Banque << Agro – Véto >>
AT – 0511
1/4 T.S.V.P.
MATHÉMATIQUES Durée : 3 heures
L’usage d’une calculatrice est interdit pour cette épreuve.
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d’épreuve : pagination et impression de chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d’épreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tôt le chef de centre qui vérifiera et éventuellement remplacera son sujet.
Les deux exercices et le problème sont indépendants.
Exercice d’algèbre
Considérons les matrices 1 1 A 1 1
et 1 2
3 4
b b
B b b
appartenant à .
Le but de cet exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe X appartenant à telle que : A X X AB .
1. Diagonalisation de A
1.1. Quelles sont les valeurs propres de A ?
1.2. Déterminer une base de chaque sous-espace propre de A.
1.3. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Changement de base
2.1. Déterminer une matrice P inversible dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1, une matrice D diagonale dont les coefficients diagonaux sont rangés par ordre croissant, toutes deux appartenant à , telles que : D P 1A P .
2.2. Notons dans la suite : 1 1 2
3 4
' '
' ' '
b b
B P B P
b b
. Exprimer b'1 en fonction de b b b b1, 2, 3, 4.
3. Résolution de l’équation
Soit X appartenant à , notons : Y P1X P . 3.1. Montrer que : A X X ABDYY DB'. 3.2. En notant 1 2
3 4
y y
Y y y
, résoudre l’équation matricielle : D YY DB' .
3.3. En déduire qu’il existe X appartenant à telle que : A X X AB si et seulement si : b1b2b3b4 0 .
2/4
Exercice d’analyse
Considérons la suite réelle
xn définie par :
0
1
1,
, 1 1 .
n n 1
n
x
n x x
x
1. Étude de la fonction
1.1. Étudier la fonction : 1 1 f x x 1
x
.
Seul un tableau de variations avec les limites aux bornes est attendu.
1.2. Déterminer le signe de la fonction g x: f x( )x . 2. Étude de la suite
xn2.1. Montrer que la suite
xn est parfaitement définie et à valeurs dans
1,
.2.2. Montrer que la suite
xn est croissante.2.3. Montrer que la suite
xn diverge vers . 3. Recherche d’un équivalent3.1. Montrer que pour tout entier naturel n : xn n 1.
3.2. Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : 0 1 1 1
n n 1 x x
n
. 3.3. En déduire que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 :
1 1
1
0 1 1
n n
k
x x n
k
.3.4. Montrer que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2 : 1 ln
k ln
k 1
k ,
et en déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 :
1
1
1 1 ln 1
n
k
k n
.3.5. Montrer alors que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 :
1 n 1 ln 1
n x x n n . 3.6. En déduire la limite de la suite .
3/4 T.S.V.P.
Problème de probabilités
Pierre emmène sa fille Marie au parc d’attractions et chaque évènement de leur journée est prétexte à un exercice de probabilités.
Les quatre questions qui suivent sont indépendantes les unes des autres.
1. Le nombre de visiteurs dans le parc
On suppose que le nombre N de visiteurs du parc pendant un jour donné est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre 4000.
1.1. Déterminer le nombre moyen de visiteurs par jour.
1.2. Le parc dispose de 4 entrées numérotées de 1 à 4. Chaque visiteur choisit une entrée de manière aléatoire et sans tenir compte du choix des autres visiteurs.
X désigne le nombre de visiteurs par jour entrant par l’entrée n°1.
1.2.1. Quelles sont les valeurs prises par X ? 1.2.2. k désigne un entier naturel.
Montrer que la variable aléatoire X sachant que N k suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
1.2.3. n désigne un entier naturel.
Montrer que :
N k
k n
P X n P N k P X n
,et en déduire que :
40000
1000 3000
! !
n k
k
P X n e
n k
.1.2.4. En déduire que X suit la loi de Poisson de paramètre 1000.
2. Attente à l’entrée du parc
Le temps d’attente T à la caisse exprimé en minutes est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 0, 2 .
2.1. Quel est le temps d’attente moyen en caisse ?
2.2. Quelle est la probabilité d’attendre moins de 10 minutes ? 2.3. Quelle est la probabilité d’attendre plus de 6 minutes ?
2.4. Quelle est la probabilité d’attendre plus de 10 minutes si on a déjà attendu 4 minutes ? 3. Au tir aux fléchettes
A et s désignent deux réels strictement positifs avec s A, b désigne un entier naturel non nul tel que b s A.
Sur un panneau de bois de surface A m² , sont accrochés b ballons assimilés à des disques de surface s m².
Le jeu consiste à crever des ballons avec des fléchettes.
3.1. Pierre lance trois fléchettes, les ballons crevés sont systématiquement remplacés.
Nous supposons que Pierre ne rate jamais le panneau de bois. Sa probabilité de crever un ballon est alors égale à la surface couverte par les ballons divisée par la surface du panneau de bois.
3.1.1. Calculer la probabilité p que Pierre crève un ballon avec une fléchette.
4/4
3.1.2. C désigne la variable aléatoire égale au nombre de ballons crevés par Pierre après les trois lancers.
Reconnaître la loi de C.
3.1.3. Pierre gagne s’il crève au moins deux ballons.
Calculer la probabilité que Pierre gagne.
3.2. Dans un deuxième temps, Marie joue et étant plus maladroite que son père, elle atteint le panneau de bois avec une probabilité ,
0,1
.b ballons sont accrochés au panneau.
3.2.1. Calculer la probabilité q que Marie crève un ballon avec une fléchette.
3.2.2. M désigne le nombre de lancers nécessaires pour que Marie crève un ballon.
Reconnaître la loi de M.
3.2.3. Marie gagne si elle crève un ballon en moins de dix lancers.
Calculer la probabilité que Marie gagne.
4. Au lancer de balles
Le principe du jeu est de lancer une balle dans des trous de plus en plus éloignés et le jeu s’arrête au premier échec.
Le premier lancer est réussi de façon certaine.
n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, les (n1) premiers lancers étant réussis, la probabilité de réussir son nème lancer est de 1
n.
i désignant un entier naturel non nul, Si désigne l’évènement « le ièmelancer est réussi ».
Z désigne la variable aléatoire qui correspond au numéro du dernier lancer réussi.
4.1. Déterminer les valeurs prises par Z.
4.2. n appartenant à *, exprimer l’évènement « Z n » en fonction des évènements
1, 2,...., n, n 1
S S S S ( ou leurs contraires ), et en déduire que :
1 !
P Z n n
n
. 4.3. Vérifier que :
1
1
n
p Z n
.4.4. Calculer l’espérance de Z.
On pourra commencer par calculer E Z
1
.4.5. Calculer la variance de Z.
On pourra commencer par calculer E
Z1
Z1
.
FIN DE L’ÉPREUVE
