montrer qu’un sous-ensemble H deZ est un sous-groupe de(Z,+)si et seulement si il existe n∈Ntel que H =nZ.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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Exercice 5 SoitGun groupe et soient H etK deux sous-groupes de G.
1. Montrer queH∩K est un sous-groupe deG.
2. D’une manière générale,H∪K est-il un sous groupe deG?
Exercice 6 Soit(G, ⋆)et(G′,·)deux groupes et soit ⊤la loi produit définie dans G×G′ par (x, y)⊤(x′, y′) = (x ⋆ x′, y·y′).
1. Montrer que(G×G′,⊤) est un groupe.
2. Notons parπetπ′ les projections deG×G′ surGetG′ respectivement. SoitH un groupe,f : H→G etf′ : H→G′ deux homomorphismes ; montrer qu’il existe un et un seul homomorphisme h : H→ G×G′ tel que l’on ait π◦h=f etπ′◦h=f′.
3. SoitH un sous-groupe de GetH′ un sous-groupe de G′. Montrer que H×H′ est un sous-groupe de G×G′.
Exercice 7 Soit(G,·) un groupe. On appellecentre de G le sous-ensemble Z(G) ={x∈G| ∀y∈G, x·y=y·x}.
1. Montrer queZ(G)est un sous-groupe distingué de G.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante surZ(G) pour que Gsoit abélien.
Exercice 8 Soit un groupe(G,·) on a que x·x =x pour tout x dans G. Décrire tous les groupes (G,·) qui ont cette propriété.
Exercice 9 Montrer que si G est un groupe abélien et f : G → H est un homomorphisme surjectif, alorsH est abélien.
Exercice 10 Soient G et G′ deux groupes et soit e l’élément neutre de G. Soit f : G → G′ un homo- morphisme.
Montrer que f est injectif si et seulement si kerf ={e}.
Exercice 11 Soit(G,·) un groupe.
1. L’applicationf : (G,·)→(G,·) définie par f(g) =g−1 est-elle un homomorphisme ? 2. Quand est-ce quef est un isomorphisme ?
Exercice 12 Soient Get G′ deux groupes et soientf etg deux homomorphismes définis sur G à valeurs dans G′. Désignons parH l’ensemble des éléments xde Gtels que f(x) =g(x).
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Montrer queH est un sous-groupe de G.
Exercice 13 Considérons les permutations des points d’une figure géométrique du plan qui conservent les distances, appelées isometries. Les isométries d’un triangle équilateral forment un groupe : donner une description de ce groupe.
Exercice 14 Soit Gun groupe,A et B deux sous-groupes permutables de G, i.e. A·B =B·A. Montrer que A·B est un sous-groupe deG.
Exercice 15 Soient(G,·) et(G′, ⋆) deux groupes, et soit f : G→G′ un homomorphisme.
SiH′ est un sous-groupe distingué de G′, montrer quef−1(H′) est un sous-groupe distingué deG.
Exercice 16 SiG est un ensemble non vide, on appellegroupe de transformations de G tout sous-groupe du groupe S(G) des permutations deG.
Le but de cet exercice est de montrer que tout groupe est isomorphe à un groupe de transformations.
1. Soit(G,·)un groupe,aun élément deG. Montrer que l’applicationfa : G→Gdéfinie parfa(x) =a·x pour tout x∈G est bijective.
2. SoitT l’ensemble des applications de la forme fa, i.e.T ={fa |a∈G}. Montrer queT est un groupe de transformations de G.
3. Montrer que l’applicationf : G→T définie parf(a) =fa est un isomorphisme de groupes.
Exercice 17 Soit⋆ la loi définie surR par :
∀(x, y)∈R2, x ⋆ y=xp
1 +y2+yp 1 +x2. Montrer que (R, ⋆)est isomorphe à (R,+).
Aide : on peut penser àφ:R→R;x7→sinh(x).
Exercice 18
1. Donner un exemple de morphisme de(R∗+,×) dans(R,+).
2. Donner un exemple de morphisme de(R,+) dans(R∗+,×).
3. Donner un exemple de morphisme de(Z,+)dans(Un,×).
Un={ω∈C tels queω=e2
ıkπ
n etk∈N}.
4. Soit (R,◦) le groupe des rotations de centre O dans le plan. Donner un exemple de morphisme de (R,+)dans(R,◦).
Exercice 19 SoitABCD un carré (direct). SoitO son centre.
On note ∆ = (AC),∆′= (BD),δ=médiatrice([AB])etδ′ =médiatrice([AD]). On désigne par
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• Id l’identité,
• sO la symétrie de centre O,
• rO,αla rotation de centre O et d’angleα (et ce pour chaque angle π2 et−π2),
• sd la symétrie orthogonale par rapport à la droited(et ce pour chacune des droites∆,∆′,δ,δ′).
Soit Isom l’ensemble des isométries du carré : Isom={Id, s0, rO,π
2, rO,−π
2, s∆, s∆′, sδ, sδ′}.
Construire la table de la loi du groupe(Isom,◦, Id).
S’agit-il d’un groupe abélien ?
SoitIsom l’ensemble des isométries positives du carré : Isom+={Id, s0, rO,π
2, rO,−π
2}.
Montrer que
{Id}E{Id, sO}EIsom+EIsom.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
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